数学分析(1)

第一章 实数集与函数

导言 数学分析课程简介 ( 2 学时 )

一、数学分析(mathematical analysis)简介:

1. 背景: 从切线、面积、计算sin 32 、实数定义等问题引入.

2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算：

3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值

函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算, 利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.

微积运算是高等数学的基本运算.

数学分析与微积分(calculus)的区别.

二、数学分析的形成过程：

1. 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪,

Archimedes 就有了积分思想.

2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期, 是微积分思想的发展、成果的积累

时期.

3. 十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 —— 微积分的创建时期.

4. 十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时

期：

三、数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的

), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的, 也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.

有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.

四、课堂讲授方法:

1. 关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；

[2]刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；

[3]谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；

[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999；

[5]林源渠，方企勤 数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.

2. 本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材. 本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带

星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.

3. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.

4. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论. 定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别.

五. 要求、辅导及考试：

1. 学习方法:尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记. 课后一定要认真复习消化, 补充笔记. 一般课堂教学与课外复习的时间比例应为

: 3。

对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.

2. 作业: 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容. 大体上每周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩. 作业要按数学排版格式书写工整.

3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.

4. 考试: 按教学大纲的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]中的典型例题. 考试题为标准化试题， 理论证明题逐渐增多.

第一章 实数集与函数

教学目的：

1. 使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2. 使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。

教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。

教学时数：10学时

§ 1 实数（2学时）

教学目的：使学生掌握实数的基本性质．

教学重点：

1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；

2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）

教学难点：实数集的概念及其应用．

教学方法：讲授．（部分内容自学）

一．复习引新：

1. 实数集

：回顾中学中关于实数集的定义.

2. 四则运算封闭性:

3. 三歧性( 即有序性 ):

4.Rrchimedes 性:

5. 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.

6. 实数集的几何表示 ─── 数轴:

7. 两实数相等的充要条件:

8. 区间和邻域:

二. 讲授新课：

（一）. 几个重要不等式:

1. 绝对值不等式: 定义

[1]P3 的六个不等式.

2. 其他不等式:

⑴

记

⑵ 均值不等式: 对

(算术平均值)

(几何平均值)

(调和平均值)

有平均值不等式:

等号当且仅当

时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过

)

有不等式

当

且

, 且

时, 有严格不等式

证： 由

且

⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对

由二项展开式

有

上式右端任何一项.

作业：Ｐ４．１．（１）２．（２）、（３） ３

§ 2 数集 确界原理 （4时）

教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。

教学要求：

1. 掌握邻域的概念；

2. 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。

教学难点：确界的定义及其应用。

教学方法：讲授为主。

一、区间与邻域

二、有界数集与确界原理:

1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) ， 闭区间、

邻域等都是有界数集，集合

为有限数）、也是有界数集. 无界数集: 定义, 等都是无界数集, 集合

也是无界数集.

2. 确界:给出直观和刻画两种定义.

例1 ⑴

则

⑵

则

例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

例3 设和是非空数集，且有则有. 例4 设和

是非空数集. 若对和都有

则有

证

是的上界

, 是的下界,

例5

和为非空数集, 试证明: 证

或

下界, 有或由和分别是即和的下界, 有是数集的 又是的下界, 的下界就是的下界,

是的下界, 于是有 同理有

. 综上, 有. 3. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.

4. 确界与最值的关系: 设为数集.

⑴

的最值必属于, 但确界未必, 确界是一种临界点. ⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶ 若

三、确界原理:

Th1.1 (确界原理)

设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界。

作业：Ｐ９：５；６；８ 存在, 必有 对下确界有类似的结论.

§ 3 函数概念 ( 2学时 )

教学目的：使学生深刻理解函数概念。

教学要求：

1. 深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；

2. 牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。

教学重点：函数的概念。

教学难点：初等函数复合关系的分析。

一、函数:

1. 函数: [1]P10—11的四点说明.

2. 定义域: 定义域和存在域.

3. 函数的表示法:

4. 反函数: 一一对应, 反函数存在定理.

5. 函数的代数运算:

二、分段函数: 以函数

介绍概念.

例1

去掉绝对值符号. 和

为例

例2

求

例3 设

三、函数的复合:

求

(答案为8)

例4

定义域.

例5 ⑴

求并求 ⑵

则

A. B.

C.

D.

[4]P407 E62.

四、初等函数:

1.

2.

3. 基本初等函数: 初等函数: 初等函数的几个特例: 设函数

是初等函数, 因为

和

都是初等函数, 则 ⑴

⑵

和

都是初等函数, 因为

,

.

⑶ 幂指函数

是初等函数, 因为

作业： P15 3；4.(2)(3)；5. (2)；7: (3)；11

§4 具有某些特性的函数 ( 2学时 )

教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.

教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。

教学重点：函数的有界性、单调性。

教学难点：周期函数周期的计算、验证。

一、有界函数: 有界函数概念.

例6 验证函数

在

内有界.

解法一 由

当

时, 有

对

总有

即

关于的二次方程在

内有界. , 解法二 令根.

有实数

解法三 令

对应

于是

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二、单调函数

三、奇函数和偶函数

四、周期函数

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