度量空间的完备性及其特殊性质
第38卷第2期 Journal of Southwest University for Nationalities⋅Natural Science Edition ___________________________________________________________________ 文章编号: 1003-2843(2012)02-0211-03 西南民族大学学报・自然科学版 Mar. 2012
度量空间的完备性及其特殊性质
孙跃娟, 刘永利
(商丘师范学院数学与信息科学学院, 河南 商丘 476000)
摘 要: 从度量空间、完备度量空间的定义出发, 探讨一些特殊度量空间的完备性. 揭示出可测函数空间与连续函数空间的关系.
关键词: 度量空间；完备性; 可测函数
中图分类号: O177 文献标识码：A
doi ：10.3969/j.issn.1003-2483.2012.02.11
1 引言
实数域有一条重要性质, 即其中任一满足柯西条件的序列必收敛, 这一性质称为实数域的完备性, 在数学分析中有重要作用. 而在实数集合中引进元素间的距离而予以推广, 就得到度量空间的概念, 实数域乃是所谓完备度量空间最简单的例子. 在本文中, 从度量空间、完备度量空间的定义出发, 探讨一些特殊度量空间的完备性. 揭示出可测函数空间与连续函数空间的关系. 下面先给出一些基本概念.
定义1[1] 在度量空间(A , d ) 中, {x n }n =1是A 中的点列, 如果对于任意正数ε>0, 在自然数N =N (ε) , ∞
∞使得当m , n >N 时, 必有d (x m , x n )
定义2[2] 如果度量空间(A , d ) 中每个基本点列都在(A , d ) 中收敛, 那么称(A , d ) 为完备的度量空间. 2 主要结果及证明
性质1
例1[4][6] 度量空间完备性与其定义的距离有关. C [a , b ]（闭区间上的连续函数全体）按距离
d (x , y ) =max x (t ) −y (t ) . a ≤t ≤b
称为完备的度量空间.
例2[3−5] C [0, 1]（闭区间[0, 1]上连续函数全体）按距离
d (x , y ) =[∫(x (t ) −y (t )) dt ] 01212
不是完备的度量空间.
定理1 [0, 1]上的可测函数空间(M [0, 1],d ) , 设M [0,1]为[0,1]上实值的可测函数全体且平方可积, m 为lebesgue 测度, 对任意两个可测函数f (x ) 及g (x ) . 定义
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收稿日期：2012-01-24
作者简介：孙跃娟(1981年-), 河南汝州人, 讲师, 研究方向: 偏微分方程及其应用.
西南民族大学学报・自然科学版
d (f (x ), g (x )) =[∫(f (x ) −g (x )) dx ]. 01212
则可测函数空间按上述距离成为完备的度量空间.
证明 设{f n }是M [0,1]中的柯西点列, 有柯西点列的定义, 存在正整数m k , 使得当n , m ≥m k 时, 成立
1
2d (f n , f m ) =[∫(f n (x ) −f m (x )) dx ]
取n k ≥m k , 且使n 1
d (f n k , f n k +1)
因此
∞1, k =1, 2, ⋅⋅⋅. 2k 212
有Holder 不等式, 成立 ∑[∫(f n k +1(x ) −f n k (x )) dx ]≤∑k =1011
1
22∞∫
所以级数 10f n k +1(x ) −f n k (x ) dx ≤[∫(f n k +1(x ) −f n k (x )) ]=d (f n k +1, f n k ) . 01
∑∫k =1∞10f n k +1(x ) −f n k (x ) dx
收敛, 有级数形式的Levi 定理, 级数∑k =1
j =1∞f n k +1(x ) −f n k (x ) 在[0,1]上几乎处处收敛. 因此, 函数列 f n k (x ) =f n 1(x ) +∑(f n j +1(x ) −f n j (x ))(k =1, 2,3, ⋅⋅⋅) .
在[0,1]上几乎处处收敛于一可测函数f (x ) . 下面证明f ∈M [0,1]. 因为{f n }是M [0,1]中的柯西点列, 对于任何正数ε>0, 存在正数N , 使当n , m ≥N 时, k −1
d (f n , f m )
取足够大的k 0, 使n k 0>N , 于是当k ≥k 0, n ≥N 时, 就有
∫1
0(f n (x ) −f n k (x )) 2dx
22又因当k →∞时函数列(f n (x ) −f n k (x )) →(f n (x ) −f (x )) a.e. 于[0,1], 有Fatou 定理得到
(f n (x ) −f (x )) 2是lebesgue 可积函数, 并且有
∫1
0(f n (x ) −f (x )) dx ≤∫(f n (x ) −f n k (x )) 2dx ≤ε2, k →∞0
11
221这说明f −f n ∈M [0,1], 且当n ≥N 时 d (f n , f ) =[∫(f n (x ) −f (x )) dx ]≤ε. 02
又因f n ∈M [0,1], 而f =[f −f n ]+f n , 所以f ∈M [0,1], 因此f n →f , 这就证明了M [0,1]是完备的度量空间.
lebesgue 可测函数是我们在实变函数学习中的一个核心问题, 而可测函数全体构成的度量空间课本上并没
孙跃娟 等: 度量空间的完备性及其特殊性质 第2期 有明确提出. 同样的, 只要被积函数是可积的, 我们类似的可以证明实值可测函数全体, 以及复值可测函数全体, 在任意测度有限的集合上是完备的. 在这里我们不再加以证明.
推论 可测函数空间M [0,1]为连续函数空间C [0, 1]的完备化空间.
参考文献:
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The completeness of the metric space and its special properties
SUN Yue-juan, LIU Yong-li
(Department of Mathematics, Shangiu Normal College, Shangqiu 476000, P.R.C.)
Abstract: This article discusses the completeness of some special metric spaces from the definition. In addition, some special properties of completeness are given. Forthemore, the relation of measurable function space and continuous function space is revealed.
Key words: metric space; completeness; measurable function