指数与指数函数教案
课 题:2.1.1 指数-根式
教学目的:
12.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力; 教学重点:教学难点:授课类型:课时安排:1教 具教材分析:
为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展,初中代数中学习了正整数指教学过程:
一、复习引入:
1 a =a ⋅ a ⋅a a (n ∈N *)
n 个a
n
a 0=1(a ≠0) a 2.运算性质:
-n
=
1
(a ≠0, n ∈N a n
a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈Z )
(a ) =a
m n
mn
(m , n ∈Z )
(ab ) n =a n ⋅b n (n ∈Z )
3.注意
① a ÷a 可看作a ⋅a
m
n
m
-n
∴a ÷a =a ⋅a
m n m -n
=a
m -n
a n a n n -n n n -n
② () 可看作a ⋅b ∴() =a ⋅b b b 二、讲解新课: 1.根式:
⑴计算(可用计算器)
①3= 9 ,则3是9的平方根 ;
②(-5) =-125 ,则-5是-125的立方根 ; ③若6=1296 ,则6是1296 的 4次方根 ;
42
3
④3. 7=693.43957 ,则3.7是693.43957的5次方根 . ⑵定义:
一般地,若x n =a (n >1, n ∈N *) 则x 叫做a 的n 5
a 叫做根式,n 叫做根指数,a 例如,27的3次方根表示为27,-32的5次方根表示为-32,a 的3次方根表示为a 6;16的4次方根表示为!,即16的4次方根有两个,一个是,另一个是-,它们绝对值相等而符号相反.
⑶性质:
①当n 为奇数时:正数的n 次方根为正数,负数的n 6
记作: x =a ②当n 为偶数时,正数的n 记作: x =±a ③负数没有偶次方根, ④ 0的任何次方根为注:当a ≥0时,a ≥0,表示算术根,所以类似=2的写法是错误的. ⑷常用公式
根据n 次方根的定义,易得到以下三组常用公式:
①当n 为任意正整数时,(a ) =a.例如,(27) =27,(-32) =-32. ②当n 为奇数时,a n =a;当n 为偶数时,a n =|a|=⎨
n
3
5
⎧a (a ≥0)
.
⎩-a (a
32
例如,(-2) =-2,25=2;34=3,(-3) =|-3|=3.
⑶根式的基本性质:
np
(a ≥0). a m p =a m ,
2
注意,⑶中的a ≥0十分重要,无此条件则公式不成立. 例如6(-8) ≠
-8.
用语言叙述上面三个公式:
⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.
⑵n 为奇数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身;n 为偶数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.
⑶若一个根式(算术根) 的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变. 三、讲解例题:
例1(课本第71页 例1)求值
32
①(-8) = -8 ;②(-10) = |-10| = 10 ;
42
③(3-π) = |3-π| = π-3 ;④(a -b ) (a >b ) = |a- b| = a- b .
去掉‘a>b’结果如何? 例2求值:
(1) 5+26+7-4-6-42; (2) 2⨯. 5⨯
分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质; 解:
(1) 5+2+7-43-6-42
=(3) 2+2∙2+(2) 2+22-2⨯23+(3) 2-22-2⨯22+(2) 2=((3+2)) 2+(2-) 2-(2-2) 2=|3+2|+|2-3-|-|2-2|=3+2+2-3-(2-2) =22
注意:此题开方后先带上绝对值,然后根据正负去掉绝对值符号。(2) 23⨯. 5⨯=2⨯⨯3
32
⨯2⋅32
23
=2⨯3⨯2⨯22⋅3223
=2⨯3⋅2⋅22⋅3
2
=2⨯3=6
3
四、练习:
五、小结 本节课学习了以下内容: 1.根式的概念; 2.根式的运算性质:
①当n 为任意正整数时,(a ) =a.
②当n 为奇数时,a n =a;当n 为偶数时,a n =|a|=⎨
np
n
⎧a (a ≥0)
.
⎩-a (a
⑶根式的基本性质:六、课后作业:
(a ≥0). a m p =a m ,
课 题:2.5.2 指数-分指数1
教学目的:
1. 理解分数指数幂的概念.
2. 掌握有理指数幂的运算性质. 3. 会对根式、分数指数幂进行互化. 4.培养学生用联系观点看问题. 教学重点:1. 分数指数幂的概念.
2. 分数指数幂的运算性质.
教学难点:对分数指数幂概念的理解. 授课类型:课时安排:1教 具教材分析:教材分析:
在分数指数幂概念之后,课本也注明“若a >0, p 是一个无理数,则a 表示一个确定的实在利用根式的运算性质对根式的化简过程,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律. 在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步将其推广到实数范围内,但无须进行严格的推证,由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. 教学过程:
p
一、复习引入:
1.整数指数幂的运算性质:
a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈Z )
(a ) =a
m n
mn
(m , n ∈Z )
(ab ) n =a n ⋅b n (n ∈Z )
2.根式的运算性质:
①当n 为任意正整数时,(a ) =a.
n
⎧a (a ≥0)
②当n 为奇数时,a =a;当n 为偶数时,a =|a|=⎨.
-a (a
n
n
⑶根式的基本性质:
np
(a ≥0a m p =a m ,
用语言叙述上面三个公式:
⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.
⑵n 为奇数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身;n 为偶数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.
⑶若一个根式(算术根) 的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变. 3.引例:当a >0时
①a ②a
510
=(a ) =a =a =(a ) =a =a
252
105
12434
123
③a =④a =
2
(a ) =a 23
3
23
(a ) =a 12
2
12
上述推导过程主要利用了根式的运算性质,例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此,我们可以得出正分数指数幂的意义. 二、讲解新课:
1. 正数的正分数指数幂的意义
a
m n
=a m (a >0, m , n ∈N *, 且n >要注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外,我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2. 规定:
(1)a
-m n
=
1a
m n
(a >0,m , n ∈N , 且n >*
(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数. 当a >0时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用. 即对于任意有理数r,s, 均有下面的运算性质.
3. 有理指数幂的运算性质:
a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈Q ) (a m ) n =a mn (m , n ∈Q ) (ab ) n =a n ⋅b n (n ∈Q )
说明:若a >0,P 是一个无理数,则a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略.
三、讲解例题:
3⨯1-316-4333
例1求值:8, 100, () , () .8=(2) =23=22=4
481
-
2
3
12
3
p
222
100
解:)
-
12
=(10)
2
-
12
=10
12⨯(-)
2
=10-1=
110
1-3
=(2-2) -3=2(-2) ⨯(-3) =26=64 4
33
16-424⨯(-4) 227() =() =() -3=81338
2用分数指数幂的形式表示下列各式:
a 2⋅a , a 3⋅a 2, a a (式中a >解:a ⋅a =a ⋅a =a
22
12
2+
12
=a 52
a ⋅a =a ⋅a =a
12
12
323
23
3+
23
=a
12
113
a a =(a ⋅a ) =(a ) =a
23
12
12
13
16
56
324
例3计算下列各式(式中字母都是正数)
(1)(2a b )(-6a b ) ÷(-3a b ); (2)(m n ) .
14
388
分析:(1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并(2(1)(2a b )(-6a b ) ÷(-3a b )
解
[1**********]6
(2)(m n )
148
14388-383
=[2⨯(-6) ÷(-3)]a =4ab 0=4a
211++326
b
115++236
=(m ) (n ) =m ∙n m 2=3
n
3
-3
例4计算下列各式:
(1)
a 2a a
2
(a >0);
(2)(25-) ÷ 分析:(1(2解: a 2
(1) (2)(25-) ÷5 2a ∙a 231
=(53-52) ÷54a 2
=1
32131
22 a ∙a =53÷54-52÷5412 21312--
--23
3424 =a =5-5
5
55
6=a =512-54
=a 5
四、练习:课本P 14练习
=55-5.
1. 用根式的形式表示下列各式(a>0)
a =a 3
a , a , a , a a
15
34
-35
-23
34
-
35
=a -3==a -2=
1
a 1
3
a
解:a =a
2. 用分数指数幂表示下列各式:
15
-
23
a 2
3
(1)x 2 (2)(a +b ) (a+b>0) 24
(3)(m -n ) (4)(m -n ) (m>n)
(5)
p ⋅q (p>0) (6)
23
65
m 3m
34
解:(1) x =x
2
2
(2) 23
(a +b ) =(a +b )
4
12
2
3
(3) (m -n ) =(m -n ) (4) (m -n ) =(m -n ) =(m-n) (5) (6)
p ⋅q (p 0) =(p ⋅q ) =p q =p ⋅q m 3m =m ⋅m
3
-12
656
1526252
3
52
=m
52
五、小结 本节课学习了以下内容:
分数指数幂的意义,分数指数幂与根式的互化,有理指数幂的运算性质. 六、课后作业:
1. 课本P 75习题2.5
2. 用计算器求值(保留4位有效数字) (1)5 (2)321 (3)73
45
12
13
23
-12
-34
(4)67 (5)8⋅3 (6)25·8解:(1)5=1. 710 (2) 321=46. 88 (3)73
-1
21213
23
=0. 1170 (4) 67=28. 90
-34
45
(5)8⋅3=2. 881 (6)25·8
=0. 08735
课 题:2.5.3 指数-分指数2
教学目的:
巩固根式和分数指数幂的概念和性质,并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进教学重点:教学难点:准确应用计算. 授课类型:巩固课 课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
一、复习引入:
1.根式的运算性质:
①当n 为任意正整数时,(a ) =a.
②当n 为奇数时,a n =a;当n 为偶数时,a n =|a|=⎨
np
n
⎧a (a ≥0)
.
⎩-a (a
⑶根式的基本性质:
(a ≥0). a m p =a m ,
2.分数指数幂的运算性质:
a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈Q )
(a ) =a
m n
mn
(m , n ∈Q )
(ab ) n =a n ⋅b n (n ∈Q )
二、讲解范例:
例1. 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
2
(1)3a ⋅a (2)a a a (3)(a -b ) 3323
(4)(a +b ) (5)ab 2+a 2b (6)(a +b )
解:(1)a ⋅a =a ⋅a =a
1
2
1122
131411+34
=a
12
14
18
111++248
712
(2) a a a =[a ⋅(a ⋅a ) ]=a ⋅a ⋅a =a (3) 3(a -b ) =(a -b ) (4)(a +b ) =(a +b )
3
34
2
23
=a
78
(5)3ab 2+a 2b =(ab 2+a 2b )
(6)(a +b ) =(a +b ) =(a +b )
例2(课本第77页 例4) 计算下列各式(式中字母都是正数):
3
32
3
2
34
3
132
13
⑴ (2a b )(-6a b ) ÷(-3a b ) ;⑵ (m n ) . 解:⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]a
148
-388
2211+-326
[1**********]614
-
388
⋅b
115+-236
=4ab 0=4a ;
m 2
⑵原式=(m ) (n ) =m n =3
n
-3
说明:该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题,第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的,首先将系数相乘除,然后将同底数的幂相乘除;第⑵小题是先按积的乘方计算,再按幂的乘方计算,在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中,刚开始时,要严格按照象例题一样的解题步骤进行,待熟练以后再简化计算步骤.
例3(课本第77页 例5) 计算下列各式:
⑴ (25-) ÷;⑵
23
32
14
a 2a ⋅a
232
(a>0).
14
32
14
21-34
31-24
512
54
解:⑴原式=(5-5) ÷5=5÷5-5÷5=5=55-55=55-; ⑵原式=
-5=5-5
a 2a ⋅a
12
23
=a
122--23
=a =a 5.
56
说明:本例是利用分数指数幂来进行根式计算,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算;对于计算结果,若没有特别要求,就用分数指数幂的形式表示,若有特殊要求,可根据要求给出结果,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数
例4化简:(x -y ) ÷(x -y ) 解:
12
12
14
14
(x -y ) ÷(x -y )
=(x +y )(x -y ) ÷(x -y ) =x +y
14
14
14
14
14
14
14
14
12121414
评述:此题注重了分子、分母指数间的联系,即(x ) =x ,由此联想到平方差公式的特-1
例5 已知x+x=3,求下列各式的值:
14212
(1) x +x , (2) x +x .
分析:(1)题若平方则可出现已知形式,但开方时应注意正负的讨论;
(2)题若立方则可出现(1)题形式与已知条件,需将已知条件与(1)题结论综合;或者,可仿照(1解:
12
-
1232
-
32
(1) x +x
12
12
-
1212
1-2
1-2
(2) x +x
1
32
-
32
1
=(x ) 2+2∙x x =x 1+x -1+2=3+=5∴x +x
1212
-12
+(x ) 2=(x 2) 3+(x -2) 3
=(x +x )[(x ) 2-x ∙x =(x +x )[(x +x -1) -1]=(3-1) =25
12
-12
12
-12
12
12
-12
1+(x -) 2]
2
=±-12
又由x +x -1=3得x >0所以x +x
=评述:(1)题注重了已知条件与所求之间的内在联系,但开方时正负的取舍容易被学生所忽(2)题解法一注意了(1)题结论的应用,显得颇为简捷,解法二注重的是与已知条件的联系,体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用,耐用具有一定层次,需看透问题实质方(2三、练习:
1.练习:课本第78页 练习:4;习题:*6⑴,*7⑴. 2. 练习求下列各式的值:
36
(1)25 (2)27 (3)() 2
49
25-2
(4)() (5)81⨯92 (6)23⨯. 5⨯
4
3223
3
33
五、小结 本节课学习了以下内容:
熟练进行有关分数指数幂是计算,熟练掌握分数指数幂的定义和运算性质 六、课后作业:
1.求下列各式的值:
125-3
2
(1)2 (2)() (3)10000 (4)()
2749
-
-
1
2
64
1
34
2
解:(1)2
1
21
=(11) =11
1
122
2⨯
12
=11
1
64-282-282⨯(-2) 8-17
() = (2)() =(2) =()
497787
(3) 10000
-3
4
=(10)
4
-
34
=10
34⨯(-)
4
2
=10-3=0. 001
2
125-353-35-53⨯(-) 59
) =(3) =) 3]3=() 3=() -2= (4) ( 27333253
2.课本第75页 习题2.5:6 ⑵,7 ⑵⑶⑷.
22
课 题:2.1.2 指数函数1
教学目的:
1. 理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质. 2. 教学重点:教学难点:指数函数的图象性质与底数a 的关系. 授课类型:新授课 课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析:
概念从实际问题引入,这样既说明指数函数的概念来源于客观实际,也便于学生接受和培养为了与初中讲二次函数图象的变化相呼应,二是为以后各章学习函数或向量的平移做些准备教学过程: 一、复习引入:
引例1(P57):某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,„„. 1个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么?
分裂次数:1,2,3,4,„,x 细胞个数:2,4,8,16,„,y
由上面的对应关系可知,函数关系是y =2.
引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,设原来的价格为1,x 年后的价格为y ,则y 与x 的函数关系式为 y =0. 85x
在y =2, y =0. 85x 中指数x 是自变量,底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
二、新授内容:
1.指数函数的定义:
函数y =a (a >0且a ≠1) 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数定义域是x
x
探究1:为什么要规定a>0,且a ≠1呢?
①若a=0,则当x>0时,a =0;当x ≤0时,a 无意义.
②若a
x
x
x
x
11,x=,„42
③若a=1,则对于任何x ∈R ,a =1,是一个常量,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a ≠x ∈R ,a 都有意
x
x
义,且a >0. 因此指数函数的定义域是R ,值域是(0,+∞).
探究2:函数y =2⋅3x 是指数函数吗? 指数函数的解析式y=a 中,a 的系数是1.
有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=a +k (a>0且a ≠1,k ∈Z) ;有些函数
x
x
x
x
⎛1⎫
看起来不像指数函数,实际上却是,如y=a (a>0,且a ≠1) ,因为它可以化为y= ⎪,
⎝a ⎭
-x
x
其中
11
>0,且≠1 a a
x
x
2. 指数函数的图象和性质:
⎛1⎫⎛1⎫x
在同一坐标系中分别作出函数y=2,y= ⎪,y=10,y= ⎪的图象.
⎝2⎭⎝10⎭
x
⎛1⎫⎛1⎫x x
我们观察y=2,y= ⎪,y=10,y= ⎪的图象特征,就可以得到
⎝2⎭⎝10⎭y =a x (a >0且a ≠1)
x x
例1某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1分析:通过恰当假设,将剩留量y 表示成经过年数x 的函数,并可列表、描点、作图,解:设这种物质量初的质量是1,经过x 年,剩留量是
用描点法画出指数函数y=0.84xy=0.5只需x ≈4. 答:约经过4例2 (课本第81页)比较下列各题中两个值的大小:
①1. 7
2. 5
,1. 7; ②0. 8
3-0. 1
,0. 8
-0. 2
; ③1. 7
0. 3
,0. 9
3. 1
解:利用函数单调性
①1. 7
x
2. 5
与1. 7的底数是1.7,它们可以看成
3
函数
y=1. 7,当x=2.5和3时的函数值;因为1.7>1,数y=1. 7在R 是增函数,而2.5
所以函
x
1. 72. 5
②0. 8
-0. 1
与0. 8
-0. 2
的底数是0.8,它们可以看
成为
函数 y=0. 8,当x=-0.1和-0.2时的函数值;因0
x
x
-0.1>-0.2,所以,0. 8
-0. 1
-0. 2
;
0. 3
1. 7③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号:
0. 9>1;
3. 1
1. 7
0. 3
>0. 9
3. 1
小结:对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性,必须要明确所给的两个值是哪
个指数函数的两个函数值;对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 四、练习:⑴比较大小:(-2. 5) ,(-2. 5) ⑵已知下列不等式,试比较m 、n 的大小:
23
45
22
() m >() n ⇒m
⑶比较下列各数的大小:1, 0. 4
-2. 5
, 2-0. 2 , 2. 51. 6
五、小结 本节课学习了以下内容:指数函数概念,指数函数的图象和性质 六、课后作业:
课 题:2.1.2 指数函数2
教学目的:
1. 2. 掌握指数形式的函数定义域、值域,判断其单调性; 3. 教学重点:指数形式的函数定义域、值域 教学难点:判断单调性. 授课类型:课时安排:1教 具教学过程:
一、复习引入:
y =a x (a >0且a ≠1)
二、讲授范例:
例1求下列函数的定义域、值域:
⑴y =0. 4
1x -1
⑵y =3
x -1
⑶y =2x +函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x 解(1)由x-1≠0得x ≠1 所以,所求函数定义域为{x|x≠1}
1
≠0,得y ≠x -1
所以,所求函数值域为{y|y>0且y ≠说明:对于值域的求解,在向学生解释时,可以令1
≠t ,考察指数函数y=0. 4t , x -1
(2)由5x-1≥0得x ≥
15
所以,所求函数定义域为{x|x ≥
15
由 x -1≥0得y ≥1 所以,所求函数值域为{y|y≥(3)所求函数定义域为由2>0可得2x x
所以,所求函数值域为通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定例2求函数y = ⎪解:设x 1
⎛1⎫⎝2⎭
x 2-2x
⎛1⎫2 ⎪x 1(x 2-x 1)(x 2+x 1-2) 2-x 1-2x 2+2x 1
y 2⎝2⎭1⎛⎫⎛1⎫== ⎪= ⎪ 则 2
x 1-2x 1
y 1⎛1⎫⎝2⎭⎝2⎭
⎪⎝2⎭
∵x 10
当x 1, x 2∈(-∞, 1]时,x 1+x 2-2
2x 2-2x 2
y 2
>1 ∴y 2>y 1y 1
当x 1, x 2∈[1, +∞)时,x 1+x 2-2>0 这时(x 2-x 1)(x 2+x 1-2) >0 即
y 2
∴函数y 在(-∞, 1]上单调递增,在[1, +∞)解法二、(用复合函数的单调性):
⎛1⎫设:u =x 2-2x 则:y = ⎪
⎝2⎭
⎛1⎫
对任意的1
⎝2⎭
∴y 1
u
u
⎛1⎫⎝2⎭
x 2-2x
在[1, +∞) ⎛1⎫
对任意的x 1u 2,又∵y = ⎪是减函数
⎝2⎭
u
∴y 1
⎛1⎫⎝2⎭
x 2-2x
在[1, +∞) 引申:求函数y = ⎪
⎛1⎫⎝2⎭
x 2-2x
的值域 (0
小结:复合函数单调性的判断(见第8课时) 例3设a 是实数,f (x ) =a -
2
(x ∈R ) 2x +1
试证明对于任意a, f (x ) 为增函数;
(1)证明:设x 1, x 2∈R, 且x 1
f (x 1) -f (x 2) =(a -
则
22
) -(a -2x 1+12x 2+1)
x
x
=
222(21-22)
-=
2x 2+12x 1(2x 1+1)(2x 2+1)
x
由于指数函数 y=2在R 上是增函数, 且x 1
x
x
x
2x 1
又由2>0得21+1>0, 22+1>0 所以f (x 1) -f (x 2)
求下列函数的定义域和值域:
1
⑴y =-a ⑵y =() x +3
2
x
1
解:⑴要使函数有意义,必须 1-a ≥0 , a ≤1 当a >1时 x ≤0; 当00 ∴0≤1-a
x
x
x x
111
≠0 ∴y =() x +3≠() 0=1 又∵y >0 ∴值域为 ∵
x +322(0, 1) (1, +∞)
五、小结 本节课学习了以下内容:
1
课 题:2.1.2 指数函数3
教学目的:
1.了解函数图象的变换;能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题. 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力; 3教学重点:教学难点:函数图象的变换;指数函数性质的运用. 授课类型:课时安排:1教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
一、复习引入:指数函数y =a x (a >0, a ≠0)的定义、图像、性质(定义域、值域、单调 二、新授内容:
例1(课本第82页 例2)用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2的图象的关系,
⑴y=2
x +1
x
与y=2
x +2
. ⑵y=2
x -1
与y=2
x -2
.
x +1
x +2
x
比较函数y=2
x
、y=2与y=2的关系:将
指数函数y=2的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2
x +1
的图象,将指数函数y=2的图
x +2
x
象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2⑵作出图像,显示出函数数据表
比较函数y=2
x
x -1
、y=2
x -2
与y=2的关系:将指数函
x
数y=2的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2
x -1
的图象,将指数函数y=2的图象向右平行
x
移动2个单位长度,就得到函数y=2
小结:⑴ y=2
x -m
x
x -2
与y=2的关系:当m>0时,将指数函数y=2的图象向右平行移动m
x -m
x
个单位长度,就得到函数y=2的图象;当m
x -m
x
动m 个单位长度,就得到函数y=2
例2 ⑴已知函数 y = ⎪用计算器或计算机作出函数图像,求定义域、值域,并探讨y = ⎪与
⎛1⎫⎝2⎭
x
⎛1⎫⎝2⎭
x
⎛1⎫
y = ⎪⎝2⎭
x
⎧⎛1⎫x
⎪ ⎪, x ≥0
解:y =⎨⎝2⎭ 定义域:x ∈R 值域:0
⎪2x , x
⎛1⎫⎛1⎫
关系:将y = ⎪的图像y 轴右侧的部分翻折到y 轴左侧的到y = ⎪的图像,关
⎝2⎭⎝2⎭
于y 轴对称.
x -1
x x
⎛1⎫
⑵已知函数 y = ⎪
⎝2⎭⎛1⎫y = ⎪⎝2⎭
x -1
用计算器或计算机作出函数图像,求定义域、值域,并探讨
与y = ⎪
⎛1⎫⎝2⎭
x -1
⎧⎛1⎫x -1
⎪ ⎪, x ≥1
解:y =⎨⎝2⎭ 定义域:x ∈R 值域:
⎪2x -1, x
0
⎛1⎫
关系:将y = ⎪
⎝2⎭⎛1⎫y = ⎪⎝2⎭
x -1
x -1
(x>1)的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到
的图像,是关于直线x=1对称
⑵推广:对于有些复合函数的图象,则常用基本函数图象+变换方法作出:
基本函数图象+变换:即把我们熟知的基本函数图象,通过平移、作其对称图等方法,得到我们所要求作的复合函数的图象,如上例,这种方法我们遇到的有以下几种形式:
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换,但随着知识的增加,还会有许多较复杂的变换,以后再作研究.
例3探讨函数y =a x 和y =a -x (a >0且a ≠1) 的图象的关系,并证明关 于y 证:设P(x 1, y 1) 是函数y =a x (a >0且a ≠1) 的图象上任意一点 则y 1=a 1 而P(x 1, y 1) 关于y 轴的对称点Q 是(-x 1, y 1x
∴ y 1=a
x 1
=a -(-x 1) 即Q 在函数y =a -x 由于P 是任意取的, 所以y =a 上任一点关于y 轴的对称点都在y =a 同理可证:y =a
x
-x
x -x
图象上任意一点也一定在函数y =a 的图象上
-x
x
∴ 函数y =a 和y =a
的图象关于y 2x +2-x
例4 已知函数 y = 求函数的定义域、
2
解:作出函数图像,观察分析讨论,教师引导、整理 定义域为2x +2-x
由y =得 22x -2y ⋅2x +1=0
2
∵x ∈R, ∴△≥0, 即 4y 2-4≥0, ∴y 2≥1, 又∵y >0,∴y ≥1 三、小结
课 题:2.2.1 对数的概念1
教学目的:
1.理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化;
2教学重点:对数的概念
教学难点:对数概念的理解. 授课类型:新授课 课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教材分析:对数产生于17世纪初叶,为了适应航海事业的发展,需要确定航程和船舶的
位置,为了适应天文事业的发展,需要处理观测行星运动的数据,就是为了解决很多位数的始并称为17世纪数学的三大成就,广泛使用以及航天航海技术的不断进步,利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完 念有关,是在指数概念的基础上定义的,在一般对数定义logaN(a>0,a≠1) 之后,给出两个特殊的对数:一个是当底数a=10时,称为常用对数,简记作lgN=b ;另一个是底数a=e(一个无理数) 时,称为自然对数,简记作lnN 教学过程:
一、复习引入:
11)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺?
2假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍?
⎛1⎫⎛1⎫x
抽象出:1. ⎪=?, ⎪=0.125⇒x=? 2. (1+8%)=2⇒x=?
⎝2⎭⎝2⎭
4x
二、新授内容:
定义:一般地,如果 a (a >0, a ≠1)的b 次幂等于N, 就是 a =N ,那
b
么数 b叫做 以a 为底 N的对数,记作 log a N =b ,a 叫做对数的底数,N
例如:
42=16 ⇔ log 416=2 ; 102=100⇔log 10100=2
4=2 ⇔log 42=
12
1-2
; 10=0. 01⇔log 100. 01=-2 2
探究:⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 )
⑵log a 1=0,log a a =1
∵对任意 a >0且 a ≠1, 都有 a =1 ∴log a 1=0
同样易知: log a a =1 ⑶对数恒等式
如果把 a =N 中的 b写成 log a N , 则有 a
b
log a N
=N
⑷常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做,N 的常用对数
log 10N 简记作例如:log 105简记作lg5 ; log 103. 5简记作lg3.5.
⑸自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828„„为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作例如:log e 3简记作ln3 ; log e 10简记作ln10
(6)底数的取值范围(0, 1) (1, +∞) ;真数的取值范围(0, +∞三、讲解范例:咯log
例1将下列指数式写成对数式:(课本第87页)
11m a
() (3)3=27 (4) =5.73
643
1
解:(1)log 5625=4; (2)log 2=-6;
64
(3)log 327=a; (4)log 15. 73=m
(1)5=625 (2)2=
4
-6
3
例2 将下列对数式写成指数式:
(1)log 116=-4; (2)log 2128=7;
2
(3)lg0.01=-2; (4)ln10=2.303 解:(1)()
1
2
-4
=16 (2)27=128;
2. 303
(3)10=0.01; (4)e
-2
=10
例3计算: ⑴log 927,⑵log 4381,⑶log (2+3)2-3,⑷log 34625
5解法一:⑴设 x =log 927 则 9x =27, 3⑵设 x =log 81 则⑶令 x =log (2+)2-∴2+3
x
()
2x
=33, ∴x =
3 2
(
)=81, 3=3, ∴x =16 )=log ()(2+3),
4
x 4
-1
2+3
()=(2+3)
x
-1
, ∴x =-1
⑷令 x =log 3解法二:
54
625, ∴5
)=625, 5
4x
4x 3
=54, ∴x =3
⑴log 927=log 93=log 99=⑵log 4381=log 4() 16=16
3
32
3
; 2
⑶log (2+3)2-=log (2+)2+⑷log 3
5
4
()()
-1
=-1
625=log 34(54) 3=3
5
四、练习:
1.把下列指数式写成对数式
-11
(1) 2=8 (2)2=32 (3)2=(4)273=
23
3
5
-1
1
解:(1)log 28=3 (2) log 232=5 (3) log 2
111
=-1 (4) log 27=- 233
2. 把下列对数式写成指数式
(1) log 39=2 (2)log 5125=3 (3)log 2
2
11
=-2 (4)log 3=-4 481
3
解:(1)3=9 (2)5=125
(3)2=
-2
11-4 (4) 3= 481
1
16
3. 求下列各式的值
(1) log 525 (2)log 2
(3)lg 100 (4)lg 0.01 (5)lg 10000 (6)lg 0.0001 解:(1) log 525=log 55=2 (2) log 2
2
1
=-4 16
(3) lg 100=2 (4) lg 0.01=-2 (5) lg 10000=4 (6) lg 0.0001=-4 4. 求下列各式的值
(1) log 1515 (2)log 0. 41 (3)log 981 (4)log 2. 5625 (5)log 7343 (6)log 3243 解:(1) log 1515=1 (2) log 0. 41=0 (3) log 981=2 (4) log 2. 5625=2 (5) log 7343=3 (6) log 3243=5 五、小结 本节课学习了以下内容:
⑴对数的定义, ⑵指数式与对数式互换 ⑶求对数式的值 六、课后作业:
1. 把下列各题的指数式写成对数式 (1)4=16 (2)3=1 (3)4=2 (4)2=0. 5 (5)3=81 (6)10=25 (7)5=6 (8)4=
x
x
x
x
2
0x x
1 6
解:(1)2=log 416 (2)0=log 31 (3)x=log 42 (4)x=log 20.5 (5)x=log 381 (6)x=lg 25 (7)x=log 56 (8)x=log 42. 把下列各题的对数式写成指数式
(1)x=log 527 (2)x=log 87 (3)x=log 43 (4)x=log 7
x
1 6
1
(5)x=lg 5 (6)x=lg 0.3 3
x
x
解:(1) 5=27 (2) 8=7 (3) 4=3
(4) 7=
课 题:2.2.1
x
1x x
(5) 10=5 (6) 10=0. 3 3
对数的运算性质2
教学目的:
1.掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2.能较熟练地运用法则解决问题; 教学重点:教学难点:对数运算性质的证明方法. 授课类型:课时安排:1教 具教学过程:
一、复习引入:
1.对数的定义 log a N =b 其中 a ∈(0, 1) (1, +∞) 与 N∈(0, +∞2
3. 重要公式:
⑴负数与零没有对数; ⑵log a 1=0,log a a =⑶对数恒等式a
log a N
=N a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈R )
3.指数运算法则 (a ) =a
m n
mn
(m , n ∈R )
(ab ) n =a n ⋅b n (n ∈R )
二、新授内容:
积、商、幂的对数运算法则:
如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有:
log a (MN)=log a M +log a N (1)
M log a =log a M -log a N (2)
N
log a M n =nlog a M(n∈R) (3)
证明:①设log a M=p, log a 由对数的定义可以得:M=a ,N=a p q
∴MN= a a =a
p q p +q
∴log a MN=p+q,
即证得log a MN=log a M + log a
②设log a M=p,log a 由对数的定义可以得M=a ,N=a p q
M M a p
=p -=q =a p -q ∴log a ∴
N N a
即证得log a
M
=log a M -log a N N
③设log a M=P 由对数定义可以得M=a ,
np
∴M =a ∴log a M =np, 即证得log a M =nlog a M
n
n
n
p
说明:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”„„
②有时逆向运用公式:如log 105+log 102=log 1010=③真数的取值范围必须是(0, +∞) :
log 2(-3)(-5) =log 2(-3) +log 2(-5) log 10(-10) 2=2log 10(-10) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
log a (MN ) ≠log a M ⋅log a N ,log a (M ±N ) ≠log a M ±log a N 三、讲授范例: 例1 计算
(1)log 525, (2)log 0. 41, (3)log 2(4×2), (4)lg 解:(1)log 525= log 5575
2
(2)log 0. 4(3)log 2(4×25)= log 24+ log 22
= log 22
(4)lg =
2⨯7
775
+ log 22 = 2×5
12log102=lg10=55例2 用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式:
xy
(1)loga ;
z
(2) log a
解:(1)log a (2)log a
xy
=log a (xy )-log a z=log a x+log a y- log a z z
x 2y
z
2
=log a (x
2
y ) -log a 3z
= log a x +log a 例3计算: (1)lg14-2lg
11
y -log a z =2log a x+log a y -log a z 23
7lg 243lg 27+lg 8-3lg +lg7-lg18 (2) (3) 3lg 9lg 1. 2
说明:此例题可讲练结合. (1)解法一:lg14-2lg
7
+lg7-lg18 3
2
=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(3×2) 解法二:
lg14-2lg
772
+lg7-lg18=lg14-lg() +lg7-lg18 33
=lg
14⨯7
=lg 1=72
() ⨯183
评述:此题体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视.
lg 243lg 355lg 3(2) ===lg 9lg 322lg 3(3)
lg 27+lg 8-3lg =
lg 1. 2lg
10
132
3
12
3
(lg3+2lg 2-1)
==lg 3+2lg 2-1评述:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3)题各部分变
形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 四、课堂练习:
1. 求下列各式的值:
(1)log 26-log 2(2)lg 5+lg (3)log 53+log 5
1
(4)log 35-log 33
解:(1)log 26-log 23=log 2
6
=log 23
(2)lg 5+lg 2=lg (5×2)=lg 11
=log 5(3×) =log 533
51
(4) log 35-log 315=log 3=log 3=-log 33=-1.
153
(3) log 53+log 5
2. 用lg x,lg y,lg z表示下列各式:
xy 2xy 3x
(1) lg(xyz ); (2)lg ; (3)lg ; (4)lg 2
z y z z
解:(1) lg(xyz )=lg x+lg y+lg z;
xy 2
(2) lg =lg xy 2-lg z=lg x+lg y 2-lg z
z
=lg x+2lg y-lg z;
(3) lg
xy 3z
=lg xy -lg z =lg x+lg y -
33
1
lgz 2
=lg x+3lg y-
1
lgz; 2
(4)lg
1x 22
=lg x -(lgy +lg z ) =lg x -lg y z 2
2y z =
1
lg x -2lg y -lg z 2
五、小结 六、课后作业: 1. 计算: (1) log a 2+log a (3) lg
1
(a>0,a≠1) (2)log 318-log 32 2
1
-lg25 (4)2log 510+log 50.25 4
(5)2log 525+3log 264 (6) log 2(log 216) 解:(1) log a 2+log a
11
=log a (2×)=log a 1=0 22
18
(2) log 318-log 32=log 3=log 39=2
2
111-2
(3)lg -lg25=lg (÷25)=lg =lg 10=-2
44100
(4)2log 510+log 50.25=log 510+log 50.25
2
=log 5(100×0.25) =log 525=2
2
(5)2log 525+3log 264=2log 55+3log 22
6
=2×2+3×6=22
(6) log 2(log 216)=log 2(log 22)=log 24=log 22=2
2. 已知lg 2=0.3010,lg 3=0.4771,求下列各对数的值(精确到小数点后第四位) (1) lg6 (2)lg 4 (3)lg12 (4)lg
4
2
3
(5)lg (6)lg32 2
解:(1)lg 6=lg 2+lg 3=0.3010+0.4771=0.7781
(2) lg4=2lg 2=2×0.3010=0.6020
(3) lg12=lg(3×4) =lg 3+2lg 2=0.4771+0.3010×2=1.0791
3
=lg 3-lg 2=0.4771-0.3010=0.1761 2
11
(5) lg = lg3=×0.4771=0.2386
22
(4) lg
(6) lg32=5lg 2=5×0.3010=1.5050
3. 3. 用log a x,log a y,log a z,log a (x+y),o l g
a
(x-y)表示下列各式:
z 3x
(1) log a 2; (2)log a (x 2);
y y z
(3) log a (xy z
1
2
-23
); (4)log a
xy
; 22
x -y
(5)log a (
x +y y 3
⋅y ); (6)log a []. x -y x (x -y )
解:(1) log a
=
x
=log a y 2z
x -log a y 2z
1
log a x-(2log a y+log a z) 31
=log a x-2log a y-log a z; 3
(2) log a (x·=log a x+
z 3
)=log a x+log a y 2
z 3
y 2
132
(log a z -log a y ) 423
=log a x-log a y+log a z
44
=log a x-log a y+(3) log a (xy z =log a x+(4) log a
12
-23
3
log a z; 4
12
-23
)=log a x+log a y +log a z
12
log a y-log a z; 23
xy 22
x =xy -(-) log log y a a 22
x -y
=log a x+log a y-log a (x+y)(x-y)
=log a x+log a y-log a (x+y)-log a (x-y); (5) log a (
x +y x +y
·y)=log a +log a y x -y x -y
=log a (x+y)-log a (x-y)+log a y; (6) log a [
y 3
]
x (x -y )
=3[log a y-log a x-log a (x-y)] =3log a y-3log a x-3log a (x-y) 七:
课 题:2.1.2
对数的换底公式及其推论3
教学目的:
12.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力; 教学重点:教学难点:换底公式的证明和灵活应用. 授课类型:课时安排:1教 具教学过程:
一、复习引入:对数的运算法则
如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有:
log a (MN)=log a M +log a N (1)
M log a =log a M -log a N (2)
N
log a M n =nlog a M(n∈R) (3)
二、新授内容:
1. 对数换底公式:
log a N =log m N ( a > 0 ,a ≠ 1 ,m > 0 ,m ≠log m a
证明:设 log a N = x , 则 a x
两边取以m 为底的对数:log m a x =log m N ⇒x log m a =log m N
从而得:x =log m N log N ∴ log a N =log m a m 2. 两个常用的推论:
①log a b ⋅log b a =1, log a b ⋅log b c ⋅log c a =1② log a m b =n n log a b ( a, b > 0且均不为1m
证:①log a b ⋅log b a =lg b lg a ⋅=lg a lg b
lg b n n lg b n ②log a m b ===log a m m lg a m lg a n 三、讲解范例:
例1 已知 log 23 = a, log 37 = b, 用 a, b 表示log 42 56
解:因为log 23 = a,则
∴log 42 56=
例2计算:①51=log 32 , 又∵log 37 = b, a log 356log 37+3⋅log 32ab +3 ==log 342log 37+log 32+1ab +b +1 ② log 43⋅log 92-log 1
21-log 0. 2
3 解:①原式 = 5
5log 0. 23=
551log 53=5=3
②原式 = 11515log 23⋅log 32+log 22=+=22444例3设x , y , z ∈(0, +∞) 且3=4=6
1︒ 求证 x y z 111+= ; 2︒ 比较3x , 4y , 6z x 2y z
x y z 证明1︒:设3=4=6=k ∵x , y , z ∈(0, +∞) ∴k >1
取对数得:x =lg k lg k lg k , y =, z = lg 3lg 4lg 6
∴11lg 3lg 42lg 3+lg 42lg 3+2lg 2lg 61+=+==== x 2y lg k 2lg k 2lg k 2lg k lg k z
lg k lg 64
lg 64-lg 8134
∴3x
9
lg 36-lg 6446
∴4y
∴3x
由对数定义可知:x
解法二:
由已知移项可得log a x -log a c =b ,即log a
由对数定义知:
解法三:
b b b ∴x =c ⋅a b =log a a b ∴l o g x =l o g c +l o g a =l o g c ⋅a a a a a =a log a c +b =a log c ⋅a b =c ⋅a a x =b c x =a b ∴x =c ⋅a c
四、课堂练习:
①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 , 用 a, b 表示log 3645
解:∵ log 18 9 = a ∴log 18
b b 18=1-log 182=a ∴log 182 = 1-a 2 ∵ 18 = 5 ∴ log 185 = b
∴ log 3645=log 1845log 189+log 185a +b ==log 18361+log 1822-a ②若log 83 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5
解:∵ log 83 = p ∴log 233 =p ⇒log 23=3p ⇒log 32=1 3p 又∵log 35=q ∴ lg 5=log 35log 353pq = =1+3pq log 310log 32+log 35
三、小结 本节课学习了以下内容:换底公式及其推论
四、课后作业:
1.证明:log a x =1+log a b log ab x
证法1: 设 log a x =p ,log ab x =q ,log a b =r 则:x =a x =(ab ) q =a q b q b =a ∴a p =(ab ) q =a q (1+r ) 从而 p =q (1+r ) ∵ q ≠0 ∴p r log a x p =1+r 即:=1+log a b (获证) q log ab x
log a x log x ab ==log a ab =1+log a b =右边 log ab x log x a 证法2: 由换底公式 左边=
2.已知log a 1b 1=log a 2b 2= =log a n b n =λ
求证:log a 1a 2 a n (b 1b 2 b n ) =λ
证明:由换底公式 lg b n lg b 1lg b 2== ==λ 由等比定理得: lg a 1lg a 2lg a n
lg b 1+lg b 2+ +lg b n lg(b 1b 2 b n ) =λ ∴=λ lg a 1+lg a 2+ +lg a n lg(a 1a 2 a n )
lg(b 1b 2 b n ) =λ lg(a 1a 2 a n ) ∴log a 1a 2 a n (b 1b 2 b n ) =
五、