自动控制原理考研经典例题解析第7章
第七章 线性离散系统的分析与校正
例7-1 复合控制离散系统如图7-1所示。试求出系统的闭环脉冲传递函数C (z ) R (z ) 或输出的z 函数C (z ) 。
图7-1 例7-1图
解：分析：若系统输入端的G 1(s ) 环节含有零、极点，而输入信号r (t ) 未经采样就输入该环节，因此该系统不存在r (t ) 为输入的闭环脉冲传递函数C (z ) R (z ) ，但仍可得到输出信号的
z
函数C (z ) 。
在采样开关和系统输出端处可得
⎧C (z ) =E (z ) ⋅G 2G 3(z ) +RG 0G 3(z )
⎨
⎩E (z ) =RG 1(z ) -E (z ) ⋅G 2G 3H (z ) -RG 0G 3H (z )
消除中间变量E (z ) 。最后得
C (z ) =RG 0G 3(z ) +
G 2G 3(z ) [RG 1(z ) -RG 0G 3H (z ) ]
1+G 2G 3H (z )
注意：因离散系统中既有连续信号也有离散信号，因此，连续系统结构图等效变换法则不能直接套用于离散系统。一般可由采样开关处的变量写出对应的方程组，并求解得到系统的输出z 函数或脉冲传递函数。 y [(k +1) T ]=(1-e
-T RC
) e (kT ) +e
-
T RC
y (kT )
例7-2 离散控制系统如图7-2所示，试求其脉冲传递函数表达式。
图7-2 例7-2图
解：开环脉冲传递函数为 G (z ) =Z [
1-e
s
-1
-Ts
⋅
K s +a
1as
]=(1-z
-1
) Z [
K s (s +a )
(1-e (z -e
]
=K (1-z ) Z [闭环脉冲传递函数为
-
1a (s +a )
]=
K a
-aT -aT
⋅
) )
K
Φ(z ) =
G (z ) 1+G (z )
=z -e
a
-aT
(1-e +K a
-aT
) K a
e
-aT
-
例7-3 数字控制系统如图7-3所示，试计算r (t ) =0，n (t ) =1(t ) ，D (z ) =输出。
图7-3 例7-3图
解：首先要导出以干扰为输入，y (t ) 为输出的脉冲传递函数，
-Ts
⎡⎤1-e N (s ) -D (z ) Y (z ) Y (s ) =⎢⎥ s +1⎣s ⎦
K 1z z -1
时的稳态
1
代入N (s ) =
1s
, 上式两端求Z 变换，有
⎡⎤⎡⎤11-1
Y (z ) =Z ⎢-(1-z ) Z ⎥⎢⎥D (z ) Y (z )
⎣s (s +1) ⎦⎣s (s +1) ⎦
Y (z ) =
⎡⎤1
Z ⎢⎥s (s +1) ⎣⎦
⎡⎤1-1
1+(1-z ) Z ⎢⎥D (z )
⎣s (s +1) ⎦
-T
⎡⎤1(1-e ) z
=而Z ⎢⎥-T
s (s +1) ⎣⎦(z -1)(z -e )
，所以(1-z
-1
⎡⎤1-e 1
) Z ⎢⎥=-T
z -e ⎣s (s +1) ⎦
-T
于是 Y (z ) =
K 1z z -1
z (1-e
(z -1)[(z -e
-T
-T
)
-T
) +(1-e ) D (z )]
代入D (z ) =，得
z (1-e
z +[K 1(1-e
2
-T
-T
Y (z ) =
)
-T
) -(1+e )]z +e
-T
Y (z ) 的表达式中，已包含了干扰作用量，采用终值定理计算Y (∞) ，所有的极点必须在单位
圆内。分母多项式为两阶，用朱利判据确定极点在单位圆内K 1的取值是方便的。
a 2=e
-T
-T
D (1) =1+K 1(1-e
2
) -(1+e
-T
) +e
-T
>0
，取得K 1>0；
-T
(-1) D (-1) =1-K 1(1-e
-T
) +(1+e
-T
) +e >0
，得K 1
)
2(1+e (1-e
-T
) )
-T
。
故Y (z ) 满足终值定理的条件为 0
2(1+e (1-e
-T
-T
)
lim
z →1
(z -1) Y (z ) =0
例7-4 一数字伺服系统如图7-4所示，试根据预期的伪频率特性设计数字控制器，设计指标为：
图7-4 例7-4图 （1）σ％
解：（1）求开环脉冲传递函数：
G
0(z ) =(1-z
-1
⎡K ⎤T K (z +1)
) Z ⎢⎥=⋅
32
2(z -1) ⎣s ⎦
2
（2）选取采样周期T =0. 01秒，进行w 变换：
1-
G 0(w ) =G (z )
z =(1+
T 2w )
(1-
T 2
T 2
2
w =900
1-
w 200
2
=K ⋅
w )
w w
其伪对数幅频特性如图7-5曲线Ⅰ所示。
图7-5 例7-4图
（3）确定预期伪对数幅频特性：
σ=0. 16+0. 4(M r -1) =0. 25
得 M r =1. 225
K =2+1. 5(M
r
-1) +2. 5(M
2r
-1) =3.
2
w c =
K πt s
=27. 574
，取w c =30弧度/秒
20. 01
30⨯0. 01
2
根据 w w =
c
2T
tan
w c T 2
=tan
=30
过w w =30点作-20dB /dec 的斜线，设中频区的二个转折频率为：w w 和w w 。
c
1
2
根据经验公式取：w w =5弧度/秒，w w =200弧度/秒；则期望伪对数幅频特性为
1
2
(
G (w ) =900
w (
2
w 5
+1)
2
w 0. 8
+1)(
w 200
+1)
期望的伪对数频率幅频特性如图7-5曲线Ⅱ所示。
（4）G (w ) =
D (w ) G 0(w )
(
900
w (
2
w 5
+1)
2
900(1-
=D (w ) +1)
w
2
w 200
)
w 0. 8
+1)(
w 200
由于是采用预期伪幅频特性设计数字控制器，因此，有
(
D (ω) =
(w 0. 8
w 5+1) w 200
2
+1)
2
+1)(
（5）变换成D (z )
D (z ) =D (w )
w =
2z -1⋅T z +1
=1. 67
(z -0. 0951) (z +1)
z (z -0. 992)
2
2
（6）仿真结果：σ%=24%，t 3=0. 3秒满足要求。单位阶跃响应曲线如图7-6所示。
图7-6 例7-4图
例7－5 用根轨迹法确定图7-7所示系统得临界稳定的K 值，并分析K 与动态特性的关系。采样周期T =2秒。
图7-7 例7-5图 解：系统的开环传递函数为
⎡⎤K 1. 8Kz ⎡1⎤-1
= G (z ) =Z ⎢⎥(1-z ) Z ⎢2 ⎥
s (z -1)(z -0. 82) s (s +0. 1) ⎣⎦⎣⎦
（1） 开环极点p 1=1，p 2=0. 82，开环零点z 1=0； （2） 实轴上根轨迹（0.82，1），（0，-∞）；
（3） 求分离点：
1d -1
+
1d -0. 82
=1d
解出：d 1, 2=±0. 906
（4） 根轨迹复数部分是一个圆，圆心在坐标原点，半径为0.906，如图7-8所示。 在d 1=0. 906处的K 1值为
K 1=
d 1-1d 1-0. 82
1. 8d 1
=
0. 094⨯0. 0861. 8⨯0. 906
=0. 005
在d 2=-0. 906处的K 2值为
K 2=
1. 906⨯1. 7261. 8⨯0. 906
=2. 017
2⨯1. 821. 8⨯1
=2. 022
在于单位圆相交点的K 3值为 K 3=
当0
2. 017
时，具有一对复实根，振荡频率f =
2π2T
=
π
T
T 为采样周期）；当K >2. 022
时，系统不稳定。
图7-8 例7-5图
例7-6 图7-9所示数字控制系统。采样周期T =1秒，连续部分的传递函数为
G 0=
1s (s +1)
，试设计数字控制器D (z ) ，使得r (t ) =t ⋅1(t ) 时，系统无稳态误差且过渡过程
在最少拍内结束。
图7-9 例7-6图 解 （1）连续部分的脉冲传递函数为
G z ) =Z ⎡1⎤0. 368(z +0. 72)
0(⎢⎣s (s +1) ⎥
=⎦(z -1)(z -0. 368)
（2）实现二阶无静差，二拍结束过渡过程的闭环传递函数的设计形式为
Φ(z ) =
2z -11) 2
z
2
,
Φe (z ) =
(z -z
2
D (z ) =
2z -1368) (z -1) 2
G =2. 72
(2z -1)(z -0. 0(z )
(z -1)(z +0. 72)
2
（3）E (z ) =Φ) R (z ) =
(z -1) Tz
ε(z z
2
⋅
-1
(z -1)
2
=z