轴对称及最短路径问题
读史使人明智,读诗使人灵秀,科学使人深刻,伦理学使人庄重,逻辑学使人善辩, 数学使人聪明睿智,并且学好其他各个科目...
——培根《论读书》
最短路径问题
(一)利用轴对称解决最短路径问题
(二)用平移解决造桥选址问题
例1,如图,a//b,N为直线b上的一个动点,MN垂直于直线b,交直线a于点M,当点N在直线b的什么位置时,AM+MN+NB最小? a
由于MN的长度是固定的,因此当AM+NB一步转化为:当点N在直线b的什么位置时,AM+NB最小?
详解:将AM沿与a垂直的方向平移,点M移动到点N,点A移动到点A’,则
AA’=MN,AM+NB=A’N+NB.这样,问题就转化为:当点N在直线b的什么位置时,A’N+NB最小?
如图,在连接A’,B两点的线中,线段A’B最短。因此,线段A’B最短。因此,线段A’B与直线b的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径AMNB是最短的。
L
2
例2,在P、Q两村之间有两条河,且每条河的宽度相同,从P村到Q村,要经过两座桥MN、EF。现在要设计一条道路,并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥,问:如何设计这两座桥MN,EF的位置,使由P村到Q村的路程最短? P L1
L2
1 2
解析: 河的宽度(桥的宽度)固定,利用“平移交换”解决问题。
L1
L2
4 L 3
(1)过点P作PA垂直于L1,垂足为A,过点Q作QB垂直于L3,垂足为B; (2)分别在PA和QB上截取PC=QD=河的长度; (3)连接CD,分别交L2和L4于点E和M;
(4)过点E和点M分别作L1和L3的垂线段,垂足分别为F和N;
(5)连接PF和QN,则路线P→F→E→M→N→Q就是满足题意的从P到Q的最短路线。