§6.6匀速圆周运动

§6.6.《匀速圆周运动》学案

执笔人：平原一中 张学芹 2006年2月

【学习目标】

（1）理解并记住描述圆周运动的物理量。 （2）学会解匀速圆周运动的运动学问题。

（3）掌握解圆周运动动力学问题的一般方法。

【自主学习】

一、匀速圆周运动的特点：

1、轨迹： 2、速度：

二、描述圆周运动的物理量： 1、线速度

（1）物理意义：描述质点 (2)方向: (3)大小: 2、角速度

(1)物理意义:描述质点 (2)大小： （3）单位： 3、周期和频率

（1）定义：做圆周运动的物体 叫周期。

做圆周运动的物体 叫频率。

（2）周期与频率的关系： （3）频率与转速的关系： 4、向心加速度

（1）物理意义：描述 （2）大小： （3）方向： （4）作用： 5、向心力

（1）作用： （2）来源： （3）大小： （4）方向： ★特别思考

（1）向心力、向心加速度公式对变速圆周运动使用吗？ （2）向心力对物体做功吗？ 三、圆周运动及向心力来源： 1、匀速圆周运动：

（1）性质：

（2）加速度： （3）向心力： （4）质点做匀速圆周运动的条件：

（a）

(b) 2、非匀速圆周运动：

（1）性质： （2）加速度： （3）向心力： 3、向心力来源： 四、离心运动：

1、定义：

2、本质： 3、特别注意：

（1）离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。

（2）离心运动并不是受到什么离心力作用的结果，根本就没什么离心力，因为没什么物体提供这种力。

【典型例题】

一、匀速圆周运动的运动学问题：

例1、如图—1所示,传动轮A、B、C的半径之比为2：1：2，A、B两轮用皮带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。试求：a、b、c、d四点的角速度之比，即ωa:ωb:ωc:ωd线速度之比,即va:vb:vc:vc向心加速度之比,即:aa:ab:ac:ad.

（小结）本题考察得什么：

例2、如图—2，A、B两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、

B的周期分别为T1、T2，且T1

（小结）解该题需要注意什么：二、圆周运动的动力学问题：

例3、如图5—6—5所示，线段OA＝2AB，A、B两球质量相等．当它们绕()点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力TAB与TOA

之比为多少? 图—2

提示：通过本题总结解题步骤：

（1）明确 ，确定它在那个平面内作圆周运动。

（2）对研究对象进行 ，确定是那些力提供了 。 （3）建立以 为正方向的坐标，根据向心力公式列方程。 （4）解方程，对结果进行必要的讨论。

例4、如图，长为L的细绳一端固定，另一端连接一质量为m的小球，现将球拉至与水平方向成30°角的位置释放小球（绳刚好拉直），求小球摆至最低点时的速度大小和摆球受到的绳的拉力大小。

（小结）该题的易错点表现在：

【针对训练】

1．—个物体以角速度ω做匀速圆周运动时．下列说法中正确的是： ( ) A．轨道半径越大线速度越大 B．轨道半径越大线速度越小 C．轨道半径越大周期越大 D．轨道半径越大周期越小 2．下列说法正确的是：( ) A．匀速圆周运动是一种匀速运动 B．匀速圆周运动是一种匀变速运动 C．匀速圆周运动是一种变加速运动

D．物体做圆周运动时，其合力垂直于速度方向，不改变线速度大小

3．如图5-16所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则 A的受力情况是：( ) A．受重力、支持力

B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力 C．受重力、支持力、向心力、摩擦力

D．以上均不正确

图5-16

4．一重球用细绳悬挂在匀速前进中的车厢天花板上，当车厢突然制动时，则：( ) A．绳的拉力突然变小 B．绳的拉力突然变大

C．绳的拉力没有变化 D．无法判断拉力有何变化

5、如图—3所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B 、C分别是三个轮边缘的质点，且RA=RC=2RB，则三质点的向心加速度之比aA：aB：aC等于( ) A．4：2：1 B．2：1：2 C．1：2：4 D．4：1：4

6．质量为m 的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，绳子所受的张力之差是： [ ] A、6mg B、5mg

C、2mg D、条件不充分，不能确定。

7．两个质量分别是m1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为L的细线连接，水平杆随框架以角速度ω做匀速转动，两球在杆上相对静止，如图5-18

所示，求两球离转动中心的距离R1和R2及细线的拉力．

【能力训练】

1．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为 （ ）

A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1

2、如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则：（ ）

①a点和b点的线速度大小相等 ②a点和b点的角速度大小相等 ③a点和c点的线速度大小相等 ④a点和d点的向心加速度大小相等

A.①③ B. ②③ C. ③④ D.②④

3、如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质

量相等的小球A和B，在各自不同的水平布做匀速圆周运动，以下说法正确的是：（ ） A. VA>VB B. ωA>ωB C. aA>aB D.压力NA>NB

4、半径为R的光滑半圆柱固定在水平地面上，顶部有一小物块，如图

所示，今给小物块一个初速度v0gR，则物体将：（ ） A. 沿圆面A、B、C运动

B. 先沿圆面AB运动，然后在空中作抛物体线运动 C. 立即离开圆柱表面做平抛运动

D. 立即离开圆柱表面作半径更大的圆周运动

5、如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点钉一颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后

由静止释放小球，当悬线碰到钉子时：（ ） ①小球的瞬时速度突然变大

②小球的加速度突然变大

③小球的所受的向心力突然变大

④悬线所受的拉力突然变大

A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D.①②③

6、如图所示，汽车以速度V通过一半圆形拱桥的顶点时，

A. 汽车受重力、支持力、向心力

B. 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力 C. 汽车的向心力是重力

D. 汽车的重力和支持力的合力是向心力

7．在光滑的水平面上相距40 cm的两个钉子A和B，如图5-21所示，长1 m的细绳一端系着质量为0.4 kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2 m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动．若细绳能承受的最大拉力是4 N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是：( )

图5-21

A．0.9π s B．0.8π s C．1.2π s D．1.6π s

8．如图所示，质量m=0.1kg的小球在细绳的拉力作用下在竖直面内做半径为r=0.2m的圆周运动，已知小球在最高点的速率为v1=2m/s，g取10m/s2，试求：

v

（1）小球在最高点时的细绳的拉力T1=？ （2）小球在最低点时的细绳的拉力T2=？

9．(6分)如图5-14所示，半径为R的圆板置于水平面内，在轴心O点的正上方高h处，水平抛出一个小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与抛球初速度方向平行时，小球开始抛出，要使小球和圆板只碰一次，且落点为B，求：(1)小球初速度的大小． (2)圆板转动的角速度。

图5-14

10、长为L=0.4m的轻质细杆一端固定在O点，在竖直平面内作匀速圆周运动，角速度为ω=6rad/s，若杆的中心处和另一端各固定一个质量为m=0.2kg的小物体，则端点小物体

2

在转到竖直位置的最高点时，（g取10m/s）求: (1)杆对端点小物体的作用力的大小和方向； (2)杆对轴O的作用力的大小和方向。

【学后反思】

___________________________________________________________________________________________________________________ 。

例题、针对练习及能力训练题答案

一 、例题

例一（1）ωb=ωc,ωa=ωb,因为v=ωR,va=vb 且ra=2rB,所以ωb=2ωa,由此得出: 因为ωa:ωb=1:2,ωb:ωc=1:1,ωa:ωd=1:1 ωa:ωb:ωc:ωd=1:2:2:1 (2)va=vb,而va=2vd,vc=2vb,所以va:vb:vc:vd=2:2:4:1 (3) aa:ab:ac:ad =2:4:8:1

或者按aa:ab:ac:ad=ωa2ra:ωb2rb:ωc2rc:ωd2rd=2:4:8:1. 例2、t=nT1T2/(T2-T1) 例3、5／3 例4

二、针对训练

1、答案：A 2、答案：C

解析：匀速圆周运动中，速度和加速度方向时刻在变，故A、B错，C对；物体只有做匀速圆周运动时，其合力才垂直于速度，不改变线速度大小，D错．故C选项正确．

3．答案:B

解析：物体A在水平台上，受重力G竖直向下，支持力FN竖直向上，且两力是一对平衡力，至于物体A是否受摩擦力，方向如何，由运动状态分析才知道，由于A随圆盘做圆周运动，所以必须受到向心力作用，G与FN不能提供向心力，只有A受摩擦力F′且指向圆心充当向心力，才能使物体有向心力而做匀速圆周运动．故B正确． 4．答案:B

解析：车厢突然制动时，重球由于惯性，继续向前运动，而悬线欲使它改变运动方向则沿圆弧运动，所以拉力变大，即B正确． 5、答案:A 6．答案:A

7．解析：绳对m1和m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意 R1＋R2＝L，R2＝L-R1 对m1：F＝m1ω2R1

对m2：F＝m2ω2R2＝m2ω2(L-R1) 所以m1ω2R1＝m2ω2(L-R1)

m2L

m1m2m1L

R2＝L-R1＝

m1m2m2L

F＝m1ω2·

m1m2

即得：R1＝

m1m22L

＝

m1m2

m2Lm1Lm1m22L

答案：；；F＝

m1m2m1m2m1m2

三、能力训练

1、D 2、C 3、A 4、C 5、B 6、D

7、答案：B

解析：当小球绕A以1 m的半径转半圈的过程中，拉力是

22v2

F1＝m＝0.4×＝1.6 N，绳不断

1r1

当小球继续绕B以(1－0.4)＝0.6 m的半径转半圈的过程中，拉力为

22v2

F2＝m＝0.4×＝2.67 N，绳不断

0.6r2

当小球再碰到钉子A，将以半径

(0.6－0.4)＝0.2 m做圆周运动，

22v2

拉力F3＝m＝0.4×＝8 N．绳断

0.2r3

所以在绳断之间小球转过两个半圈，时间分别为

2r1

s21 t1＝1＝0.5π s

vv22

2r2

s20.6 t2＝2＝0.3π s

vv22

所以断开前总时间是

t＝t1＋t2＝(0.5π＋0.3π)s＝0.8π s 8．（1）T﹦3N （2）T﹦7N

9．解析：(1)小球做平抛运动在竖直方向 h＝ t＝

12gt 2

2h g

2h

＝R g

在水平方向： s＝v1t＝v0

所以v0＝R

g2h

(2)因为t＝nT＝n

2

即

2h

g

＝n2

所以ω＝2πng

2h

(n＝1，2，…) 答案：(1)R

gg2h (2)2πn2h

(n＝1，2，…) 10、简解：（1）mg+T2

A=mω L

Tω2

A= m L-mg=0.88N （2）mg+ T2

B -TA=mω L/2

T2

B = TA +mω L/2-mg=0.32N 方向向下 轴O受力方向向上，大小也为0.32N

方向向下L