[三垂线定理及其逆定理(应用)]教案及说明
教案:垂线三理定其及定逆理(习复课
()材教:教人全日版制普高通级学(必中修数)第二学册下 A( ))
课题
:三线定理垂其逆及定(理复课)习教学目 的:1 、知目识:进一标步理解记忆并、应三垂用线理定其及定逆理。 2、能力目:标( 1理解三垂线)理及其定逆定理之的关系,间握掌三垂 定理线其逆定及应用的理规;律 2()于在复善杂形中图离出适用分的线用于直解题; 3(进)一培养学步生识的能力、图思维能和力解决题问 的力. 3、德能目育标通:强过训练渗透化化繁简为思想和的化的思转想 教.学点重:进步一掌握垂三线定理其及逆定并理应用它来们解有的关. 教题学难点 :复对图杂形如何离出分合符理定条件用的以题以解解及决题问的能 的力培养 授类课:型习课 复教模学:讲式结练 教合过程: 环节学1:复习导入 教师给出三垂线 理及其定定逆,理然后出问提题:垂三线理定其及逆定理彼 独立吗此它们的?位能不置能交一换?下( 发学引对三生垂线定理及其逆定理关系的的考, 分思析垂三定理线及逆 其理定的容内 环节 2:三垂)定理及其逆定线理的剖 析、1识三垂认线理定:平面在的一条内线,直果和如个这平的一条斜线面 射影垂的,直那么,它就这和斜条线直垂。问题: 正定 理研究的是哪两线条垂的关系?直它是何如决的?解解决问的题 要思主使想什么?
设
目的置:让 生通过学分析得出垂线三定是通过理断判面平内的线直与斜 在平面内线的射垂直来影到这条得直与线斜的垂线直关,即 线射垂系直(
平问面)
线斜垂题直
(空间问题
)
从而学让生体三垂会线理中定蕴的含降维想:把思空问间题转为化面问平题。 2、识三垂认线理的逆定理定在:平内的一面直条线如果和,个平这的一 面条斜垂直,那么它线也这条和线斜的射影垂直。 问:逆定理研题究又是哪两的直条线的直垂关?系它又如是何解决?的 设置的目让:生类学比垂线定理的三析思分得路出垂三线定理已知的结和论: 斜线垂直
空间问题(
)
线垂射
(直平问题面
教)师引再导生学分其析的数学思想:把中空中间的条归结件同一到个面 平,这在解中中题非常重要是,把的知条件已相对中是集题的解第步。一 、讨3论定正与理逆理的关定:系
正定理
线射垂直( 面问题平 )从得而两个出理定关的:系
逆定
理
线
斜直垂 空(问间)
题教师板(书)定理正:线射垂直 线斜垂 直(先平面后间空 )逆定理线斜:直 垂 射线垂(先空间直后面)平 、总结4用两个定理应题的一解般骤 教师步导学生引通过定对内容理再的认,
识提取用两个定应解理的一题般 步。骤( 示幻出片灯)正 理定在平:内的面条一直,线如果和个平面这的一条线的射影斜直垂, 么那它就,和条斜这垂直线。定 基 准面平定 线 主找垂
线
逆定理:在
面内平的一直线条,如和果个这平面的一条斜垂线直那,它也 和这么斜条的射影垂直线 。节 3环、定理应用例举 用一、证明线线应垂直例 1判断下列、命题的真:假( 1 ) 若a 是面平 的α线,斜直 线b 垂直于 a在 面平α内 的射影, 则a ⊥(b)
(
) 2 若a是平 面 α斜的线 ,面平β内的 线 直 垂b于直 a 平面α 在的内影, 则射 ⊥b a(
)(
3若 a 是平)α面的斜线 直,线 bα 且 b 直垂于 a在另 一面β平 内的射影 则 ,ab⊥( )
4() 若 a是面α 的平斜,线bα ∥,直线 b垂于 直 a在平面 内的射影α则,a ⊥b( )
置目的:加设深学对两生定个理的认,明确识定使理的用条,同件时学让 生能较地好解理三线定理垂及逆其理中定五个素元一“四线”之面的关系。间教 安排学安排四:学个生答口,教组师织其他生讨论,学师点教评调运强 用定理时需要注的地方。意例 2、知已 是P平面AB C 一点,外PA⊥平 面AB CAC ⊥ B,,C求证: C ⊥ PBC 设。目置: ①的学生逐让步握掌用应定证明理两条直垂线的一直步骤般,固巩学 生对两定个的理识认②通过对问题的解决;学让生够能分区正定理和定理逆, 在题时解够能确的正选用 ;题③没中有图配,学让生学根据已知信会息出几画 何图形。 教学安排:教先给师题干部出,分学生让据已知根息画信出何几形图教, 师给出问再。由于题目题并不难,可由学生以论讨解,决这里主要是但组织学对生运用 垂三线理定题解步骤的归纳的 。例 、在3面体四AB CD ,中知已AB⊥ DCAC⊥B,,求证:ADD⊥BC 。置设目:的进一①步加学生深对用运理定题解的时解题步骤理地和解握; 掌②让生在学解题中逐学会通步过寻垂线来实现找两种线垂线直关的系相转互化 A,D⊥BC是 空两间直线条垂直, 通的过定理可以正把转它化为基平面准的内线线
垂
问题直, 再用逆定理把利已中知异的面垂直系关中到集准基面平,实现内已 与知知的对接未。 教学安:学生讨论完成,排师归教方纳。 应法用、二作出二角的平面角面 问 题1我:们知道利用几何求法面二角的大时小一第步就要是作二面角的 出面角平那,求么二面角的作平面角的常方法有哪用?些 学教排:安学生讨论,归纳出求二作角面平面的三种角法即方义定(法、垂 法面、线垂。法问题 2 为什么利用:垂线定三及理其定逆理以可作二出角面平的角面(让 ?学生次再认识垂三线定
理
及其定理的逆论结 ,同巩固学时生对面二的平角角面 义的定解理 教)安排学:教展示师用利三线定垂及其理逆理求作二面角的平定面的过角 程其中重,点是构另造个半平一面。师动画教示展过:程平平面移内的直 a线 与 斜 P线 O交,相从利而相交用线直出平面作 , 生产二角 面a ,时此线斜PO 与射 影A O 形成就了二角的面面平。角教师点明问再题中线主就是二面的 角棱。
P
a
AP AO
P a AO
A
O
例、4四棱在锥P-ABC D ,已知中底 面ACD B是正方,侧形 PD棱⊥ 底面 BCDAP, =2DDC求二面角 ,C–P –D B的大。小设 置的: 让学生熟悉利目三垂线用理定及逆其理定作求二面的角面平的基角本 方法,学生体会让到垂线定理三其逆定理在及求解面角问题二的中用。应教 师排:安让生思学后考讨论解,法教板书师示范,这里调几强证何。 法节环 4、课堂小 结题问:天今,我研究了哪些问们?
(学生讨论题归,总结纳这节的课研的主究要内容教师出,示幻灯片) v、认1三垂线识定理其与逆定的理容和内系:关 正定:理射线直 垂 线斜垂直先(面平,后空间)逆 定理线:垂直 斜线射垂 (先直空,后平间面) 2、用两利个理解题的定基本思路 定基准平面:→主线→定找线 垂3两、个定理主的应用要: (1证明)线垂直; 线2)寻找二面(的平角角。 环节 5面布置、课外作 (业出幻示片灯 在四)棱锥 -PACDB中, 已 底知 ABCD面是 正形,方 侧 PD ⊥底棱面ABC , PDD= DCE, 是PC 的 中点作, E ⊥PBF交 PB 于 点F. 1(求)证PA: //平面ED B ;()2明:证B ⊥P面 EFD平 ;(3)求二面 角C–PB –D 的小大 .(2004年 天津高考题)设置目的: 查学检生三垂线定理对及逆定理其的理解和用应,里主这是要 证明线垂直线求作和二面的平角角。 环节面6、 下课
案教明
说
、授课内容的一学本质数教和学目标位定1、授 内课容的数学本 质节课本主要目的是深加学生三垂线对定理其及定逆理理的和解认, 同时识通 例过和练题让习生逐步学解理个定两理证在明线垂线直求和二作角面面方的运 。用 三垂线理及定其定理是逆高立中体几中两个重何要定理。的三线定垂理其 及定逆理, 揭了平示内面的线与平直面的线垂、斜线及斜在平线内面的射这三影 直条线垂直的关,系 其质实平面是内一的直条线平与面的一斜条(或线斜线在平 面的射内)影垂的判定直理定也就。说,是这两个定理要主研究的是线直与直的线垂直 系,关进也是而究直研线平面与直、垂平面与面垂直的重平要结论。 垂三线定把理平面的内线与平面的斜直的垂线直系关转为平面内的化线 直与线在斜
平面内射的的垂影关直,这系把里一空个间问转题化成一个面问平, 体题现了学中数化的思想。 归三而垂线定理逆定的理是把平面内的直线则斜线与 在面平的射影的垂直关内转化系平面为的内线与直面的斜平的垂线直关系 此,时 把是空间的何几件条结为归平内的面几条何,件从 可而利以初中平用几面何知识的来 解立体几何问题求。 因, 此三线垂定理及其定逆较理地好现了展体几何中空 立间题问平与面题问互相化的转要思重想。 、教2的学标定位 目之前在, 学已生分经别学了三习线定理垂三垂和定理线逆定理,的是但对于两 个理之定联系和区别间却没太多有认识。因此,的本节的课要目主也的是就 让生在已学有识的知基上础对,三垂线理及定其逆理进定进一行的学步和研究习, 中从体会体几何立一的些要的数学重思。想知从目识标上加,深学生对垂线定三 理其及逆定理理的和解认;识从能力上 让学,生理在解三垂定理线及逆其定的 基础上,理能用利个两理证明直线与直定线的垂直问题求、面二的大小角等问题 ,而体从三垂线会定理及其定逆的理单运简用;从感上,情让学通生对三垂线过 定及理逆其定理的认识再,体立体会何几空间问中题与平面问题互相化转的思。想 、二学教容内基的础地、位作和
用
、1三线垂定及理其定逆是理共面两直的线垂直关于空间两直线的系直垂 系关间之相的互转化的定判定, 理们的实它是质过通线垂线直得线到面直又垂化 为转线垂直。 线因, 这节此要课学求生较好握直掌与平面垂线的判定定直理和质性 理定,同时 三垂对定线和理三线垂理定的定理要有逆一的了解定就,可在以教 的引师导下过师通探生、 学生讨讨等论式方三对线垂定及其逆理理定关的及系用应作进一 的学习步 。于由中还涉及利其三垂线定理用及逆定其求理二面作的平面角角 ,以这所节一课般在放立体何几章一复习课上的。 2、教内学容的地位和作 三用线垂理及其逆定理可以定说直是与平面垂线的判直定理和定质定理的 应用,性 同两个定理时也是体几何中立间空题问与面问题的相互平化转一的典型 个子例。 通过两对个定进理步的一学习,以可加学深生直对与线平面直的判定垂 定理和性定理质得理, 从解种意义某上,也说可以帮助生学更地掌好直线握平与 面垂的直系,让关生学更地好体会立体何中几间空平面与相互转化数学思想的。 垂线三定理其及逆理定立是几何体证明各中垂种关直的重系要结论同时也, 是作二求面的角面角的重平要据。 依三、学诊断分教析1、学 习本容时内生容易学解的了方 地由在于前学生之
已经别分对垂三定理线和垂三定线的理定逆进行了一定理程度的 学习和习练,因 学此生对个定理两的内容及以定在理解中的应题用都有了 一了解些,理解而这两个理定的容也内是好本学课的基节。础 2学习、本容内时学容易误解的生地 在认识方三线定垂和三垂理定理线的定理的关系逆时由于两,个理定是彼此独立的 ,而两个 定刚理好两是线对垂直线系关的相转化,互生学往往为认两个理定 没有后先顺序以可换交, 而不从能很好理解两地个理中定体现的数学思想另一 。方, 由面于没很好有理解地理的定容,内学往生往不知什道时候么应使该用这两 定理个来题,有解则是的使定用理时有没完全备具理中定条件的。 、四法特点以及教预期果分效 析1教法特、点 教学的导指思想是:发学启反生复思考,不断内成化为自己认知的结构整。
课节用采讲结合的方式展练开教,学以系 问题列纽为带导学生对两引定个理条的件 结和论行思进,考从 而理清两个理定间的之关系。设置 例题的由生学论讨成,完充分 挥发学的生主作用体。在讲解每 一个例时题如何灵活地应,用三垂线理定及其逆定 理是讲都课的点, 也是时重刻要把住握中的环节心,别特是一空个图间形 有多平个面,时加更调强题的解一般步:首骤确先“定准基面” ,再确平“定主 线 ,然”后出找“垂线”就是键关了。 2预期、果 通过本效课的节习,学生能学好很地握掌三垂线理定三垂线定理的和内,能 较容地好解理两个定理间之关系, 的从而理立解体几中何空间题与平面问题之间问 转化数的思学,想能在并之后的学中习逐利用步这思种来研想立究体何问几题 。用精采多练的方法讲,使学生能见的题型到更,多解题思更为灵路活使,他们 较比易地提容高一层个,从而次以使的后学较习为利顺 。教中学紧把灵紧活运三垂用线定及其逆定理作为重点理强,调生学对用定运理 思的的路解理 ,并通过一的例定让题学生逐体步到,由会于三垂定理线及逆 定其理研的究是面平 的 线 直 a与平 面 斜的线 P、 O线直a 斜线 PO与在 平面 内 的 射 影AO 间的垂之关直,系此我因们把线 a直 称问题的“为线主”, 但于由主线 a 必出现在平须面 ,内所以们我把面平 成为 基准“平”面 所以,利三用 垂定线及其逆定理证理明线垂直线的基本路思是先定:准平面基,再主线,定再找垂 线。例在2 和 例3中都 调强这了思路种,此通因过本课节学的,学生习这对种解 题的基本路会思有个一深刻的更解。在二理角大面小的计算中求作二,面角的 面角一平是直一比较困难的个问题,学教中通
过平移主 a线 斜与 线P O交相后 构作另个一半面,平让学生感 了受利三用垂定线理其逆定理求及作二角面的平角 的基本原理,面使得 生在学今后算计二角面大小能够时更自地如用利三线垂理定及 其逆定理来求二面角的平作面角
。