从囚徒困境到博弈论

（2003年9月10日）

今天我要讲的是博弈论（也叫对策论），这本来是一门很深的学问，在学校里至少要讲一个学期，甚至还有专门的博士课程。但在这里我不可能讲这么多，我只能做一个简单的概括，把它的基本概念、研究方法和一般规律给大家介绍出来。

从囚犯难题说起

我们先从一个常见的案例说起。这个故事是这样的：

有一个富人在家中被谋杀，他的财产被盗。警方在侦讯过程中抓到两名嫌疑犯：甲和乙，并在他们家中搜出了被盗的财物。但甲、乙都否认杀人，声称他们进入被害 人家中时那个人已经死去。所以警方肯定他们至少犯下了盗窃罪，但对他们是否杀死了被害人并没有把握。于是警方在把他们隔离的情况下分别对他们表示：因为偷 东西已经有确凿证据，这将被判刑2年；如果拒不承认杀人而被另一方检举，将被判刑20年，而检举的一方可以受奖无罪释放；如果双方都坦白杀人，将各被判刑 10年。这样，甲乙可能面临的判决如下：

通过分析可以看出，最后的结果是甲乙都会承认杀人。因为对本人来说，不管对方承认不承认，自己承认总比不承认好。如果对方不承认，自己承认相比不承认等于 从判刑2年改为无罪释放；如果对方承认，自己承认相比不承认相当于从判刑20年减到了10年。这样，对甲乙双方来说，最佳的选择都是承认杀人。

这个结果与他们是否真的杀了人无关，即使他们没有杀人，也会承认杀人。由于特定的选择条件，本来对双方最有利的结局（都不承认杀人，各被判刑2年）不会出 现，出现的是对双方都不利的结果，这就是所谓的“囚犯困境”。我们想想看，“文革”时期坦白从宽、抗拒从严的政策使一大批人承认了自己从没有犯过的“罪 行”，原因就在于此。

“囚徒困境”具有非常深刻的含义，它说明了为什么短视地追求自己利益将导致对大家都不利的结局。现实中类似的例子还很多，比如为了图一时的方便，大家都不 按交通规则行事，结果导致交通瘫痪；再比如前些年很多单位拿国家的钱争相发奖金，结果导致了全社会的通货膨胀。不同的是，在囚徒困境模型里只涉及两个人， 如果这种情况重复出现，两个人很容易从失败中吸取教训，从选择承认杀人改为不承认，这样，处境就可以改善。而生活中很多类似囚徒困境的情况涉及到成千上万 的单位或个人，要想让他们一致地改进策略就非常困难。

在囚徒困境中，双方都承认杀人是一个稳定的结果，因为任何一方一旦单独离开这个选择，只会使自己的处境变得更坏。在多次重复的情况下，双方可能通过吸取教 训改变策略（都不承认罪行），使双方都能受益。然而这又是一个比较脆弱的均衡，因为任何一方一旦突然改变策略，承认罪行，又可以立刻得利。但这种利益也不 会长久，到了下一次，对方必然也承认罪行，从而回到最初对双方都不利的状况。所以，除非双方都能着眼于长远利益，并克服侥幸的心理，他们才可能走出困境。

博弈论的基本概念和分析方法

“囚 徒困境”其实是博弈论里一个特定的例子。博弈论又叫对策论，它研究两人或多人对局时，各方如何决定自己的策略，以求得最佳结果。在博弈中各方都有几种可供 选择的着法，各方虽然知道每种对策所导致的后果，但并不知道对方将选择何种着法。它是对利益对立条件下人的选择规律性的客观研究，它不偏袒任何一方，它既 要考虑如何进攻，又要考虑如何防御。

博奕论中的对局（game），定义为有一定人数参加（不是变换着的）、每人有一定数目的策略（strategy）。各方的策略给定后，称为一个局 （play）。对所有发生的局都有一个支付数量（payoff），就称为对策。下面我们再举一个例子来说明博弈论的分析方法。

设甲、乙二人参加一种游戏，甲有两种选择：A1或A2；乙也有两种选择：B1或B2。游戏规则规定：如果甲选择 A1，乙选择B1，则乙付给甲1元；如果甲选择A1，乙选择B2，甲付给乙1元；如果甲选择A2，乙选择B1，乙付给甲2元；如果甲选择A2，乙选择 B2，甲付给乙2元。我们可以把游戏规则用一个方阵来表示：

这个方阵我们称为甲的支付矩阵，矩阵中的正数表示甲的所得、乙的支付，而负数表示甲的支付、乙的所得。类似地，可以想象，乙也有一个支付矩阵，其中的数字正好跟甲的支付矩阵反号。这样，我们看甲乙二人会如何选择。

对乙来说，最有利的选择是B2，这样他肯定赢钱，至少能得到1元。如果选B1，他不仅不可能赢钱，反而必须付钱。

对甲来说，最有利的结果是A2B1，但他知道，乙不可能选B1，所以他只能选A1，这样能把损失降到最低。

所以，最后的结果是A1B2，甲付给乙1元。对这个结果，双方都没有改进的余地，如果改变策略只能使自己的处境变得更糟，因而都不愿意改变策略，我们称之 为纳什均衡。在例中，对任何一个局，一方的收入等于另一方的付出，参与各方损益之和为零，称为零和对局。容易看出，零和对局的特点一方的支付矩阵为另一方 支付矩阵的反号。

我们知道，经济活动中的商品交换不是零和对局。参与交换的人都能从中得益，所以他们才有参与的积极性。股票市场也不是零和对局。一个正常的股票市场，从总量上看，投资者赚的钱一定大于赔的钱，这是因为股票市场能促进资源优化配置，为社会创造了财富。

前面支付矩阵得到的结果－1（A1B2）还有一个特点，它是所在行中的最小值，又是所在列中的最大值，我们称之为鞍点。当支付矩阵有鞍点时，双方将稳定在这个点上，不再移动。此策略称为博奕对局的稳定解，简称解。

较复杂的博弈方式：混合策略

对于没有鞍点的对局，双方将采取碰运气的方式混合使用各种策略。下面举一个例子：

在这个矩阵中，找不一个点，在所在行中为最小，同时在所在列中为最大，所以它没有鞍点。这个对局没有一个稳定的解。

设想一下，如果甲选择A1，乙将选择B1；如果乙选择B1，甲又会变为A2；如果甲变为A2，乙又会跑到B2；如果乙到了B2，甲又会选择A1……如此往 复，永远找不到一个稳定的解。对这样的对局，双方无法推测对方的策略是什么，因此只能碰运气，混合使用各种策略。

值得注意的是，混合策略也有均衡解，即按概率分配每种策略，使得结局为最优。这种情况可以引用一个案例来说明（本例为讲座后收集补充）。我们来看一个犯罪者与警察的支付矩阵（假定犯罪者在警察休息时一定作案成功，在警察巡逻时作案一定会被抓住）：

这个矩阵的数字含义表示：警察巡逻，犯罪者不作案，双方都没有收益也没有损失；警察巡逻，犯罪者作案，警察因抓到罪犯受到表彰，得到效用2单位，罪犯被判 刑丧失效用2单位；警察休息，犯罪者不作案，警察休息的很愉快得到效用2单位，犯罪者没有收益也没有损失；警察休息，犯罪者作案，警察因失职被处分而丧失 效用1单位，罪犯犯罪成功获得效用1单位。这个博弈是没有纳什均衡的。

但是，如果警察知道犯罪者以p的概率选择作案（不作案概率就为1-p），他该怎样采取自己的行动？对警察而言，巡逻的预期效用为0×（1-p）+2p= 2p，休息的预期效用为2×（1-p）-1×p=2-3p。显然，当2p>2-3p即p>0.4的时候,警察最好选择巡逻；反之2p0即q

博弈均衡的一般规律

为了总结求解零和对局的一般规律，我们再来看一个更复杂的例子。以下为甲的支付矩阵（乙的支付矩阵与此反号）：

在对局中，甲有4种选择，乙有5种选择，现在来看二人如何选择自己的策略。

甲作选择时，会这么考虑：如果自己选A1，对方为了最大限度降低损失，必然选B5。同理，如果自己选A2，对方必然选B3；如果自己选A3，对方必然选 B1；如果自己选A4，对方必然选B5。比较四个可能出现的结果（表中斜体字）：0、4、2、1，对甲最有利的是4，所以甲会选择A2。

乙作选择时，将这么考虑：如果自己选B1，对方为了最大限度受益，必然选A1。同理，如果自己选B2，对方必然选A4；如果自己选B3，对方必然选A2； 如果自己选B4，对方必然选A1；如果自己选B5，对方必然选A3。比较五个可能出现的结果（表中粗体字）：9、6、4、8、8，对乙最有利的是4，所以 乙会选择B3。

最后的结果是A2B3——乙向甲支付4，这是一个稳定解（也是纳什均衡），无论甲或乙都不会离开这个策略，因为离开将对自己不利。支付值4有一个特点，它 是各行的最小值中最大者，同时又是各列中最大值中的最小者，这就是鞍点。由此可以得出求解二人零和对局的一般方法：寻找支付矩阵各行中最小值中的最大者 （Maximin），同时寻找各列中最大值中的最小者（Minimax），如果两者重合，重合点就是对局的鞍点，此时我们称之为纯策略的均衡解。

根据支付矩阵横行的Maximin＝竖列的Minimax求解零和对局的规律，我们再来回顾前面第一个对局中的求解过程。

在例中，甲选择的每一个策略中都有一个损失最大的。他会比较所有策略中损失最大的结果中选损失最小的。其他策略可能有得益，但是也可能损失更大。如果对方 是聪明的，就不会制造空子。所以甲将在横行中选择策略A1（如果选择策略A2他可能损失2，现在顶多损失1），这是选择最小值中的最大者，即 Maximin。

乙选择策略的原则也类似，他将找出同一支付矩阵各列中的最小者，然后比较这些最小值，找出最大的，即Minimax（也是对他自己的支付矩阵中的 Minimax）如果此结果与甲所选的结果重合，则该对局有解。稳定解所对应的支付值为对局的值。在上例中即为－1（A1B2）。

博弈矩阵中Minimax＝Maximin代表最优均衡解的概念有着深刻而普遍的经济学含义。市场均衡中需求和供给的交点即意味着Minimax of demand set（需求方最大值中的最小者）＝Maximin of supply set（供给方最小值中的最大者）。我们可以通过供求曲线的相交来说明这个道理。如图：

D 为某商品的需求线，它代表商品的价格越低，愿意购买的人就越多。例如，当价格为16时，购买者为4；价格为13时，购买者为8；价格为10时，购买者为 11……在这里，可以把需求线看作一个连续变动的过程，当价格一点一点降低时，购买者在一点一点增加。需求线上的每一个点，既代表一个价格，又代表一个消 费者的购买量，该价格是该消费者对该商品的最高出价，一旦售价高于此价格，消费者将放弃购买。所以，需求线代表着一组最高出价的集合，此集合中的元素从高 到低排列，就构成了向右下倾斜的需求线。需求线上的每一个点表示最高出价（该点左边的点的集合）集合中的最低价，也就是Minimax．

再看供给线S，它代表商品的价格越高，愿意出售的人就越多。例如，当价格为5时，出售者为6；价格为8时，出售者为9，当价格为10时，出售者为11…… 在这里，同样可以把供给线看作一个连续变动的过程，它意味着当价格一点点上升时，出售者会一点点增加。供给线上每一个点都代表一个出售者的最低售价，如果 价格低于这个水平，出售者将放弃出售。所以，供给线代表一组最低售价的集合，此集合中的元素从低到高排列，就构成了向右上爬升的供给线。供给线上的每一个 点表示最低要价（该点左边的点的集合）集合中的最高价，也就是Maximin.

通过市场交易，最后需求线和供给线的交点将形成均衡点，此时有11（个）人愿意以10（元）的价格购买此商品，同时又有11（个）人愿意以10（元）的价 格出售此商品，市场将完全出清。均衡价格10既是每个购买者最高出价中的最低价，又是每个出售者最低要价中的最高价，这就是我们前面所说的Minimax ＝Maximin。此时，市场处于稳定状态，且消费者剩余和生产者剩余达到最大，为最优均衡解。

博弈论和信息经济学的简单应用

下面来谈博弈论和信息经济学的一些简单案例。

有一个居民区，由于没有安装街灯，因此带来了很多不便。于是管理部门准备通过集资来解决这个问题。但在管理者向居民们收费的时候，却出现了问题：因为各个 家庭的收入不同，具体情况也不一样：有的上夜班，有的不上夜班，有的家庭老人妇女多，有的都是青壮少年……这样，他们对街灯的需求不相同，管理者也就无法 向他们收取统一的费用。

我们可以想象，其实每个家庭对街灯给自己带来的好处都有一个评价。据此，管理者可以让他们自愿进行出资报价，如果报价之和大于修建街灯的费用，则街灯可以 设置，余款按比例退回出资本人，这样最为公平合理。但是问题在于，由于有搭便车的思想，各个家庭在报价的时候报出的数字往往少于其真实评价。例如，我本来 觉得设置路灯对我的好处能值100元，但我只报60元，我希望自己少出点钱，别人多出钱，而我一样能享受到街灯的好处。这个想法是比较“聪明”，但如果人 人都跟我一样想，街灯就可能因为经费不足无法修建起来。这种情况经常发生。

如何让大家都说真话呢？研究者提出这样的办法：管理者首先要向居民申明，如果报价之和超出修建街灯的费用，余款按出资比例退回，多报多退，少报少退，这样 很大程度上可以减轻大家按真实估价报价的顾虑。但即便这样，仍然可能出现报价不足的情况。这时候要采用多次博弈的方法：在保密条件下重复报价，第一次不行 报第二次，第二次不行报第三次……这样的重复报价对己无损，且因为各家各户都希望街灯能修建起来，所以他们会愿意参与重复报价，并逐渐提高出价，直到凑够 修建费用或达到他们的真实评价为止。

经验表明，上述方法在公共决策问题上能够有效发挥作用，但也有少数情况不能达到目的（例如上面的例子中如果修建街灯的费用超出了居民的预期收益，则无法筹集足够的修建经费）。这就是对策论和信息经济学在现实生活中的一例具体运用。

还有一种关于对策论的研究是对拍卖的研究。一般来说，拍卖有四种方式：英国式、荷兰式、最高价封标拍卖和第二价格封标拍卖。

英国式拍卖是我们最为常见的：由拍卖师从低到高公开叫价，潜在的买主如果认为价格可以接受，就举牌应价。通过买主的竞争，到最后只剩下一个应价者的时候， 买卖双方就按此时的叫价成交。这种拍卖一般都设定最低价，如果连最低价也无人应价，拍卖就中止，并不进行交易。这种拍卖适用于艺术品、土地等时效性不是很 强的商品。

另一种公开叫价的拍卖还有荷兰式拍卖：它由拍卖师从一个相当高的价位开始叫价，从高到低，一旦有第一位卖主接受叫价，就按照这个价格成交。荷兰式拍卖适用于时效性比较强的商品。如鲜花和活鱼这样的商品，不及时脱手不行，因此常采用荷兰式拍卖。

最高价封标拍卖采用书面投标的形式，先由买家分别保密报价，然后公布投标结果，由出价最高的买家购得商品。

第二价格封标拍卖跟上面的最高价封标拍卖类似，不同的是：前者是按最高出价成交，而后者是按次高价成交。举例说：四个人竞购一个拍卖品，甲乙丙丁分别秘密 出价6、7、8、9，开标后，出价最高的丁将按次高的出价8购得拍卖品，这就是第二价格封标拍卖。这种方式非常有利于杜绝侥幸心理，保证买方以对商品的真 实估价参加竞拍。

上述四种拍卖方式各有不同的适用场合。之所以发展出形式众多的拍卖方式，也是出于鼓励传递真实信息的需要，以达到准确估价，价高者得的目的。而有趣的是， 根据对策论和信息经济学的研究：在竞购者行为理性和数目众多等条件下，上述四种拍卖方式导致的拍卖人的预期收入都是相等的。或者说，四种拍卖的效率都是相 同的。

补充总结

最后我们来回顾一下囚犯难题所体现的深刻意义。囚徒困境的特点，是博弈双方互不信任，采取损人利己的策略，最后导致对双方都不利的结局。这个例子可以很好地说明道德的特点和它产生的过程。

道德的特点是人人遵守、人人受益，但它可能需要牺牲个人的短期利益。曾经有学者指出，人和动物的区别，不是使用工具或使用语言，而是人有道德，知道通过抑 制短期利益获取长期利益。最初，人跟动物一样，是在野蛮争斗的“丛林规则”中生存。后来，通过重复博弈和长期学习，人们意识到道德的重要性，把道德秩序建 立起来，才使人真正从动物世界中分离出来。这一过程了经历很长的时间。

道德的建立非常困难，而它的破坏却很容易。因为在大家都遵守道德的时候，个别人不讲道德反而能获益。例如在马路上，大部分车辆都按顺序行驶，一旦个别车辆 加塞插队，它就能比别人走得快。此时如果守规矩的车觉得吃了亏，也会跟着不守规矩。大家都不守规矩，都加塞排队，就等于道德完全失效。结果如何？不仅没有 人能走得快，反而会使交通陷于瘫痪，大家都走不了。所以缺乏道德的状态也不会一直持续下去，新的道德秩序终究会建立起来。道德就是在反复试错和淘汰的过程 中不断发展的。

专门的研究还表明，在社会发展的长久历程中，道德状态并不完善，往往是大部分人能遵守道德，小部分人道德败坏，但在一定限度内，社会的稳定和发展不会遭到破坏。这说明道德秩序是一个连续性变量。

这是一个非常重要的结论。它告诉我们：道德水平的提高不是一蹴而就的，良好的道德风尚要靠每个人的行动一点一点去积累。特别在整个社会风气恶劣的时候，我 们不能光抱怨别人，而应该从自己做起，从身边做起，奉行良好的道德规则。这样，每多一个讲道德的人，我们的社会就会朝好的方向转变一步。