关于抛物线与最短距离的坐标定位
关于抛物线与最短距离的坐标定位
已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）（2分）求点A 、E 的坐标； （2）（2分）若y=-
637
x
2
+bx +c
过点A 、E ，求抛物线的解析式。
（3）（5分）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及
L 的最小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。 解：（1）连结AD ，不难求得A （1，23）
OE=
（2）因为抛物线y=-
637
x
2
12
AD
，得E （0，3）
+bx +c
13
过点A 、E
3
由待定系数法得：c=3，b= 抛物线的解析式为y=-
637
x
7
2
37
x +
3
+
13
（3）大家记得这样一个常识吗？
“牵牛从点A 出发，到河边l 喝水，再到点B 处吃草，走哪条路径最短？”即确定l 上的点P
方法是作点A 关于l 的对称点A' ，连结A'B 与l 的交点P 即为所求.
B
A l
本题中的AC 就是“河”，B 、D 分别为“出发点”和“草地”。
由引例并证明后，得先作点D 关于AC 的对称点D' ， 连结BD' 交AC 于点P ，则PB 与PD 的
和取最小值， 即△PBD 的周长L 取最小值。 不难求得∠D'DC=30º
DF=3，DD'=23 求得点D' 的坐标为（4，3）
直线BD' 的解析式为：y =
35
x+
35
直线AC 的解析式为：y =-3x +33 求直线BD' 与AC 的交点可得点P 的坐标（此时BD'=BG
2
73
，
23
3
）。
+D ' G
2
=52+(3) 2=27
所以△PBD 的最小周长L 为27+2 把点P 的坐标代入y=-
637
x
2
+
137
3
x +3
成立，所以此时点P 在抛物线上。