排列组合经典练习答案

排列与组合习题

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )

A．40 B．50 C．60

C26＝15D．70 C3种不同的分法；两组各3人共有10种不A2 [解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有

同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从

2而共A33A4＝72种排法，故选C.

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )

A．6个 B．9个 C．18个 D．36个

[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数

2字共有C1即1231,1232,1233，而每种选择有A2所以共有3×6＝18(种)3＝3(种)选法，2×C3＝6(种)排法，

情况，即这样的四位数有18个．

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )

A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人

1 [解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2解得n＝5或n＝6，代入验证，nC8－n＝30，

可知女生为2人或3人．

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )

A．45种 B．36种 C．28种 D．25种

[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )

A．24种 B．36种 C．38种 D．108种

[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去

2共有C13A2种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各

24人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C1由分步乘法计数原理共有2C13种方法，3A2

1C3＝36(种)．

7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中

点的坐标，则确定的不同点的个数为( )

A．33 B．34 C．35 D．36

[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C1A32·3＝12个；

3②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C1A32·3＋A3＝18个；

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．

故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )

A．72 B．96 C．108 D．144

223 [解析] 分两类：若1与3相邻，有A2C1A32·3A2A3＝72(个)，若1与3不相邻有A3·3＝36(个)

故共有72＋36＝108个．

9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )

A．50种 B．60种 C．120种 D．210种

[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排

1方法有A2A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C6·5＝120种，故选C.

10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)

[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A2其余5人再进行排列，有A55＝20(种)排法，5＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)

[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C4C2C39·5·3＝1260(种)排法．

12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．

2C2C [解析] 先将6名志愿者分为4组，共有种分法，再将4组人员分到4个不A2

同场馆去，共有C2C26·44A4A44＝1 080A2种．

13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域

不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．

14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号

为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

【解析】标号1,2

的卡片放入同一封信有

种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.

15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种

214解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2⨯A2A4A4种方法

24113甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有4A2(A4+A3A3A3)种方法

故共有1008种不同的排法

16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144

解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m

w_w_w.k*s 5*u.c o*m

22 ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3A3A2＝24个

22②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A2A2＝12个

算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个

答案：C

17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

A.10 B.11 C.12 D.15

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A．152 B.126 C.90 D.54

23⨯A3=18；若有1人从事司机工作，则方【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C3

123案有C3⨯C4⨯A3=108种，所以共有18+108=126种，故B正确

19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )

（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 112解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有C5⋅C3⋅C6=225种选法;

211 (2) 乙组中选出一名女生有C5⋅C6⋅C2=120种选法.故共有345种选法.选D

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

A.18 B.24 C.30 D.36

23【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C4，顺序有A3种，而甲乙被

3233分在同一个班的有A3种，所以种数是C4A3-A3=30

21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36

22【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3，A2=6种不同排法）

剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

22解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3，A2=6种不同排法）

剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

22第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A2A2=24种排法；

2第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A2

＝12种排法

第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。

此时共有6A2＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]2

A 85 B 56 C 49 D 28

2【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：C1

2⋅C7=42，另一类是甲

1乙都去的选法有C2⋅C27=7，所以共有42+7=49，即选C项。

23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

3222解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有A3C3A4A2=332种，其中

12222男生甲站两端的有A2A2C3A3A2=144，符合条件的排法故共有188

222112222解析2：由题意有2A2⋅(C3⋅A2)⋅C2⋅C3+A2⋅(C3⋅A2)⋅A4=188,选B。

24. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）

A．1 55B．3 55C．1 4D．1 3

44C12C4

8C4解析因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法有3A3

1443C3

3144244433C9C8C4CCCCACCCA=，故个强队恰好被分在同一组的概率为。 [1**********]55A2

25. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

3【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有A7种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共

12有C3A7种，因此共有不同的站法种数是336种． 26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

A．8254860 B． C． D． 919191914【解析】因为总的滔法C15,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆

取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为

11211211C6⨯C5⨯C4+C6⨯C52⨯C4+C6⨯C5⨯C448 =4C1591

27. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

211C4⋅C2⋅C1【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将2A2

211C4⋅C2⋅C13⋅A=36 32A2分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A33所以满足条件得分配的方案有

28. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）

A．10种 B．20种 C．36种 D．52种

解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的

1个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C4=4

2种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C4=6种方法；则不同的放球方法有

10种，选A．

29. 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有

（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种

解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分

12C5⋅C43成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有=1515⋅A=9032A2

种不同的分配方案，选B.

30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种

解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，

24甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有C5=240种选法；⋅A4

344②甲、丙同不去，乙去，有C5=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有A5⋅A4=120种选法，共有

600种不同的选派方案．

31. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．

解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个

3数字，共可以组成2⋅A3=12个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，

2且0不是首位数字，则有2⋅A2=4个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换

2位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2⋅(2⋅A2)=8个五位数，所以全部合理的五

位数共有24个。

32．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？

[解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．

33．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？

(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．

[解析] 44C412C8C4246(1)C12C10C6＝13 860(种)；(2)＝5 775(种)； A3

44C4CC(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有·A33＝A3

4C12·C4C48·4＝34 650(种)不同的分法．

34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？

(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？

(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？

[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A6A46·7种不同排法．

(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲

18有A18种排法，乙有A8种排法，其余有A8种排法，

11综上共有(A9A89＋A8A8·8)种排法．

方法二：无条件排列总数

甲在首，乙在末A8⎧⎪9810A10－⎨甲在首，乙不在末A9－A8

8⎪⎩甲不在首，乙在末A99－A88

98甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A9＋A8)种排法．

3(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A3种，又对应甲、乙、丙只有一种

A10种． A3

(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好

110是这二者之和，因此满足条件的有10种排法． 2

35. 已知m,n是正整数，f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7，

（1） 试求f(x)中的x的系数的最小值

（2） 对于使f(x)的x的系数为最小的m,n，求出此时x的系数 232

)的近似值（精确到0.01） （3） 利用上述结果，求f(0.003

11解：根据题意得：Cm+Cn=7，即m+n=7 （1）

m(m-1)n(n-1)m2+n2-m-n+=x的系数为C+C= 22222

m2n

2将(1)变形为n=7-m代入上式得：x的系数为m-7m+21=(m-)+27

2235 4

x的系数的最小值为9 故当m=3或4时，

33x的系数为为C3（1） 当m=3,n=4或m=4,n=3时，+C4=5 32

（2） f(0.003) 2.02