[反比例函数的概念]
《反比例函数的概念》
青岛24中 王永钢 教学目标:
知识与技能:
1、 根据材料,从聚类辨析中回忆函数特点
2、 对函数关系式进行分类,从中找出反比例函数
3、 对反比例函数关系式进行聚类分析,归纳本质特点,进行命名
4、 能够从生活中的实例寻找反比例函数,感受其本质属性。
5、 能够辨析反比例函数并求出k值。
过程与方法:
1、 经历观察、猜想、操作、辨析,来寻找反比例函数概念的本质,体会研究问题从一般到特殊,能够提出问题,进行聚类分析的能力。
2、 体会数学研究的方法,和数学前后知识脉络的产生、发展过程。
情感态度与价值观:
1、 培养学生的问题意识和严谨科学的态度。
2、培养学生的创新能力、对数学发展知识之间的联系整体把握的能力。
教学重点:通过聚类-分类-聚类的过程,感受反比例函数的本质属性,进行命名。 教学难点:发现反比例函数的本质属性的过程
教学策略:上下位概念的迁移教学
教材分析:本节课是反比例函数的起始概念课。对上承接函数概念,对下为反比例函数的图像和性质做好准备。在研究函数、一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的体系中,它的研究方法和过程具有长程两段教结构用结构的特点,是一种连续性教学过程。 学生分析:学生在七下和八上分别学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容,对函数概念已经有了初步的认识,并积累了一些研究函数的方法,和运用函数观念处理问题的经验。学习函数概念时已经通过聚类辨析,感受过函数的三条特点。也在概念课中学过分类辨析的方法,学习这节课有上位概念的引领,和聚类分类的方法基础。
教学过程设计:
教学环节一:根据材料,聚类辨析,回忆函数特点:
1.学生用关系式表示变量关系(一放)
抛出问题:
师:老师给出的材料,情境不同,有什么相同的地方?这里有没有我们学过的函数?有的话能写出表达式吗?请同学们写下来并回忆函数的特点已经他的表达形式。(学生写在活动单上)
1.京沪高速公路全长约为1262km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系。
2.小明去批发铅笔,铅笔单价a为0.3元,
下面是购买铅笔的记录单:
总价w=单价a×购买数量n 问总价w和n之间关系
3.面积s为12平方厘米的矩形a与b关系
4.青岛市某一天内的气温变化图 T与t关系
5.每吨水的单价a为0.6元,水费p与用水量n之间关系。
6.正方形的周长c与边长a之间关系。
7.等腰三角形的顶角的度数为y与底角的度数为x,y与x之间关系。
8.小明的身高h与年龄n之间关系。
9.大学某专业计划录取40人。报名总人数n与录取率v之间关系。
学生活动:
预设资源:
(1) 1262=v·t或t(2) w=0.3·n
(3) 12=a·b或b(4)
(5)
(6)
(7)
(8) 12621262或v vt1212或a ab确定关系 P=0.6·n C=4·n y=180-2x h随n的增大而变大
(9) 40=v·n或v4040 或n
nv
学生小组内讨论交流,一是对所写关系式答案,二是通过小组内的交流回顾函数的三种表现形式和函数特点。
设计意图:
将问题前置让学生通过观察学习上位概念函数时的例子,回忆两个变量之间确定与不确定的关系。用表格、图象、关系式的形式展现函数的三种表现形式,为回忆函数特点做好准备。
让学生将能够书写成关系式的材料写出来,(1)(3)(11)中的三种书写方法都对,因乘法相对于除法方便表示所以暂取乘法方式表示。
让学生小组内交流函数特点,提出要求让学生说的全面完整。在这个过程中老师将这些函数关系式用卡片的形式呈现的黑板上,也方便与后面的分类活动。
2.通过聚类分析回忆函数特点
生:1.两个变量之间的关系。
2.三种变化情况:
3.一个变量的值确定,另一个变量的之也随之唯一确定。
学生通过观察回忆函数特点:
1两个变量之间的关系。
2三种变化情况:
(1) 一个量随另一个量增加而增加
(2) 一个量随另一个量增加而减小
(3) 一个量随另一个量的增加有时增加有时减小
3、一个变量的值确定,另一个变量的值也随之唯一确定。
设计意图:反比例函数是上位函数概念中的下位概念。它具有所有函数概念具有的特点,此处的回顾是为后面的学习做好铺垫
第二环节:对函数关系式进行分类辨析,发现特点:分类辨析(二放)
抛出问题:
师:1表格,图象较为复杂,留在以后研究。今天主要对由关系式形式呈现的函数进行研究。 设计意图:交待为什么今天之研究关系式表示函数的背景。
师:2.观察这些函数表达式的特点,他们有什么不同,你能分类吗?并考虑分类标准。
(1) 1262=v·t
(2) w=0.3·n
(3) 12=a·b
(4) P=0.6·n
(5) C=4·n
(6) y=180-2x
(7) 40=v·n
师:这些变量关系之间进行了怎样的运算,你能据此进行分类吗?(引导学生从运算角度进行分类)
预设学生分类:
方法一:(6);
(1)(2)(3)(4)(5)(7)
方法二:(2)(4)(5)(6);
(1)(3)(7)
方法三:(2)(4)(5);
(6);
(1)(3)(7)
方法四:
(2)(4)(5)
(1)(3)(6)(7)
师:6)与(1)(2)(3)(4)(5)(7)有什么不同?
生:(6)中蕴含加法运算,其余只有乘法运算。
(1)(3)(7)有什么特点?区别与(2)(4)(5)有什么不相同点?有什么相同点?(小组交流)
生:相同点:都是三个量,一个常数,两个变量,都是乘积的形式。
不同点:(1)(3)(7)乘积是确定的常数,(2)(4)(5)中是一个因数是常数。
设计意图:如果学生只是从式子的运算符号的特点来按照方法(三)分类的话,(6)中还有加法运算。这时对于(1)(2)(3)(4)(5)(7)要引导学生进行二次分类,就是要关注三个量乘积运算中,常量所在位置。
学生如果能记得所学过的一次函数和反比例函数,容易进行方法(二)(三)的分类,但是还要引导学生继续观察式子的特点,发现已学过的和未学过的,往方法(一)的内容上转化。 个别学生可能按照方法(四)自变量和因变量的变化趋势来分类,可以单独引导,不作为全班性资源处理。
学生先通过自主分类,观察思考之后再来小组交流讨论。
第三环节:聚类辨析,提炼本质抽象命名
抛出问题:
1、师:观察(1)(3)(7)两个变量的乘积是一个确定的常数,那么这个常数只能是正数吗?可以是分数吗?可以是无理数吗?
在1262=v·t;12=a·b ; 40=v·n后填上
-4=m·n; e·f=1; p·q= 2
师:观察这些关系式,如果用x表示自变量,y表示因变量,k表示常数,你能表示出上述函数关系式的特点吗? 生:yk 或xyk x
设计意图:让学生感受两个变量的乘积可以是我们学过的所有种类的数,完善k的取值的思考。让学生经过思考交流得到反比例函数的两种表达形式,他们之间是可以相互转化的。
2.学生用本真语言来描述函数特点。
抛出问题:
师:你能用自己的语言来描述这类函数的特点吗?
师:下定义:一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y
形式,那么称y是x的反比例函数。 k(k为常数,k0)的x
师: k,x,y三者的取值有没有什么要求?
学生小组讨论后:
生:k为常数,k0x0,y0
设计意图:学生自主描述和表达反比例函数的本质特征
对本质特征概括命名
探讨x,y,k的值让学生更加理解函数,并未函数图象的学习做好准备。
举例感受反比例函数(三放)
3、以1262=v·t为例,解释存在的反比例函数关系,让学生举例反比例函数,并写出表达式与同伴交流。
抛出问题:
师:请同学们举一些生活中体现反比例函数的例子。并写出其关系式。
预设资源:
生:1.220伏电压(U)中,电流I、电阻R的关系式。
2.修建铁路1200km,工作天数y(天)与每日的工作量x(km)之间的关系。
3.三角形面积S是常数,一边的边长y与这边的高x的关系
4.x元一斤苹果,10元能买到y斤苹果,x与y之间关系。
设计意图:让学生从生活中体会反比例函数关系,并能够用关系式正确表达指出K值。
辨析反比例函数区别正比例函数特点(三收)
4.辨析:s=v·t ;w=a ·n ;s=a·b什么时候是正比例函数,什么时候是反比例函数? 抛出问题:
师:观察s=v·t,你认为这三个量哪个确定时是正比例函数?什么情况下是反比例函数?
w=a ·n ;s=a·b怎样确定什么时候是正比例函数,什么时候是反比例函数?
生: s=v·t中,v确定或者t确定是正比例函数,s确定是反比例函数
学生同位间交流巩固
设计意图:让学生进一步从本质上理解反比例函数与正比例函数的差别,这样所有的正比例函数,将常数换到乘积的位置时就可以变化为反比例函数。
让学生两人一组,左边同学说右边的检查,然后交换,为了每人都要掌握。
抛出问题:
师:大家来感受反比例函数的特点,并指出下列函数哪些是反比例函数
5.巩固反馈:下列函数表达式中,x表示自变量,哪些是反比例函数?若是,请指出相应的k值。
(1)y41(2)yx2x
5(8)y3 x(3)y1x(4)xy2(5)yx2(6)yx1(7)ymx
预设资源:
师: k,x,y三者的取值有没有什么要求?
学生小组讨论后:
生:k为常数,k0x0,y0
设计意图:学生自主描述和表达反比例函数的本质特征
对本质特征概括命名
探讨x,y,k的值让学生更加理解函数,并未函数图象的学习做好准备。
举例感受反比例函数(三放)
3、以1262=v·t为例,解释存在的反比例函数关系,让学生举例反比例函数,并写出表达式与同伴交流。
抛出问题:
师:请同学们举一些生活中体现反比例函数的例子。并写出其关系式。
预设资源:
生:1.220伏电压(U)中,电流I、电阻R的关系式。
2.修建铁路1200km,工作天数y(天)与每日的工作量x(km)之间的关系。
3.三角形面积S是常数,一边的边长y与这边的高x的关系
4.x元一斤苹果,10元能买到y斤苹果,x与y之间关系。
设计意图:让学生从生活中体会反比例函数关系,并能够用关系式正确表达指出K值。
辨析反比例函数区别正比例函数特点(三收)
4.辨析:s=v·t ;w=a ·n ;s=a·b什么时候是正比例函数,什么时候是反比例函数? 抛出问题:
师:观察s=v·t,你认为这三个量哪个确定时是正比例函数?什么情况下是反比例函数?
w=a ·n ;s=a·b怎样确定什么时候是正比例函数,什么时候是反比例函数?
生: s=v·t中,v确定或者t确定是正比例函数,s确定是反比例函数
学生同位间交流巩固
设计意图:让学生进一步从本质上理解反比例函数与正比例函数的差别,这样所有的正比例函数,将常数换到乘积的位置时就可以变化为反比例函数。
让学生两人一组,左边同学说右边的检查,然后交换,为了每人都要掌握。
抛出问题:
师:大家来感受反比例函数的特点,并指出下列函数哪些是反比例函数
5.巩固反馈:下列函数表达式中,x表示自变量,哪些是反比例函数?若是,请指出相应的k值。
(1)y41(2)yx2x
5(8)y3 x(3)y1x(4)xy2(5)yx2(6)yx1(7)ymx
预设资源:
(2)中k值出现问题,y1k1写成yk比照着找到k值。 xx(6)中x就是1,引出ykx1 x
(7)m是不为0的常数
(8)反比例函数只有乘积的形式。
设计意图:一组快速反馈,辨析常见易理解错的函数形式。并且在过程中寻找反比例函数中的k值。
第四环节:课堂小结:1、今天你经历了什么过程?
2、学会了什么知识?
3、学到了什么方法?
设计意图:回顾从聚类-分类-聚类的过程,函数体系中反比例函数的概念。
第五环节:课后作业:
必做:1.书P145.习题5.1的1,2,3,4
2.回忆画函数图象的方法。
设计意图:为反比例函数图象与性质做准备。