上海数列与数学归纳法训练B卷
高二数学《数列与数学归纳法》练习卷(B 卷)2013.10
一、填空题
1.在数列{a n }中,若a 1=2, 2a n +1=2a n +1,则a 20132.设S n 为数列{a n }的前n 项和,若lg(S n -1) =n ,则a n =1+b +b 2+L +b n -1
3.若常数b 满足|b |>1,则lim =____________.
n →∞b n
4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4=1, S 8=4,则a 13+a 14+a 15+a 16=. +a 5.若等差数列{a n }的公差为-2,且a 1+a 4+a 7+ +a 28=50,则a 2+a 6+a 01+ 83=
n +1
⎛7⎫
6.在数列{a n }中,若a n =n ⋅ ⎪,则此数列的最大项为.
⎝9⎭
*
7. 已知真命题:若数列{a n }为等差数列,且a m =p , a n =q , (m ≠n ; m , n ∈N ) ,则
a m +n =
mp -nq
且b m =u , b n =v ,(m >n ; , m n ∈N ) *,. 现已知数列{b n }(b n >0, n ∈N *) 为等比数列,
m -n
若类比上述结论,则可得到b m +n =____________.
8.在数列{a n }中,若a 1=3,且对任意大于1的正整数n
,点,
) 在直线
x -y -=0上,则lim
a n
=_______.
n →∞(n +1) 2
n2222
9. 若等比数列{a n }的前n 项和S n=2-1,则a 1+a 2+a 3+ +a n =_____.
10.已知{a n }是公差为2的等差数列,又f (x ) =2,若f (a 2+a 4+a 6+a 8+a 10) =4,则
x
log 2[f (a 1) ⋅f (a 2)⋅f (a 3) .... f (a 10) ]=二、选择题
11.在∆ABC 中,tan A 是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以
1
为3
第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 ( ) (A )锐角三角形 (B )钝角三角形 (C )等腰直角三角形 (D )非等腰直角三角形 12.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10为 ( ) (A )10 (B )9 (C )1 (D ) 55 13.用数学归纳法证明1+2+ +(n -1)+n +(n -1)+ +2+1=
2
2
2
2
2
2
2
n (2n 2+1)3
时,
从“k 到k +1”左边需增加的代数式是 ( )
222
(A) (k +1) (B) k +(k +1) (C) 2k +(k +1) (D) 2k +2(k +1)
2222
⎛2⎫
14.已知数列{a n }的通项为a n = ⎪
⎝3⎭
n -1
⎡⎛2⎫n -1⎤⋅⎢ ⎪-1⎥,下列表述正确的是 ( ) ⎢⎥⎣⎝3⎭⎦
(A ) 最大项为0,最小项为-20 (B ) 最大项为0,最小项不存在
81(C ) 最大项不存在,最小项为-20 (D ) 最大项为0,最小项为a 4
81
(-1) n +1
15.若不等式(-1) a
n
3⎫3⎫3⎫3⎫⎛⎡⎛⎡
(A ) -3, ⎪ (B )⎢-3, ⎪ (C ) -2, ⎪ (D )⎢-2, ⎪
2⎭2⎭2⎭2⎭⎝⎣⎝⎣
n
三、解答题
16.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +cn (c 是常数,n =1,且a 1, a 2, a 3成,2,3, )公比不为1的等比数列. (1)求c 的值; (2)求{a n }的通项公式.
⎧-6n +5, n 为奇数
17.已知数列{a n }的通项公式为a n =⎪,求此数列的前n 项和S n . ⎨n
n 为偶数⎪⎩2,
18.已知数列{2
n -1
⋅a n }的前n 项和S n =9-6n .
(1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 设b n =n ⋅(3-log 2
19.设数列{a n }的前n 项和为S n ,其中a n ≠0,a 1为常数,且-a 1、S n 、a n +1成等差数列. (1)求{a n }的通项公式;
(2)设b n =1-S n ,问:是否存在a 1,使数列{b n }为等比数列?若存在,求出a 1的值;若不存在,请说明理由.
a n
⎧1⎫
) ,求数列⎨⎬的前n 项和. 3⎩b n ⎭
20.已知{a n }是公差为d 的等差数列,它的前n 项和为S n ,且S 4=2S 2+4, 设b n =(1)求公差d 的值;
1+a n
. a n
5
(2)若a 1=-,求数列{b n }中的最大项和最小项的值;
2
(3)若对任意的n ∈N *,都有b n
≤b 8成立,求a 1的取值范围.
参考答案 一、填空题
1. 1008; 2. ⎨
⎧11, n =1
n -1
⎩9⋅10, n ≥2
; 3.
1
; 4. 27; 5. -70 ; b -1
6.a 4 ;
7.
m 4n -1; 8. 3; 9. ; 10. -6 3
二、选择题
11.A ; 12.C; 13.B; 14.A; 15.D 三、解答题
16. (1)a 1=2,a 2=2+c ,a 3=2+3c ,
因为a 2
1,a 2,a 3成等比数列,所以(2+c ) =2(2+3c ) ,解得c =0或c =2. 当c =0时,a 1=a 2=a 3,不符合题意舍去,故c =2. (2)当n ≥2时,由于a 2-a 1=c ,a 3-a 2=2c ,
a n -a n -1=(n -1) c ,
∴a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1) +a 1
=[(n -1) +(n -2) + +2+1]c +a n (n -1)
1=
2
c +a 1
又a 1=2,c =2,故a n =2+n (n -1) =n 2-n +2(n =2,3, ) .
当n =1时,上式也成立,所以a n =n 2-n +2(n =1
,2, ) . 17.(1)当n 为奇数时,设n =2k -1,(k ∈N *
), 即k =
n +1
2
, 则 S n =-6[1+3+5+L +(2k -1) ]+5k +(22+24+26+L +22k -2) =-6k 2+5k +
4k -1n +12n +14n -3(4-1) =-6(2) +5(2) +3
(21-1) =2-n -3n 24n -12+3(2-1).
(2)当n 为偶数时,设n =2k ,(k ∈N *
), 即k =
n
2
, 则 S n =-6[1+3+5+L +(2k -1) ]+5k +(22+24+26+L +22k ) =-6k 2+5k +
4(4k -1) =-6(n ) 2+5⋅n +4
(2n
3223
-1) =5n -3n 24n
2+3
(2-1).
⎧2-n -3n 24n -1
+(2-1), n 为奇数⎪⎪23综上,得S n =⎨. 2
⎪5n -3n +42n -1, n 为偶数
()⎪23⎩
18.(1)n =1时,2⋅a 1=S 1=3, ∴a 1=3; 当n ≥2时,2n -1⋅a n =S n -S n -1=-6, ∴a n =
-3
. n -2
2
当n =1⎧3,
⎪
∴数列{a n }的通项公式a n =⎨3 .
-, 当n ≥2⎪⎩2n -2
(2) 设数列⎨
⎧1⎫11
⎬的前n 项和为T n ,当n =1时,b 1=3-log 21=3, ∴T 1==;
b 13⎩b n ⎭
当n ≥2时,b n =n ⋅(3-log 2
131
) =n ⋅(n +1) , , ∴=n -2
n (n +1) 3⋅2b n
∴T n =
111111151=-. ++ +=+++ +
b 1b 2b n 32⨯33⨯4n (n +1) 6n +1
⎧2S n =a n +1-a 1
19.(1)依题意,得2S n =a n +1-a 1.于是,当n ≥2时,有⎨.
2S =a -a n 1⎩n -1
两式相减,得a n +1=3a n (n ≥2).
又因为a 2=2S 1+a 1=3a 1,a n ≠0,所以数列{a n }是首项为a 1,公比为3的等比数列. 因此,a n =a 1⋅3n -1(n ∈N *);
a 1(1-3n ) 1111
(2)因为S n ==a 1⋅3n -a 1,所以b n =1-S n =1+a 1-a 1⋅3n .
1-32222
1
要使{b n }为等比数列,当且仅当1+a 1=0,即a 1=-2.
23⨯4
20.(1)∵S 4=2S 2+4,∴4a 1+d =2(2a 1+d ) +4,解得d =1.
2
7511
(2)∵a 1=-,∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1) =n -,∴b n =1+=1+.
722a n
n -2
∵函数f (x ) =1+
7⎫⎛7⎛⎫
在 -∞, ⎪和 , +∞⎪上分别是单调减函数, ⎝2⎭⎝2⎭x -2
1
∴b 3
∴数列{b n }中的最大项是b 4=3,最小项是b 3=-1 . (3)由b n =1+
11得 b n =1+, a n n +a 1-1
又函数f (x ) =1+
1
在(-∞,1-a 1)和(1-a 1, +∞)上分别是单调减函数,且x
x +a 1-1
时y 1-a 1时y >1.
∵对任意的n ∈N *,都有b n ≤b 8,∴7