五年级-简易方程
专题2 简易方程
方程的同解原理一:
方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得的方程与原方程是同解方程。 方程的同解原理二:
方程的两边都乘以(或除以)不等于零的同一个数或同一个整式,所得的方程与原方程是同解方程.
方程的同解原理与等式的基本性质保持一致,是解方程的依据,解方程的过程 实际上就是根据方程同解原理,把一个复杂的方程转化为简单的同解方程的过程。 本专题将学习稍复杂的一元一次方程或可化为一元一次方程的分式方程的
解法。涉及的知识点还有:运用乘法分配律去掉方程中的括号;运用比例性质去
掉方程中的分母。
【学一学】
【例1】解方程:lO+4x=6x-14。
【剖析】因为4x的系数比6x的小,所以方程两边同时减去4x;因为右边是减去14,所以方程两边同时加上14,这样就可以把含x的放在一边,不含x的放在另一边。
【小笑脸】24=2x与2x=24是同一个方程,一般我们习惯把未知数放在方程的左边。
【解】方程两边同时加上14得:24+4x=6x,
方程两边同时减去4x得:24=2x,
方程两边同时除以2得:x=12。
【点拨】只需根据方程同解原理,把方程变形为一边舍有未知数,而另一边只含有常数的形式,即ax=b(a,b都是常数)的形式,再化为x=m优的形式。
【练一练】
1、解方程:5x-6=2x。
【答案】方程两边同时减去2x得:5x-2x-6=0;方程两边同时加上6得:3x=6;方程两边同时除以3得:x-2。
【例2】解方程:3(3x- 2.5)=10-0.5(x-3)。
【剖析】先去掉两边的括号,再求解。
【解】根据分配律去括号得
9.5x-7.5=10-0.5x+1.5,
方程两边同时加上0.5x得
9.5x-7.5=11.5,
方程两边同时加上7.5得:9.5x=19,
方程两边同时除以9.5得:x-2。
【点拨】方程中含有括号时,先看括号前面的符号,如果括号前面是“+”号,去掉括号里面都不变号;如果括号前面是“-”号,去掉括号里面都要变号。
【小笑脸】括号前面是“+”号时,运用乘法分配律去括号,里面都不变号;括号前面是“-”号时,运用减法的性质去括号,a-(b-c)=a-b+c注意里面都要变号。
【练一练】
2.解方程:4(2x-7)-2(x-1)-3(x-1)-2。
【答案】8x-28-2x+2=3x-3-2
6x-26=3x-5
6x-26+26-3x=3x-5+26-3x
3x=21
x=7
【例3】解方程:3x÷2=(x+0.7)÷3。
【剖析】方程两边都有除法,将方程的两边都乘以6,就可以把方程变形为ax=b的形式。
【小笑脸】因为2×3=6所以方程两边同时乘以6.
【解】方程两边同时乘以6得:3x÷2×6=(x+0.7)÷3×6,即3x×3=(x+0.7)×2, 去掉括号得:9x=2x+1.4,
方程两边同时减去2x得:9x-2x=2x+1.4-2x,7x=1.4,方程两边同时除以7得:x=0.2。
【点拨】当方程两边都是除法时,将方程的两边都乘以它们的除数的积(或最小公倍数),就可以消去除法运算。
【练一练】
3.解方程:(17-x)÷5=(3x-10.2)÷2。
【答案】(17-x)÷5×10=(3x-10.2)÷2×10
(17-x)×2=(3x-10.2)×5
34-2x=15x-51
34-2x+51+2x=15x-51+51+2x
17x=85
x=5。
【例4】解方程:147 3x22
【剖析】这是个两边都是一个分数形式的方程,把左边的分子与右边的分母相乘14×2,再把左边的分母与右边的分子相乘7×(3x-2),这两个积相等。 【小笑脸】由ac,得a×d=b×c。 bd
【解】对角交叉相乘得:7×(3x-2)=14×2
方程两边同时除以7得:3x-2=4
方程两边同时加上2得:3x=6
方程两边同时除以3得:x=2
【点拨】对于两边都是一个分数形式的方程,利用规律“两个相等分数的分子,分母交叉相乘所得的积也相等”(六年级将学到的比例性质),把方程转化为同解方程,在求解。
【练一练】
4、解方程:1.60.4。 3.2x
【答案】把0.4看成分母是1的分数,(3.2+x)×0.4=1.6,3.2+x=4,x=0.8。
【例5】有两只蜡烛,第一支长19厘米,第二支长11厘米,同时点燃后每分都燃烧掉1厘米。多少分后,第一支蜡烛的长度是第二支蜡烛长度的3倍?
【小笑脸】列方程解应用题实质上就是把实际问题转化为数学问题(设元、列方程)来解答。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用,找出等量关系,列出方程是解题的关键。
【剖析】设x分后,第一支蜡烛的长度是第二支长度的3倍。然后用含有x的式子分别表示两支蜡烛的长度:第一支蜡烛的长度是(19-x)厘米,第二支的长度是(11-x)厘米,在根据等量关系“第一支蜡烛的长度=第二支蜡烛长度的3倍”列出方程即得。
【解】设x分后,第一支蜡烛的长度是第二支蜡烛长度的3倍。根据题意可以列出方程: 19-x=3(11-x)
19-x=33—3x
2x—14
x=7
即7分后,第一支蜡烛的长度是第二支蜡烛长度的3倍。
【点拨】列方程解应用题的一般步骤:
(1)审题设元。理解题意,弄清题中有哪些已知条件,找出要求的未知数,并用x表示。(2)根据题中关键的句子,找出应用题中数量之间的相等关系,列出等量关系式。并用已知数、未知数x或含有x的代数武表示出相关数量,根据等量关系式列出方程。(3)解方程。(4)检验,写出答句。
【练一练】
5、有两袋大米,甲袋大米的重量是乙袋的1.2倍,如果从甲袋中取出10千克,两袋的重量就相等。甲、乙两袋大米原来各重多少千克?
【答案】设乙袋大米的重量是x千克,则甲袋大米的重量是1.2x千克,所以1.2-10=x,
1.2x-x=10,0.2x=10,x=50。所以甲袋大米原来重60千克,乙袋大米原来重50千克。
【例6】7年前爸爸的岁数是小华的3倍,7年后是小华的2倍,小华今年多少岁?
【剖析】本题直接设小华今年的年龄为x岁。列方程、解方程都比较困难,可以设小华7年前是x岁,则爸爸7年前为3x岁。根据等量关系:7年前爸爸的年龄+7+7=7年后爸爸的年龄。先用含有x的式子表示出爸爸7年前、7年后的年龄,再列出方程求解。
【解】设小华7年前是x岁,则爸爸7年前为3x岁。
列出方程得:3x+7+7=2(x+7+7),3x+14=2x,x=14。
所以小华今年的年龄为:14+7=21(岁)。
【点拨】有些实际问题,直接设所求的未知数为x,列方程解答非常复杂,这时可以设一个与之相关的未知量为x先求出来,再求出所求的未知数。如果一道题中有两个或两个以上的未知量,可以设其中的一个未知量为x,其他未知量用含有x的代数式表示出来,再根据题意列出方程来求解。
6、一块长方形地,长是宽的4倍,周长是120米。这个长方形的面积是多少平方米?
【答案】设宽是x米,则长是4x米,所以(x+4x)=120÷2,5x=60,x=12,所以这个长方形的面积是12×12×4=576(平方米)。
【例7】某幼儿圆小班老师给小朋友分苹果,如果每人分3个苹果,则还多16个苹果;如果每人分5个苹果,则还多4个苹果。共有多少个苹果?
【剖析】无论怎样分苹果给小朋友,苹果的总个数是不变的,所以本趣的等量关系是:第一次分的苹果数+16=第二次分的苹果数+4。因此,如果知道了小朋友的人数,就可以得到苹果的总数。
【小笑脸】不变量也是我们寻找等量关系的依据。
【解】设共有x名小朋友,则
3x+16—5x+4
3x+16-3x-4=5x+4-4-3x
12=2x
x=6。
所以共有5×6+4=34(个)或3×6+16=34(个)苹果。
【点拨】列方程解应用题就是运用方程知识解决实际问题。一些稍复杂的或逆向思维的应用题,用算术方法解答有一定的困难,列方程解答比较简单。如盈亏问题、行程问题、数字问题等,列方程解答就比较容易了。
【练一练】
7.王华从家到少年宫参加活动,如果每分走50米,就会迟到3分;如果每分走60米,就会提前2分到达。王华家距离少年宫多少米?
【答案】设王华从家到少年宫计划行走时间为x分,根据王华家到少年宫的距离是一定的列出方程:50×(x+3)=60×(x-2)。解得x=27。所以王华家到少年宫的距离为:50×(27+3)=1500(米)。
【例8】一个两位数,十位上的数字是个位上的数字的4倍,如果把十位上的数字与个位上的数字对调,新数就比原数少27,求原数。
【剖析】要求出原数,必须先求出十位上数字和个位上数字这两个未知量。可以设个位上数字为x,则十位上的数字为4x。原数为:10×4x+x,新数为:10x+4x。再根据等量关系“原数=新数+27”,可以列出方程。
【解】设个位上数字为x,则十位上的数字为4x。则
10×4x+x=10x+4x+27
41x=14x+27
27x=27
x=1。
求出个位数字是1,则十位数字为4,所以原数为41。
【练一练】
8、一个两位数,个位上的数字是十位上的数字的3倍,若把这个十位上的数与个位上的数对
调,那么所得到的两位数比原数大54,求原两位数。
【答案】设原两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为3x。根据等量关系“原数=新 数-54”,可以列出方程:lOx+3x=lOx×3x+x-54。解得x-3。十位上数字为3,则个位上数字为3×3=9,所以原两位数为39。
【做一做】
1、解方程。
(1)0.01×(x+0.3)=0.1 (2)(x+7)÷1.2=6
(3)0.7x-3=0.3x+1 (4)3(x+3)=24
2、解方程。
(1)35(x-2)-15(5x-6)=(22x-63)-21(3x-4)
(2)x+(x+1)=0.2[10x+(x+1)]
(3)2(0.3x+4)-5(0.2x-7)=9
(4)7(2x-1)-3(4x-1)-5(3x+2)+27=0
3、解方程。
(1)(7x-3)÷5=26
(2)(x-9)÷(89-x)=4 1.21.6 0.0723x
2x1x1(4) 52(3)
4、学校科技小组有学生98人,比文艺小组的4倍少14人,比书法小组的6倍多8人。文艺小组和书法小组各有多少人?
5、甲、乙两个工程队同时从两头开始合修一条938米长的水渠,计划28天完成,甲队计划每天修15米,乙队每天需要完成多少米?
6、笼子中有鸡、兔若干只,兔的只数是鸡的一半,它们的腿数一共是96只,鸡、兔各有多少只?
7、两个相邻自然数的和是97,这两个自然数分别是多少?
8、甲、乙两艘轮船同时从上海出发开往青岛,经过18时,甲船落在乙船后面57.6千米,甲船每时行32.5千米,乙船每时行多少千米?
9、被除数和除数的和是80,如果被除数和除数都减去13,那么被除数除以除数的商是5,求原来的被除数和除数。
10、甲、乙两车队共有汽车180辆,因运输任务需要从甲队调30辆支援乙队,使己队的汽车正好是甲队的2倍。甲、乙两队原有汽车各多少辆?
11、甲袋中有34个红球,乙袋中有25个黄球,每次从甲袋中取出5个红球,从乙袋中取出2个黄球,取多少次后,两袋中剩下的球的个数相同?
12、育英小学举行数学竞赛,共15道题,每做对一道题得8分,没做或做错一道题扣4分,小军共得72分,他做对多少道题?
13、今年爷爷78岁,三个孙子的年龄分别是27岁、23岁、16岁,经过几年,爷爷的年龄等于三个孙子的年龄和?
14、甲、乙二人原来身上的钱数分别是丙身上的钱数的6倍和5倍。后来甲又收入180元,乙又收入30元,甲身上的钱就是乙的1.5倍。原来甲、乙、丙三人钱数之和是多少?
15、五年(1)班教室里有部分学生在举行联欢会,联欢会开始后,10名女生走出教室化妆,这时教室里男生是女生的2倍;接着又出去了9名男生准备道具,此时教室里女生是男生的5倍。最初教室里有多少名学生?
16、小明登山,上山每时行2.4千米,下山每时行3千米,他从山下到山顶,再从山顶原路返回山下共用了4.5时。从山下到山顶的路程有多少千米?
17、五年(1)班进行了两次体育达标测试,情况如下:第一次达标的人数比未达标人数的3倍多4人;第二次达标的人数增加了5人,正好是未达标人数的6倍。这个班一共有多少人参加了体育达标测试?
18、两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑,甲每分比乙多跑50米,如果两人同时同地同向出发,则经过45分甲追上乙;如果两人同时同地反向出发,则经过5分可以相遇。求甲、乙二人的速度。
19、在下面的口中填入相同的数,使等式成立。
(1)口+5×口=2.4 (2)0.3×口-口×0.25=21.15-7×口
20、(○+△)+4(○+△)=100,已知○=7.5,求:△=?