14三角函数的基本运算
三角函数基本运算
【技巧要点】
勤画图像 熟记公式
【基础知识】
三角恒等变换
*两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β; ⑵cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β; ⑶sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β; ⑷sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β; ⑸tan (α-β)=
tan α-tan β
1+tan αtan β
(tan α-tan β=tan (α-β)(1+tan αtan β));
⑹tan (α+β)=
tan α+tan β
1-tan αtan β
(tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)).
*二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴sin 2α=2sin αcos α. ⑵
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
(
cos 2α=
cos 2α+1
2
sin 2α=
1-cos 2α
2
). ⑶tan 2α=
2tan α
1-tan 2
α
.
*Asin α+Bcos α=(α+ϕ),其中tan ϕ=
BA
.
【典例分析】
1.已知α, β∈(0, π)且tan(α-β) =12, tan β=-1
7
,则2α-β=() A .π4 B.54
π C.-374π D.-4π
2.函数f (θ) =sin 2θ+2(sin θ+cos θ)+3(θ∈R ) 的值域为 .
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,
【基础训练】 1.(2016•惠州模拟)
的图象中相邻的两条对称轴间距离为( )
2.(2015•中山二模)函数是( )
3.(2015•武汉模拟)函数f (x )
=|sincos |的最小正周期是( ) 4.(2015•漳浦县校级模拟)函数y=sin(﹣2x ),x ∈R 是(
)
5.(2015•重庆)若tanα=,tan (
α+β)=,则tanβ=( )
【提高训练】
1.(2015•天津)已知函数f (x )=sin2
x ﹣sin 2
(x ﹣
),x ∈R .
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(Ⅰ)求f (x )的最小正周期; (Ⅱ)求f (x )在区间[﹣
2.(2015•茂名一模)已知函数f (x )=sin2xcosφ+cos2xsinφ(x ∈R ,O <φ<π),f ((1)求f (x )的解析式; (2)若f (﹣
3.(2015•永州二模)已知函数f (x )=
sinωxcosωx﹣cos2ωx的周期为2π.
)=
,a ∈(
,π),求sina 的值.
)=
.
,
]内的最大值和最小值.
(1)求ω的值;
(2)设 A ,B ,C 为锐角△A BC的三个内角,求f ( B )的值域.
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补充-三角函数性质表
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补充-三角函数相关定义与注意事项
⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角⎪
1、任意角⎨负角:按顺时针方向旋转形成的角
⎪零角:不作任何旋转形成的角⎩
2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.
{}
第二象限角的集合为{αk ⋅360+90
第三象限角的集合为{αk ⋅360+180
终边在y 轴上的角的集合为{αα=k ⋅180+90, k ∈Z} 终边在坐标轴上的角的集合为{α=k ⋅90, k ∈Z}
3、与角α终边相同的角的集合为{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}
第一象限角的集合为αk ⋅360
4、已知α是第几象限角,确定
α
(n ∈N)所在象限的方法:先把各象限均分n 等n
*
份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来
α
是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域.
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.
l
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是=.
r
⎛180⎫
7、弧度制与角度制的换算公式:2π=360 ,1 =,1= ≈57.3 . ⎪180⎝π⎭8、若扇形的圆心角为α(α为弧度制),半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,
11
则l =r ,C =2r +l ,S =lr =r 2.
22
π
9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P的坐标是(x , y ),它与原点
的距离是r r =>0,则sin α=
()
y x y
,cos α=,tan α=(x ≠0). r r x
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10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
11、三角函数线:sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT. 12、同角三角函数的基本关系:(1)sin α+cos α=1
2
2
(sin
2
α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α);(2)
sin α
=tan α cos α
sin α⎫⎛
sin α=tan αcos α,cos α= ⎪.
tan α⎭⎝
13、三角函数的诱导公式:
(1)sin (2k π+α)=sin α,cos (2k π+α)=cos α,tan (2k π+α)=tan α(k ∈Z). (2)sin (π+α)=-sin α,cos (π+α)=-cos α,tan (π+α)=tan α. (3)sin (-α)=-sin α,cos (-α)=cos α,tan (-α)=-tan α. (4)sin (π-α)=sin α,cos (π-α)=-cos α,tan (π-α)=-tan α.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
⎛π⎫⎛π⎫,5sin -α=cos αcos () ⎪ -α⎪=sin α.
⎝2⎭⎝2⎭
(6)sin ⎛
⎫⎛π⎫
+α⎪=cos α,cos +α⎪=-sin α. ⎝2⎭⎝2⎭
π
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
14、函数y =sin x 的图象上所有点向左(右)平移ϕ个单位长度,得到函数
y =sin (x +ϕ)的图象;再将函数y =sin (x +ϕ)的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
ω
倍(纵坐标不变),得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象;再将函数
y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍(横坐标不变),得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象.
函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的得到函数
y =sin ωx 的图象;再将函数y =sin ωx 的图象上所有点向左(右)平移
1
ω
倍(纵坐标不变),
个单ω
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位长度,得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象;再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍(横坐标不变),得到函数
y =Asin (ωx +ϕ)的图象.
函数y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)的性质: ①振幅:A;②周期:T=相:ϕ.
函数y =Asin (ωx +ϕ)+B,当x =x 1时,取得最小值为y min ;当x =x 2时,取得最大值为y max ,则A=
2π
ω
;③频率:f =
1ω
=;④相位:ωx +ϕ;⑤初T2π
11T
(y max -y min ),B=(y max +y min ),=x 2-x 1(x 1
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