吉布斯现象matlab实现和傅里叶级数
信号与系统实验
一：实验题目
运用matlab验证吉布斯现象 二：实验原理
对于具有不连续点（跳变点）的波形，所取级数项数越多，近似波形的方均误差虽可减小，但在跳变点处的峰起（上冲）值不能减小，此峰起随项数增多向跳变点靠近。（详见课本279页） 三：实验内容
1.计算N取不同值时的方均误差EN的值 2.用matlab画出N取不同值时
S(t)=a0[ancos(n1t)bnsin(n1t)]的图。
n1N
四：实验过程
我们取课本99页的函数f(t)作为实验的目标函数
-E/2 (T/2tT/4)
f(t)=E/2(T/4tT/4)
-E/2(T/4tT/2)
matlab有专门产生矩形波的函数square(t)，为了显示对称波形，
将它移动四分之一个周期，即square(t+T/2)，然后再乘上我们此题中的振幅,因此得到
f_t=(E/2)*square(t+T/2);
E2
已知周期函数f(t)的傅里叶级数为
f(t)=a0[ancos(n1t)bnsin(n1t)]
n1
因为此题的函数既是偶函数，又是奇谐函数。因此在它的傅里叶级数中只可能含有奇次谐波的余弦项。所以于是
f(t)
2E
an
2Ensin()n2
11
[cos(1t)cos(31t)cos(51t)]35
若取傅里叶级数的前(2N1)项来逼近周期函数f(t)，则有限项傅里叶级数为
S(t)=a0[ancos(n1t)bnsin(n1t)]
n1N
2E2N1sin(nt)
SNTnn1进一步简化为
为了得到对称波形，将它移动四分之一个周期，即
2E
T
2N1sin(nt
SN
n1
n
nT
)
这样用S(t)逼近f(t)引起的误差函数为N(t)f(t)S(t) 方均误差等于
2
ENN(t)
SN就是代码中的S
1t0T12
N(t)dtt0T1
在程序中我们取t=-T:0.0001:T;将t等分成多份，所以不能直接用积分函数int（即不连续），所以依据定义的方法来求积分（极限法）
lim((t1)t)因为均分所以积分变为t
2
N
t1TT
t0
t1T
T
2N
2
其中N为
t1T
T
2
所有分量t1对应的N值的总和
求EN时应除以总周期即2T数，matlab中为
t
即是将区间分为多少等份的倒2T
1
，其中length(t)为将区间分成的等份数。
length(t)
综上 ，我们得EN
t1T
T
2N
length(t)
sum((f_t-S).^2)
（后面是用在
length(t)
matlab 中的计算方法）
第一问：
运行matlab分别令N1;N3;N5 得n2N1，n为En的计数，出E10.7577;E20.3975;E30.2678…………如下表1
表1 方均误差
第二问：
3
2
相应的函数值f(t)和S(t)
1
-1
-2
-3-4
-3-2-1
0时间t
1234
有限级数 S2
3
2
相应的函数值f(t)和S(t)
1
-1
-2
-3-4
-3-2-1
0时间t
1234
3
2
相应的函数值f(t)和S(t)
1
-1
-2
-3-4
-3-2-1
0时间t
1234
有限级数 S20
相应的函数值f(t)和S(t)
-4
-3-2-1
0时间t
1234
放大跳变点附近的图像得到下图
有限级数 S20
2.352.32.252.22.152.12.051.3
1.35
1.4
1.45
1.51.55时间t
1.6
1.65
1.7
1.75
相应的函数值f(t)和S(t)
五：实验结论与分析
由第一问的表1和第二问的图像可知，随着N的增大，即随着所取级数项数的增多，进似方均误差减小，且峰起随着项数的增多向跳变点靠近，并且从有限级数S20跳变点附近的放大图可知峰起值趋于相同（峰起值趋近于跳变值的9%，这里不再予以验证）。 代码如下：
clear;
E=4; T=pi;
t=-T:0.0001:T;%周期 N=input('N'); i=1;
for i=1:N%设出i，让它变化，从而绘出S1，S2，S3……SN a=0;
for n=1:2:i
b=(E/2)*sin(n*t+n*T/2)/n;%移动四分之一周期以显示对称波形 a=a+b; end
S(i,:)=4*a/T;
f_t=(E/2)*square(t+T/2); plot(t,S,t,f_t) xlabel('时间t')
ylabel('相应的函数值f(t)和S(t)') title('有限级数 S20') end
E_N=sum((f_t-S(N,:)).^2)/length(t)