数学:专题--构造全等三角形解题
数学：专题——构造全等三角形解题 【
本讲教育信息】
一、教学内容：
专题——构造全等三角形解题
1. 构造全等三角形证明角相等及线段的垂直、相等及和差等关系．
2. 构造全等三角形解决实际问题．
二、知识要点：
全等三角形是初中几何的重要内容之一，在几何证明题中有着极其广泛的应用．然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析、仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助
线，巧构全等三角形．借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快．
三、考点分析：
三角形是最常见的几何图形之一，是后续知识的基础，是历年中考命题的热点，三角形全等的条件是三角形的一大重点．中考考查仍然是要求能应用所学知识解决比较简单的实际问题以及联系比较紧密的知识考查双基．从题型设计上看，由传统的以填空题、选择题为主转向综合应用和自主探究的阅读、探索等新颖题型、答案不唯一，具有开放性和创新性．考查数学的分类
思想、方程思想以及转化思想．
【典型例题】
题型一：证明线段的垂直
例1. 如图所示，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF ＝AC ，FD ＝CD ，求证：BE ⊥AC ．
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＋∠C ＝90°，
∴∠BEC ＝180°－90°＝90°，
∴BE ⊥AC ．
评析：证明直角三角形全等时，可根据条件灵活选择方法．
题型二：证明线段的相等
例2. 如图所示，已知AB ＝AD
，AE ＝AC ，∠1＝∠2，求证：DE ＝BC ．
分析：要想证得∠B ＝∠C ，可观察∠B 与∠C 所在的△ABE 与△DCE 是否全等，由已知难以证其全等．再观察条件可以把
∠B 与∠C 放在△ABD 与△DCA 中（需连结AD ），可以利用三角形全等的条件SSS 证明．
证明：连结AD ．
【方法总结】
三角形全等说理中，如果已知中没有直接给出全等的三个所需条件，这时就需要根据已知条件去推导出所需条件，常遇下
列几种情况：
1. 利用平行线的性质推导角的相等关系；
2. 利用垂直关系推导角的相等；
3. 利用边和角的和差推导边和角的相等；
4. 利用三角形内角和的有关结论推导角的相等；
5. 运用公共角、对顶角、公共边等题目中隐含条件推导边和角相等．
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. （2007年宜宾）如图，将△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，再过点O 任意画一条与AC 、BD 都相交的直线MN ，交
点分别为M 和N ．试问：线段OM ＝ON 成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．
**6. 已知，如图所示，等腰
R t △ABC 中，∠A ＝90°，∠B 的平分线交AC 于D ，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E ．求
证：BD ＝2CE ．