北师大版高中必修一2.1函数的概念

2.1函数概念

一、教材的地位与作用

函数内容是高中数学学习的一条主线，它贯穿整个高中数学学习中。函数是高中数学七大主干知识之一，又是沟通代数﹑方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何、导数等内容的桥梁，同时也是今后进一步学习高等数学的基础。函数的学习过程经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程，通过学习可以提高了学生的数学思维能力。

二、教学目标

1. 知识与技能:

（1）能对具体函数指出定义域、对应法则、值域；

（2）会求一些简单函数（带根号，分式）的定义域和值域；

（3）能够从函数的三要素的角度去判定两个函数是否是同一个函数；

（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。

2、过程与方法: 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要

数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体

会对应关系在刻画函数概念中的作用。

3、情感态度与价值观: 使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学

习的积极性。

三、教学重难点

教学重点：理解函数的模型化思想，函数的三要素。

教学难点：符号“y f (x ) ”的含义，函数定义域和值域的区间表示，从具体

实例抽象出函数概念。

四、教法学法与教具

问题式教学法（实例情境、启发引导、合作交流、归纳抽象），根据学生的心理特征和认知规律，以问题为主线，以学生为主体，以教师为主导的教学理念。采用一系列的设问、引导、启发、发现，让学生归纳、概括出函数概念的本质，并灵活应用多媒体、黑板呈现、展示、交流。

教具：多媒体 .

五、教学过程

一、创设情景，揭示课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

二、讲解新课

1、函数的有关概念

（1）函数的概念：

设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．

记作： y =f (x ) ，x ∈A ．

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x∈A }叫做函数的值域（range ）．

注意：

① “y =f (x ) ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x ) ”；

②函数符号“y =f (x ) ”中的f (x ) 表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．

（2）构成函数的三要素是什么？

定义域、对应关系和值域

（3）区间的概念

①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间； ③区间的数轴表示．

设计意图：比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，体会函数的概念。

三、讲解范例

例1：已知函数f (x ) = x +3+1 x +2

（1）求函数的定义域；

2（2）求f （－3），f () 的值； 3

（3）当a ＞0时，求f （a ）, f (a －1) 的值.

⎧x +3≥0解：（1）由题意可知：⎨，得x ≥-3且x ≠-2，

⎩x +2≠0

函数的定义域为(-3-2) (-2, +∞)

2333（2）f （－3）=-1，f ()=+ 383

（3）当a ＞0时，f （a ）=a +3+

11，f (a －1)=a +2+ a +2a +1

设计意图：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例. 如果只给出解析式y =f (x ) ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域. 解：由题意知，另一边长为

所以s=80-2x ，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 280-2x ⋅x = （40－x ）x （0＜x ＜40） 2

设计意图：引导学生小结几类函数的定义域

（1）如果f (x ) 是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f (x ) 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f (x ) 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f (x ) 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. （即求各集合的交集）

（5）满足实际问题有意义.

例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y = (x ) 2 ; （2）y = (x 3);

x 2

（3）y =x ; （4）y = x 2

解：（1）y = (x ) 2 的定义域为(0, +∞) ，函数y=x的定义域为R ，所以不是同一函数。

（2）y = (x 3) 与函数y=x定义域、对应法则相等，所以是同一函数。

（3））y =x 2与函数y=x定义域都是R ，但对应法则不同，所以不是同一函数。

x 2

（4）y =定义域为{x x ≠0}，函数y=x定义域为R ，所以不是同一函数。 x

设计意图：两个函数是不是同一个函数因从以下两点判断：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和○

对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自○

变量和函数值的字母无关。

四、课堂练习

（1）判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1② f ( x ) = x ； g ( x ) = x 2

③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = x 2

解：①f ( x ) = (x －1) 0 的定义域{x x ≠1}g ( x ) = 1的定义域为R ，所以不是同一个函 数

②f ( x ) = x 与 g ( x ) =

个函数。

③ f ( x ) = x 2与f ( x ) = (x + 1) 2 的对应法则不同，所以不是同一个函数。 ④ f ( x ) = | x | 与g ( x ) =

同一个函数。

（2）求下列函数的定义域

① f (x ) =11② f (x ) =③ f (x ) = 1x -|x |1+x x 2 的定义域是R ，但对应法则不同，所以不是同一x 2的定义域都是R ，对应法则也相同，所以是x +1+1 2-x

④ f (x ) = x +4⑤

f (x ) 1 x +2

解：①x -x ≠0，得x

⎧1⎪1+≠0 ② ⎨x ，得x ≠-1且x ≠0，x ∈{x x ≠-1且x ≠0}

⎪⎩x ≠0

⎧x +1≥0 ③⎨，得x ≥-1且x ≠2，x ∈{x x ≥-1且x ≠2}

⎩2-x ≠0

⎧x +4≥0 ④⎨，得x ≥-4且x ≠-2，x ∈{x x ≥-4且x ≠-2} x +2≠0⎩

⎧x +3≥0 ⑤⎨，得-3≤x ≤1，x ∈{x -3≤x ≤1}

⎩1-x ≥0

六、课堂小结

①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。

七、作业布置：P 34习题2-2（A 组） 第1—2题 （B 组）第1题