一维热传导方程的maple模拟
第
卷 第 期 年 月 出版
大 学
物
,
理
实
验
司
文 章编 号
一
四
】
一
以拍礴 一
一 维 热 传导 方 程 的
王 家驹
安徽师范大学 芜 湖
, ,
模拟
的
,
摘
・
要
热 传 导 方 程 是一 种偏 微 分方 程
,
。
对 于 有 界 热传导齐次方 程 的 混 合 问题 用 分
,
离变盈 法 求解往 往 很 复杂 也 很 抽象
理 意义 本 文用
,
。
为 了更好 的理 解方 程 的解 更直 观 的看 出它 的 物
。
。 喇 软件将方 程的解用图 像表 示 出来 先 用 户刻
, ,
函 数求解 方 程 再
,
。 用功
函 数 进 行绘 图 通 过 改变边界条件 比较 了 图 形 的变 化 份 况
,
。
从结 果 可 以 看 出
耐 软件对 于 热传 导 方程 求解和绘 图十分简便 也很 直观
好 的应 用
关健词
。
。
在物 理 教学 中可 以 得 到很
热传 导 方程 一 维
一
中圈 分 类 号 以
文献 标识 码
引言 由于 温度分布不 均 匀 热 量从介 质 中温 度 高 的 地 方 流 向 温 度 低 的 地 方 称 为热 传 导
,
。
在 数学上 描述 热传导 规 律 的 方样 称为热传导方 程 它 是研 究抛 物线 刑方 程 的模利
,
,
。
为便
。
于 我们讨论 考 虑 一 个简化 的模 型 一 根均 匀 细 杆 内热量 传播 的过程
,
。
设 细 杆横截 面 积为
,
常数
的情 况
,
细 杆 的密 度 为
,
,
比热 为
,
,
它的侧 面 绝 热 也 就是 热量 只 沿 着 它 的 长度方 向传 导
,
因 为细 杆 很 细 所 以 在任何 时 刻 都 可 以 把 横 截 面 积 上 的 温 度 视 为相 同 也 就是 一 个 一 维
。
轴正 合 以 法来 导出热传导 方 程 也 就 是 函 数
我们取细杆 与
,
,
,
“
,
劝表示
,
点 在时刻 的温 度 可 以 用 微元 分析 的方 所 满 足 的偏微分方 程 考 虑在 时 间间隔 到
。 。
。
△ 内 细杆上
到
,
念 微 元段 热量流动情 况
,
此 时 满 足 热平衡 则 引起 温 度变化所 吸 取 的 热 量
△
等于 流 人 的热量
十
△’
,
微元 段 的质 量 为产 川 △ 而 且 在 时 间
一 “
,
△
,
,
,
内微 元 段
,
△
温 度升 高为 武
,
十
△
‘
二 。
△,
,
其中
。
二 。、
,
,
‘
、
。
二
△ 所 以 引起 微 元 段 公
△
温 度升
高所 需 的热量为
为 △口
二 一
△
二 。
泌△
,
“
△
秘
△ △
,
二
由热传导 理 论 中的傅立 叶定律 可 知在 尔 时 间 内 沿
加
。
,
轴 正 向流 过
截 面 的热量
△ 认
约肥 其 中
称 为热传 导 系 数
。
式 中 的 负 号 表 示 热量从 高温 处 向
低 温 处 流动
收稿 日期
一
一
另外在 △‘ 时间 内 流过 △ ,
,
△ 截 面 的热 量 △
为△
二
一
,
△,
。
则
△
流入 微元段【
,
,
二
△
的 」热
,
△ ’ 于通过 等 △
,
,
截面 流 人 微 元 段 的
热里减 去 通 过
二
“ 从〔
, ,
截面 流出徽 元 段 的热 量 则 △
中直定理 可 得 △ ’ 加
再由 △
“。
,
一
△
二
△二 习 一 气 ‘
,
,
△ 〕 由
,
二
“
△ △
。△
其中 、
,
‘ 夸‘
。 △
,
右
,
△
,
,
。
二
△
甲 一
得
州‘
△
令△ ,
‘ 。 从而 今
‘
,
于是得
“
一
其中
一
此 即热传导 方程
,
。
在讨论 热传导方 程时 已 知条件是 通 过 定解条件 的方式给 出的 从物 理 上 知道 只要
,
,
侧 出物体上 初始 时 刻 的 温度分布 和边界 上 的温 度或热交换情 况 就 可 以 了 也 就 是 给 出初
,
始条件和边界 条件
。
细 杆初 始条件 的提 法 为
,
。
,
二
,
二
。
其边界 条件 的 提法 通 常有 三 种 即
第一 边界 条 件 已 知细 杆端点 比如
, ,
二
的温 度
二
,
“
,
二
。,
产
,
第二 边界 条 件 已 知通 过 细 杆端点 比如
, , ,
,
的 热盘
,
,
二 。
二 与某 种 介质接触 它们 之间按 热传导 中 的牛 顿实验定 第三 边界 条件 已 知端点 , 二 , 加 为 已 知函 律 进行着热交换 其边界 条件为 加 其中 产
,
,
数
,
为热传导系数
,
为热交换 系数
,
。
对于 无 界热传导 问题我们考 虑 热传导方程 的初 值 问题 对 于 有 界 热传 导 间题 我们考
,
虑热 传导方程的混 合 问题 本 文 主要 讨论混 合 问题 的情 况
。
比 软件介 绍
国 内在 应用
比 软件上 很 多
一 ’ ‘
,
由 于 其 简 单易 学 使 用 方 便 因 而 得 到 了 广 泛 的
,
,
应用
。
软件 主要 有 二 个 部分 组 成 用 户 界 面
城 代数运 算 器
、
、
外部 函 数库
玩
函数
。
斗
。
求解 代数 方程 或 代数方程 组 使 用
中偏微 分 方程求 解 器 为
坛中
, ,
,
中的
函 数 求 解 常微 分方程 使 用 刻
,
该 函 数 及 其 它偏微 分 方科求 解 工 具 存 于 软
。
件包
。
函 数 训助
能够 很 快 的 辨认 出用 标 准 方 法 能 否 求偏 微分 方 程 的类 刑
,
如果 判别不 出 那 冈助
, ,
采用 一 种 启 发 式 的 算 法 尝 试 偏微 分 方 程按 特 征 结 构 分 离 出 来
的 策 略就 去 寻 找 给走 偏微 分方 村 的 通 解 寻找 不 到 通 解则 寻 找 可 以 完 全 分离 的 变
重 同此 该 函 数 返 问 的结果 可 能 为
通解
,
近 似 的通 解 即 包 含 任意 函 数但 又 不足 以 得到通 解 的解
。
,
变量 分离 的 非祸合 的常微 分方程 如也 无 法 完 全 分离变量 则函 数会 再 次 调 用 自身 如 还 是人 败 就会 返 回 未完 全 分离
,
,
的变
同时给 出一 个 警告 信息 其命令 格 式 为
冈助
,
其中
、
,
为偏微 分 方 程
。
,
为被求 解 函 数
。
即卜 所 提 供 的二维 绘 图 指令
可 以 绘 制 二 维 的 函 数 图 参
数 图 极 坐 标 图 等 高线
,
、
、
、
图 不 等式 图 等等
而 三 维 空 间 的绘 图 比 二 维 空 间 更 有 变化性 和 趣味 性 其命 令 函 数 为
一
一
可 直接调用
,
,
,
。
命令格式 如下
,
, ,
、
,
‘
,
,
,
…
心 刀“
一
・
其中
‘
。
二
为
的 变化 推
甘 首 先 根 据 不 同 的 边界条 什 编写 样 序 就 用 是 卿 语 言描述热传导 方程及 相应 的边 函 数 描绘 出二 维 图形 界条 件 然 后 用 阮 函 数 求解方程 最后 角 肉
,
,
处 理 次 间题 的 大 致 思 路 为
。
,
闰吨 , 、灿 林
、
一
・
耐
,
,
二
加 刀价 二 ” 比
,
叩‘
。
为
,
即
的变化范 围
。
脚
。
”
,
。
图形 模 拟
根据不 同 的定解 条件对“ 雄热传导方程进行模 拟
况
。
。
可 以 直观 地 看 出热
。
的 变 化情
为讨论 方便 令
,
。‘ 二
矿 、 中 。 二 ‘ 细 将的长 度 卜
,
细 杆两 端 点 的温 度 已 知 细 杆 两 端 点钓 温 度为定 值
若两 端点温 度都 为
肠正 二 “
。
,
,
方程 为
二 二
,
,
。
。
,
用 幽禅 对 此 方程进行模 拟 的 图 像为 图
。,
图 皆见 图
。
若一 端点 温 度为
肠‘ 二 。
,
,
一 端点 温 度 为
,
方 稗为
“
二
,
,
,
二
二
,
用幽
对 此 方程进 行模拟 的图 像为图
,
。
由上 两 图可 以 看 出 一 两 端点 温 度 确定 时 细 杆 两 端最终 温 度 就 为端点 的 温 度 而 杆 上 各
,
,
点温 度成线性 分布
。
细杆两 端 点的温 度不 确定
如其中有一 端 点 温 度 为
移 二 肠目
,
,
,
方程 为
。
,
二
,
二
用伽
对 此 方 程进 行模 拟 的图像 为 图
, ,
。。
,
由图 可 见 一 端 点 温 度 是 时 间
的 函 数时 那最 终此 端 的温 度也 随 这 个 函 数变化
,
,
。
所 以 当细杆 两 端点 的 温 度 已 知时 无 论初 始条 件 如何 杆 两 端 的温 度 由端点 的 温 度
决定 细杆 上 各 点 温 度 也 由两 端 点温 度 决定 由高温 端 向低 温 短 递 减
,
,
。
小结
本文是用
月 软 件来模拟 一 维热传 导 方 程 的解 的分布 将 边 界 条件划 分 为 二 种
,
。
细杆两 端 的温 度 已 知 通 过 细 杆 的 热量 已 知 通 过 细 杆 的热量为温 度 的 函 数
,
。
根 据 不 同的
一
一
情况 进 行 侧叩 】模拟 我 们看 出 恤叩
,
软 件模 拟 出来的图形 可 以 直观 的描述热传导方程 解
, , ,
的分布情 况 可 以 深 刻 的理 解热 传导 方程 的 物理 意义 可 以 清楚的体现不 同的边 界 条件对
,
解的影 响
。
总之 浏旧
。
软 件操 作简单 描绘 出的图形直观 易位 使得 它在 教学 中可 以 得 到
很好 的应 用
参考 文 献
〔
【 幻 【 【
张星 辉 在大学 物理 教 学 中使用
, ,
’ 流
制作 图像和 动画 的几 个实例 〔〕大学 物 理
月济
,
,
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黄水 金 余 守宪 关 于 加加速度 的若十机 械 运 动分析及 郭冰莹 吴 敏键 用
, ,
。
棋拟【 〕大学 物 理 加
。
计算 机 代数 系 统实行 电动 力 学 教 学 改 革 的 一 个 尝 试 〔
、
,
大学 物理
,
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郭冰莹 在 有 限差分法 解 二 维 电势 边 值 问题 的应 用 探讨 〔 大学物理 卯
,
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