作为数学教育任务的数学解题

作为数学教育任务的数学解题

陕西师范大学数学与信息科学学院 罗增儒 罗新兵

一、对数学解题的基本认识

1、重要性

作为数学教育任务的解题与数学家的解题既有联系又有区别。美国数学家哈尔莫斯认为：“数学家存在的主要理由就是解问题，数学的真正的组成部分是问题和解”.对于职业数学工作者来说，“题”是研究的对象，“解”是研究的目标，解题是其数学活动的基本形式和主要内容，也是其自身的存在目的和兴奋中心。而对数学教学而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且也要把“解题活动”作为对象，把学会“数学地思维”、促进“人的发展”作为目标。解题在数学学习活动中有其不可替代的重要作用：

（1) 解题是数学学习的核心内容；（2) 解题是掌握数学，学会“数学地思维”的基本途径；

（3）解题是评价学习的重要方式。

2、基本问题

（l ）作为数学教育的数学解题理论需要回答两个基本问题：①怎样解题？②怎样学会解题？波利亚《怎样解题》一书直接提出了第①个问题，也在努力回答第②个问题。但我国传统数学教学既未直接提出这些问题，也未正面回答这些问题，表现为一种默会知识的内隐学习，或有意无意地将其简单化为“模仿＋练习十数学事实的接受”。

(2)以上两个基本问题触及数学教育的3个基本矛盾：一是数学与教育的矛盾。数学教育学应是一门具有数学特征的教育学科，数学是前提，教育是本质；解释数学解题首先要有数学特点，区别于物理解题、化学解题、语文解题、历史解题；同时又要体现教育特点，有别于纯粹数学形式的运演并应进人心理层面。二是综合性与独立性的矛盾。数学教育学应是一门具有综合性的独立学科，数学解题广泛涉及数学教育观、数学知识、心理活动、思维方法、计算机技术等，表现为多学科的交叉；同时又不是这些相关学科内容的简单相加，而是有机融合后相对独立的实体。三是实践性与理论性的矛盾。数学教育学应是一门具有实践性的理论学科，解题首先是一种实践活动。波利亚说：“你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题。”弗里德曼也说：“寻找解题不能教会，而只能靠自己学会。”数学教学的最终成果之一，应使学生会解题。但是实践不能流于盲目或简单重复，需要理论来做指导。为什么学校里会有这么多的数学后进生？原因可能是多方面的，但与我们对数学解题的思维规律认识不清有关，与解题理论尚未完善或尚未发挥指导作用有关。

(3)长期以来，解题活动存在一些弊端。①用现成的观点说明现成的例子，或用现成的例子说明现成的观点；②长期徘徊在一招一式的归类上，缺少理论上的提高或实质性的突破，有时候，只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现；③多说“这样解”，少说或不说“为什么这样解”；④解题研究多停留在操作层面，未能深人到心理层面；⑤更关注现成、形式化问题的求解，对问题的“提出”和“应用”研究不足。因此，尽管解题有丰富的资料积累（还曾获imo 和iaep 的双料冠军），而公认具有中国特色的数学解题理论尚待创建。

3、理论建设

（1) 要把解题理论建设为数学教育的一个独立分支，其标志应该是：①有自己独立的研究对象。数学解题理论的研究对象可以界定为“解题活动”，研究解题活动需要回答的基本问题是：怎样解题？怎样学会解题？②有自己独立的研究方法。一方面要对数学解题实践进行经验归纳，在实证基础上提炼理论；另一方面要对教育心理学做理论演绎，改造为有数学特征的行动指南。数学和心理学应是数学解题理论的两大支柱，这两个学科研究方法的综合，应产生对解题过程进行专业分析的特有方法。③有自己独立的概念体系和基本原理。解题研究已初步积累有趣、解题、解题过程、解题程序、解题力量、解题方法、解题策略、数学问题解决基本框架等成果，为理论建立奠定了基础。

(2)建立解题理论对其建设者有较高的要求，基本素质包括：①具备较宽厚的数学知识和较丰富的解题实践经验。②具备数学学习论的知识，掌握规范的心理学研究方法和工具，使得解题研究能够深人到心理层面。③具有数学教学的实践经验，并与学生有经常接触和直接交流的环境。没有课堂基础和学生基础，解题理论只能是上不着天、下不着地的“空中楼阁”。

二、解题概念的初步界定

1、数学题

（1) 数学题（简称题）是指数学上要求回答或解释的题目，需要研究或解决的矛盾。 数学家把结论未知的题目才称为题，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解决了就称为“定理”（公式），这更多地体现了“需要研究或解决的矛盾”，更多地体现了问题的本质：现有水平与客观需要的矛盾。

在数学教学中，则把结论已知的题目也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题，情景是相似的、性质是相同的，这时候的数学题是指：为实现教学目标而要求师生解答的问题系统。重点在“要求回答或解释的题目”，包括一个待计算的答案、一个待证明的结论（含定理、公式）、一个待做出的图形、一个待判断的命题、一个待建立的概念、一个待解决的实际问题等。其中有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的课外作业和测验试题，有师生共同进行的研究性课题等。

(2）传统的数学题具有接受性、封闭性和确定性的特征。学生通过对教材的简单模仿和操作练习，基本就能完成；其结构是常规的，答案确定、条件不多不少，可以按照现成的公式或常规的思路获得解决，主要目的在于巩固和变式训练。有时，题目也有挑战性，但数量不多、难度不大，这类题目可以称为“练习题”（exercise ）。

作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性提出了较高的要求。波利亚将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。解决问题是寻找这种活动”。1986年第6届国际数学教育大会的一份报告指出：“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的尚未解决的情境。”这类题目可以称为“问题”（problem ）。这里所强调的是，从初始状态到目标状态之间的障碍，由现有水平到客观需要之间的矛盾，正是问题的实质。

2、解题

解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题解的活动。小至一个学生算出作业的答案、一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论、一个数学技术应用于实际构建出适当的模型等，都叫做解题。数学家的解题是一个创造和发现的过程，教学中的解题更多的是一个再创造或再发现的过程，解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”。

波利亚在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。”他还有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题。”

中国是一个解题大国，重视解题教学、擅于变式训练是中国数学教育的一个特色，已在国际数学舆林匹克竞赛（imo ）和相关国际比较测试（iaep ）中取得举世瞩目的成绩。但是，传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目。而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养。近年兴起的数学情景题、数学应用题、数学开放题等正在改变中国解题教学的环境和格局。

3、解题的一般过程

解题过程是指人们寻找问题答案的活动，它包括从接触问题到完全解出的所有环节与每一步骤，经过规范化而成为可操作的解题过程就成为解题程序（有宏观与微观之分）。

(1)波利亚在“怎样解题表”中给出了一个宏观解题程序，分成4步：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。在每一步中都配有许多问句或提示，从而体现出模式识别、联系转化、特殊化与一般化、归纳、类比等思维策略的指导，舍恩费尔德又在“知识＋启发法”之外提出“调节”与“信念”。

(2)国内一些相关研究也对“解题过程”进行了程序化的总结。

文〔9〕认为，解题过程是在解题思想的指导下，运用合理的解题策略（或原则），制订科学的解题程序，进行解题行动的思维过程；而解题行动主要是指从题目初始状态到最终状态的转化，这种转化的解题力量是基础理论与基本方法的运用；作为完整的解题过程还包括解法研究，如解后的回顾、反思以及自始至终的调控等，这是一个最容易被忽视的环节。

文〔10〕给出了一个解题的动态流程，面对一个问题，我们首先审题，进行模式识别。如果有现成的模式，则直接给出解答，如果没有现成的模式，则运用解题策略，考虑阶梯问题（或辅助问题），有效就得出解答，无效再次回到审题。无论由何种情况得出解答，最后都有检验的步骤。

从信息论的观点探讨解题思维过程，可以从一个初中的例子得出说明。

定理等腰三角形的两个底角相等。

已知：如图1，在△ABC 中，AB ＝AC 。求证：。

分析 欲证两角相等，根据所学知识，我们可以设想它们为全等三角形的对应角（全等法应用），再根据等腰三角形的特征，又可以将等腰三角形拿起来、作一个空中翻转，使其与原来的位置重合（这正是全等形的定义， ），从而

与

重合（这正是角相等的定义）。下来，只须将这一直觉思路用严密的数学语言表达出来（直觉发现、逻辑证明）。这里的心理过程，已经体现问题表征对解题方向的确定和解题效率的提高有着促进作用。

证明：如图1，在

中，有

AB=AC（己知），

AC=AB（已知）， 与

（公共角），

（或BC=CB）（公共边），

得 （sas 或sss ），

从而

从书写顺序看，这个定理的证明过程可以分成3步（解题过程的结构分析）：

①根据题意画出图形，根据图形写出己知、求证。这是认识自己所面临的问题并对问题进行心理表征的过程。

②寻找解题思路，沟通已知与求证的联系。这调动了全等三角形的知识，数形结合地运用了直觉思维（空中翻转、图形重合、角重合）。这实际上是应用解题策略，并进行资源的提取与分配的过程。

③给出证明。用到了三角形全等的判定定理与性质定理，这是一个严格的推理论证过程。

这个分析表明，数学解题有形象思维、直觉思维和逻辑思维的综合作用。

从信息论的观点分析此定理的证明过程，则是两个维度上相关信息的有效组合，即从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆网络中提取有关的信息，并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构（如图2所示）。

可见，数学解题的思维过程是一个“三位一体”的工作：

（1) 有用捕捉。即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么？结论是什么？各有几个？如何建立条件与结论之间的逻辑联系？由图2可见，通过理解题意找出了3条信息，一条是符号信息ab=ac，由题目直接告诉我们；另两条是由图形显示出来的：两个三角形（是有用捕捉的基础。

(2)有关提取。即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法。由图2可见，从记忆网络中检索出了3条信息：等式的对称性，全等三角形的判别定理，全等三角形的性质定理。良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础。

(3)有效组合。将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构。逻辑思维能力是有效组合的基础。本例中6条信息的组织，详细过程如图2，简洁过程为“证明”的书写。其基本要求应能说服自己、说服朋友、说服论敌

4、解题方法

这里说的解题方法，是指中学阶段用于解答数学题的方法。此处将其分为3类，即具有创立学科功能的方法，体现一般思维规律的方法，具体进行论证演算的方法。

（1) 具有创立学科功能的方法。如公理化方法、模型化方法、结构化方法，以及集合论方法、极限方法、坐标方法、向量方法等。在具体解题中，具有统率全局的作用。 与），公共角

（或公共边bc=cb）。知识经验

(2)体现一般思维规律的方法。如观察、试验、比较、分类、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等。在具体解题中，有通理通法、适应面广的特征，常用于解题思路的探求。

(3)具体进行论证演算的方法、这又可以依其适应面分为两个层次，第一层次是适应面较广的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法（及递推法）、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法等；第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解中的“裂项法”，函数作图中的“描点法”，以及三角函数作图中的“五点法”，几何证明中的“截长补短法”“补形法”，数列求和中的“拆项相消法”等。

仅仅是不等式的证明，我们就可以列举出一长串的解法或技巧：比较法、放缩法、综合法、分析法（及递推法）、反证法、基本不等式法、叠加法、连乘法、数学归纳法、判别式法、求极值法、配方法、辅助函数法、构造法、微分法等，而微分法又可以有求极值、确定单调性、中值定理、凹凸性质等形式。

5、解题策略

注重解题策略的研究已经构成中国解题教学的一个特色，它可以看成是对波利亚现代启发性解题策略研究的继承与发展，徐利治教授提出的rmi 原理是这方面工作的杰出代表。

（1) 策略是指导行动的方针（战略性的），同时也是增强效果、提高效率的艺术，它区别于具体的途径或方式（战术性的）。数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针。解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用，离开逻辑是不行的，单靠逻辑是不够的。

文〔9〕提出了10个解题策略：模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转化、数形结合、有效增设、以美启真；文〔10〕提出了8个解题策略：枚举法、模式识别、问题转化、中途点、以退求进、推进到一般、从整体看问题、正难则反；文〔11〕提出了10个解题策略：以简驭繁、进退互用、数形迁移、化生为熟、正难则反、倒顺相通、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真，并且认为数学思维策略的研究就是数学解题策略的研究；文〔12〕对解题策略进行了理论分析。

(2)解题策略介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁作为方法，一方面它是用来具体指导解题的方法，另一方面它又是运用解题方法的方法、寻找解题方法的方法、创造解题方法的方法。

如果把解题策略理解为选择与组合的一系列规则，那么这些规则应该具有迅速找到较优解题操作的基本功能，能够减少尝试或失败的次数，能够节省探索的时间和缩短解题的长度，体现出选择的机智和组合的艺术。

6、学会解题

学会解题通常需要经历4个阶段。

（1) 简单模仿。即模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题。这是一个通过被模仿者的行为，获得相应的表象，从而产生类似的过程。这里已有体验性的初步理解。

(2)变式练习。即在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步，主要表现为做数量足够、形式变化的习题，本质是进行操作性活动与初步应用。其作用首先是通过变换方式或添加次数而增强效果、巩固记忆、熟练技能（使之达到自动化反应的程度）；其次是通过必要的实践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会。学习数学不能单靠模仿和练习，但缺少这两步又是不行的。没有亲身体验、没有足够的过程、没有过硬的双基，数学理解就被架空了。模仿和变式练习应是学生获得本质领悟的基础或必要前提。但对解题学习来说，更重要的是跨越这两步而产生理解。

(3)自发领悟。即在模仿与练习的基础上产生理解。指当事者在解题实践中领悟到知识的深层结构，表现为豁然开朗、恍然大悟，但这种领悟常常是直觉的，“只可意会、不可言传”。因而，这是一个潜意识与显意识交错，由“双基”升华为能力的过程，也是各人自己去体会“解题思路的探求”“解题能力的提高”“解题策略的形成”，从而获得能力的自身性增长与实质性提高过程。这一阶段中会存在高原现象。

(4)自觉分析。这是一个理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从内隐到外显的飞跃阶段，表现为解题思路的主动设计、知识资源的理性分配、解题策略的自觉调控。尽快进人这个阶段的一个基本途径是对解题过程进行自觉的分析（元认知开发），弄清问题的知识基础、逻辑结构、信息流程，弄清题解中用到哪些知识、哪些方法，这些知识和方法又是怎样组成一个和谐的逻辑结构的。这是一个通过已知学未知通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程。

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