5直线与椭圆T
教学内容
【例题精讲】
x 2y 2
l +=1所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 例1、已知P (4, 2) 是直线被椭圆
369
解：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x ) 得到关于x (或y ) 的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x 1+x 2，x 1x 2(y 1+y 2，y 1y 2) 的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的． 方法一：设所求直线方程为y -2=k (x -4) ．代入椭圆方程，整理得
(4k 2+1) x 2-8k (4k -2) x +4(4k -2) 2-36=0 ①
设直线与椭圆的交点为A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则x 1、x 2是①的两根，∴x 1+x 2=∵P (4, 2) 为AB 中点，∴4=
8k (4k -2)
4k 2+1
1x 1+x 24k (4k -2) k =-=，．∴所求直线方程为x +2y -8=0． 2
224k +1
方法二：设直线与椭圆交点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ．∵P (4, 2) 为AB 中点，∴x 1+x 2=8，y 1+y 2=4．又∵A ，B 在椭圆上，∴x 1+4y 1=36，x 2+4y 2=36两式相减得(x 1-x 2) +4(y 1-y 2) =0， 即(x 1+x 2)(x 1-x 2) +4(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0．∴
2
2
2
2
2222
y 1-y 2-(x 1+x 2) 1==-．∴直线方程为
x 1-x 24(y 1+y 2) 2
x +2y -8=0．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A (x , y ) ，另一个交点B (8-x , 4-y ) ． ∵A 、B 在椭圆上，∴x +4y =36 ①。 (8-x ) 2+4(4-y ) 2=36 ②
从而A ，B 在方程①－②的图形x +2y -8=0上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为
2
2
x +2y -8=0．
x 2⎛11⎫
+y 2=1，拓展：已知椭圆（1）求过点P ⎪且被P 平分的弦所在直线的方程； 2⎝22⎭
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （3）过A (2，
（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足k OP ⋅k OQ =-
求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
1
， 2
解：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
设弦两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点R (x ，y )，则
①－②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0．
由题意知x 1≠x 2，则上式两端同除以x 1-x 2，有(x 1+x 2)2(y 1+y 2)
⎧x 12+2y 12=2，
⎪22
⎪x 2+2y 2=2，⎨
⎪x 1+x 2=2x ，⎪y +y =2y ，⎩12
①②③④
y 1+y 2
=0，
x 1-x 2
将③④代入得x +2y
y 1-y 2
=0．⑤
x 1-x 2
（1）将x =
11y -y 21，y =代入⑤，得1 =-，故所求直线方程为2x +4y -3=0．⑥22x 1-x 22
2
22
将⑥代入椭圆方程x +2y =2得6y -6y -
11
=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，2x +4y -3=0为44
所求． （2）将
y 1-y 2
得所求轨迹方程为：x +4y =0．（椭圆内部分） =2代入⑤
x 1-x 2
y 1-y 2y -1
代入⑤得所求轨迹方程为：x 2+2y 2-2x -2y =0．（椭圆内部分） =
x 1-x 2x -2
（3）将
2
x 12+x 22
+y 12+y 2=2， ⑦（4）由①＋②得 ： 2
()
将③④平方并整理得x 1+x 2=4x -2x 1x 2， ⑧ y 1+y 2=4y -2y 1y 2， ⑨
2
2
2
222
4x 2-2x 1x 2
+4y 2-2y 1y 2=2， ⑩将⑧⑨代入⑦得：
4
()
再将y 1y 2=-
1⎛1⎫22x 1x 2代入⑩式得： 2x -x 1x 2+4y -2 -x 1x 2⎪=2， 2⎝2⎭
y 2
=1．此即为所求轨迹方程． 即 x +2
2
例2、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点F 1作倾斜解为
π
的直线交椭圆3
于A ，B 两点，求弦AB 的长．
解：可以利用弦长公式AB =+k x 1-x 2=
2
(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． (法1) 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
AB =+k 2x 1-x 2=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]．因为a =6，b =3，所以c =3．因为焦点在x
轴上，
x 2y 2
+=1，左焦点F (-33, 0) ，从而直线方程为y =3x +9． 所以椭圆方程为
369
由直线方程与椭圆方程联立得：设x 1，x 2为方程两根，所以x 1+x 2=-13x +x +36⨯8=0．
2
723
，13
x 1x 2=
36⨯848222
，k =， 从而AB =+k x 1-x 2=(1+k )[(x 1+x 2) -4x 1x 2]=． 1313
拓展：已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y =x +m ． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
2，求直线的方程． 5
2
22
解：（1）把直线方程y =x +m 代入椭圆方程4x +y =1得 4x 2+(x +m )=1，
即5x +2mx +m -1=0．∆=(2m )-4⨯5⨯m 2-1=-16m 2+20≥0，解得-
2
2
2
()
55
≤m ≤． 22
2m m 2-1
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x 1，x 2，由（1）得x 1+x 2=-，x 1x 2=．
55
m 2-12⎛2m ⎫2
=根据弦长公式得 ：+1⋅ -．解得m =0．方程为y =x ． ⎪-4⨯55⎝5⎭
注：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例3、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x
轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，
2
2a 2
= 4．（1）求椭圆的方程； c
（2）直线l 过P (0,2) 且与椭圆相交于A 、B 两点，当∆AOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程． 分析：建立目标函数，转化为求函数的值域或最值问题，或者利用曲线的定义及图形的几何特征求最值．
x 2y 2
（1）解：设椭圆方程为2+2=1(a >b >0) ，
a b
⎧b =c , 2
⎧a =2, ⎪2
⎪2x 2⎪2a
+y 2=1． 由已知得⎨解得⎨b =1, 所以所求椭圆方程为 =4,
2⎪c 2=1. ⎪c
222⎩⎪a =b +c . ⎩
（2）解法1：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +2, A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，
⎧y =kx +2,
⎪22由⎨x 2消去y 得关于x 的方程 (1+2k ) x +8kx +6=0，由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，2
⎪+y =1, ⎩2
8k ⎧
x +x =-, 122⎪3⎪1+2k 22
所以∆=64k -24(1+2k ) >0，解得k 2>，又由韦达定理得⎨
2⎪x ⋅x =6,
12⎪1+2k 2⎩
所以|AB |=x 1-x 2|=
= 原点O 到直线l
的距离d =
，
因为S AOB
1．
=|AB |⋅d ==
21+2k 21+2k 2
2
2
令m =m >0) ，则2k =m +3，
所以S =
4
m =
2S =
k =±=≤，当且仅当即时，，此时．
m =max 2
422m +4m +2m m
所以，所求直线方程为-2y +4=0． 拓展：已知椭圆C 的中心为坐标原点O , 一个长轴端点为
(0,1), 短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，
直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且=3． （1）求椭圆方程；
（2）求m 的取值范围．
解：通过AP =3PB ，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式
y 2x 2
C :2+2=1(a >b >0)
y C a b （1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
由条件知a =1且b =c ，又有a =b +c ，解得
222
a =1, b =c =
（2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
⎧⎪y ＝kx ＋m ⎨ 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 ⎪2x2＋y2＝1⎩
Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） －2km m2－1x 1＋x 2＝ x 1x 2
k2＋2k2＋2
⎧⎪x1＋x2＝－2x2
⎨∵AP ＝3PB ∴－x ＝3x ∴ ⎪x1x2＝－3x22⎩
1
2
－2km m2－1
消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（2＋40
k2＋2k2＋2整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0
2－2m211
m 2＝时，上式不成立；m 2≠时，k 2＝，
444m2－12－2m211因λ＝3 ∴k≠0 ∴k 2＝>0，∴－12m2－2成立，所以（*）成立
11
即所求m 的取值范围为（－1，－（，1）
22
注：椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
例4、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
分析：利用已知条件求出直线l 的方程，再判断过定点及其坐标．
x 2y 2解：（1）由题意设椭圆的标准方程为2+2=1(a >b >0) ．
a b x 2y 2
=1． a +c =3, a -c =1，a =2, c =1, b =3，∴+
43
2
⎧y =kx +m
⎪
（2）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由⎨x 2y 2得(3+4k 2) x 2+8mkx +4(m 2-3) =0，
=1⎪+3⎩4
8mk 4(m 2-3)
, x 1⋅x 2=． ∆=64m k -16(3+4k )(m -3) >0，3+4k -m >0．x 1+x 2=-
3+4k 23+4k 2
2
2
2
2
2
2
3(m 2-4k 2)
y 1⋅y 2=(kx 1+m ) ⋅(kx 2+m ) =k x 1x 2+mk (x 1+x 2) +m =． 2
3+4k
2
2
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0),k AD ⋅k BD =-1，
∴
y 1y
⋅2=-1，y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2) +4=0， x 1-2x 2-2
3(m 2-4k 2) 4(m 2-3) 16mk
+++4=0， 222
3+4k 3+4k 3+4k 7m 2+16mk +4k 2=0，解得m 1=-2k , m 2=-
2k 22
，且满足3+4k -m >0． 7
当m =-2k 时，l :y =k (x -2) ，直线过定点(2,0), 与已知矛盾；
2k 22
时，l :y =k (x -) ，直线过定点(,0) ． 777
2
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为(,0) ．
7
当m =-
归纳小结：注意讨论所求的结论是否符合题目的条件．
x 2y 2
拓展：已知椭圆2+2=1(a >b >
0) 的一个焦点与抛物线y 2=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两
a b
个端点与F 构成正三角形。(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(1,0) 的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m , 0) ，使
PE ⋅QE 恒为定值? 若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由。
解：(Ⅰ)
由题意知抛物线的焦点F
∴c = 又 椭圆的短轴的两个端点与F 构成正三角形 ∴b =1
x 2
+y 2=1 ∴椭圆的方程为4
(Ⅱ) 当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为：y =k (x -1)
x 2
+y 2=1
4 (4k 2+1) x 2-8k 2x +4k 2-4=0 P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) y =k (x -1)
8k 2
∴x 1+x 2=2
4k +1
4k 2-4
x 1x 2=2 则PE =(m -x 1, -y 1)
4k +1
QE =(m -x 2, -y 2)
∴PE ⋅QE =(m -x 1)(m -x 2) +y 1y 2=m 2-m (x 1+x 2) +x 1x 2+y 1y 2
=m 2-m (x 1+x 2) +x 1x 2+k 2(x 1-1)(x 2-1)
2
8k 24k 2-48k 2(4m 2-8m +1) k 2+(m 2-4) 24k -4=m -m 2++k (2-+1) = 4k +14k 2+14k +14k 2+14k 2+1
2
1711
2m -(4m 2-8m +1)(k 2+) +(m 2-4) -(4m 2-8m +1)
12 =(4m -8m +1) +=22
44k +14k +1
1717 33
=0 即m =时PE ⋅QE 为定值Q (1,当2m -当直线l 的斜率不存在时，P 4864
81333 9 917
∴PE ⋅QE =-=由E (,0) 可得PE =(, - QE =(, 8644648282
1733
综上所述当E (,0) 时，PE ⋅QE 为定值
864
x 2y 2c 2a 2
=2． 例5、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，=，c a b a 2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F 1的直线l 与该椭圆交于M 、
N 两点，且F 2M +F 2N =，求直线l 的方程．
分析：（1）由已知条件列出关于参数a , b , c 的关系，求出方程；
（2）设出直线方程，注意斜率是否存在的讨论，结合椭圆的方程及已知条件求出k 的值．
⎧c =⎪x 2⎪a 2+y 2=1． 解：（1
）由已知得⎨，解得a =c =1．∴ 所求椭圆的方程为22⎪a =2⎪⎩c
（2）由（1）得F 1(-1,0) 、F 2(1,0)．
⎧x =-1
⎪
y =±①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =-1，由⎨x 2得
2
2+y
=1⎪
⎩2 +(-2, -=(-4,0) =4， 、N (-1, -，∴
设M
(- F 2M +F 2N =(-2, 2222
这与已知相矛盾．
②若直线l 的斜率存在，设直线直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y =k (x +1) ，
⎧y =k (x +1)
⎪2222
设M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) ，联立⎨x 2，消元得(1+2k ) x +4k x +2k -2=0． 2
⎪+y =1⎩22k -4k 22k 2-2
y +y =k (x +x +2) =, x x =∴x 1+x 2=，∴． 121212
1+2k 21+2k 21+2k 2
又∵F 2M =(x 1-1, y 1), F 2N =(x 2-1, y 2) ，∴F 2M +F 2N =(x 1+x 2-2, y 1+y 2) ．
∴F 2M +F 2N == =172242
化简得40k -23k -17=0．解得k =1或k =-舍去) ．
40
∴k =±1．∴所求直线l 的方程为y =x +1或y =-x -1．
例6、已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点F 1（-，0）和F 2（3，0）的距离之和为4． （1）求曲线Γ的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且OC ⋅OD =0（O 为坐标原点），
求直线l 的方程．
解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，
x 2
+y 2=1 其中a =2，c =b ==1． 所以动点M 的轨迹方程为4．
（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，设
C (x 1, y 1) ，D (x 2, y 2) ，
x x +y 1y 2=0． ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，
∵OC ⋅OD =0，∴12
22
y y =k x ⋅x -2k (x +x ) +4(1+k ) x 1x 2-2k (x 1+x 2) +4=0．………… ① 1212∴12． ∴
⎧x 22
⎪+y =1, ⎨4
22
⎪y =kx -2. 1+4k x -16kx +12=0()由方程组⎩得．
则
x 1+x 2=
1216k 16k 122
1+k ⋅-2k ⋅+4=0x ⋅x =()122222
1+4k 1+4k 1+4k ，1+4k ，代入①，得．
2
即k =4，解得，k =2或k =-2．所以，直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2
点评：本题考查椭圆的定义，椭圆与向量结合的综合题的解法。
例7、已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy . (1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;
(2)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ) 中椭圆于M,N 两点, 是否存在直线l , 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点? 若存在, 求出直线l 的方程; 若不存在, 说明理由.
()解： (1)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为-2, 0,
2, 0,
2, 1.
x 2+y 2
设椭圆的标准方程是a 2
b 2=1(a >b >0).
则2a =AC +BC =
2--2
2
+(1-0)
2
+
2-22
+(1-0)
2
=4>22
x 2y 2
∴a =2∴b 2=a 2-c 2=4-2=2+=1.
. ∴椭圆的标准方程是42
(2)由题意直线的斜率存在, 可设直线l 的方程为y =kx +2(k ≠0). 设M,N 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2).
⎧⎨y =kx +2
联立方程:⎩x 2+2y 2=4 消去y 整理得,
(1+2k 2)x 2+8kx +4=0 x 有
1+x 2=-
8k 1+2k 2, x 1x 2
=4
1+2k 2
若以MN 为直径的圆恰好过原点, 则⊥, 所以x 1x 2+y 1y 2=0,
所以, x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=0, 即
(1+k 2)
x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=0 4(1+k 2)
16k 2
8-4k 2=0所以, 1+2k 2-1+2k 2
+4=0 即1+2k 2,
得
k 2
=2, k =±2. 所以直线l 的方程为y =2x +2, 或y =-2x +2.
所以存在过P(0,2)的直线l :y =±2x +2使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.
例8、设F x 21、F 2分别是椭圆5+y 2
4
=1的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1⋅PF 2的最大值和最小值；
（2）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F2C|=|F2D| 若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）易知a =, b =2, c =1, ∴F 1=(-1, 0), F 2(1, 0)
？
22设P （x ，y ），则1⋅PF 2=(-1-x , -y ) ⋅(1-x , -y ) =x +y -1
x 2+4-421x -1=x 2+3 x ∈[-5, ]， 55
∴当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1⋅PF 2有最小值3； 当x =±5，即点P 为椭圆长轴端点时，1⋅PF 2有最大值4
（2）
假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时， 直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k
⎧x 2y 2
=1⎪+直线l 的方程为y =k (x -5) 由方程组⎨5，得(5k 2+4) x 2-50k 2x +125k 2-20=0
4⎪y =k (x -5) ⎩
依题意∆=20(16-80k ) >0，得-2
当-55
x 1+x 250k 225k 2
, x 0==2则x 1+x 2= 225k +45k +4
25k 2-20k ∴y 0=k (x 0-5) =k (2-5) =2. 5k +45k +4
又|F2C|=|F2D|⇔F 2R ⊥l ⇔k ⋅k F 2R =-1∴k ⋅k F 2R 20k ) 220k 2=k ⋅==-1 2225k 4-20k 1-25k +40-(-
∴20k 2=20k2－4，而20k 2=20k2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F2C|=|F2D| （ 长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标）
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