直角三角形的边角关系
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第一课时)
学习目标:
1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联系.
2. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 学习重点:
1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 学习难点:
理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 学习方法:
引导—探索法. 学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 2、生活问题数学化:
⑴如图:梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?
⑵以下三组中,梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?
二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题)
⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB2C 2有什么关系? ⑵
B 1C 1B 2C 2
有什么关系? 和
AC 1AC 2
⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3) 呢? ⑷由此你得出什么结论?
三、例题:
例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA 和tanB 的值.
四、随堂练习:
1、如图,△ABC 是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC 吗
?
2、如图,某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ,已知点B 到山脚的垂直距离为55m
,
求山的坡度.(结果精确到
0.001)
3、若某人沿坡度i =3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置比原来的位置升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12. 较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ,则tan θ=______.
5、如图,Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB 的长为12 m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD ,求DB 的长.(结果保留根号)
五、课后练习:
1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt △ABC 中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a 、b 、c, 且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值
.
6、如图, 在菱形ABCD 中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=的边长和四边形AECD 的周长.
7、已知:如图, 斜坡AB 的倾斜角a, 且tan α=
5
, 求菱形12
A
D
B C
3
, 现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶4
B 处移动, 则小球以多大的速度向上升高?
B
8、探究:
⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后, 糖水会更甜, 请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
⑵、我们知道山坡的坡角越大, 则坡越陡, 联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡, 我们会得到一个锐角逐渐变大时, 它的正切值随着这个角的变化而变化的规律, 请你写出这个规律:_____________.
⑶、如图, 在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC, 使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F, 请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模
D 型证明你提炼出的不等式.
C
E
B
§1.1从梯子的倾斜程度谈起(第二课时)
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正弦和余弦的意义. 2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点:
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明. 2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系,进行简单的计算. 学习难点:
用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法:
探索——交流法. 学习过程:
一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想:如图
(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?
A 2C 2BC 1BC 2A 1C 1
(2) 有什么关系? 呢? 和和
BA 1BA 2BA 1BA 2
(3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢? 你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢? 你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.
二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系:
三、例题:
例1、如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AC =200.sinA =0.6,求BC 的长.
例2、做一做:
如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA =
12
,AC =10,AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢? 你13
还能得出类似例1的结论吗? 请用一般式表达.
四、随堂练习:
1、在等腰三角形ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinB ,cosB ,tanB.
2、在△ABC 中,∠C =90°,sinA =
3、在△ABC 中. ∠C=90°,若tanA=
4
,BC=20,求△ABC 的周长和面积. 5
1
,则sinA= . 2
2
4、已知:如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高,求证:BC =AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
五、课后练习:
3
, 则sinB=_______,tanB=______. 4
9
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=, 则AC=______,BC=_______.
41
4
3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=, 则BC=_____.
5
1、在Rt△ABC中,∠ C=90°,tanA=
4、在△ABC中, 已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )
3333 B.cosA= C.tanA= D.cosB= 4545
3BC
5、如图, 在△ABC中,∠C=90°,sinA=, 则等于( )
5AC
3434A. B. C. D. 4355
3A 6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=, 那么tanA 等于( ) 5
4345A. B. C. D. 3454
A.sinA=
7、在△ABC 中,∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是
A .
C
512512
B. C. D. 1313125
8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )
A.tanαcosβ 9、如图, 在Rt△ABC中,CD 是斜边AB 上的高, 则下列线段的比中不等于
sinA 的是( ) D A.
CD DB CB CD
B. C. D. AC CB AB CB
10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m, 则他上升的最大高度是( )m A.
A
C
100100
B.100sinβ C. D. 100cosβ
cos βsin β
11、如图, 分别求∠α, ∠β的正弦, 余弦, 和正切.
12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB 有什么关系?
15、如图, 已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=求:s △ABD :s △BCD
4. 5
C
B
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标:
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 学习重点:
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小. 学习难点:
进一步体会三角函数的意义. 学习方法: 自主探索法 学习过程: 一、问题引入
[问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺. 请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度.
二、新课
[问题] 1、观察一副三角尺,其中有几个锐角? 它们分别等于多少度? [问题] 2、sin30°等于多少呢? 你是怎样得到的? 与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?
[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少? 你是如何得到的?
22
(1)sin30°+cos45°; (2)sin60°+cos60°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m ,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
三、随堂练习 1. 计算:
(1)sin60°-tan45°; (2)cos60°+tan60°;
(3)
⑸(2+1)+2sin30°-; ⑹(1+2) -|1-sin30°|1+(
-1
212sin45°+sin60°-2cos45°; ⑷; -
sin 30︒2+1
1-1
) ; 2
⑺sin60°+
11-30
; ⑻2-(2003+π) -cos60°-.
1-tan 60︒1-2
2. 某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°. 高为7 m,扶梯的长度是多少?
3.如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB =CD=30 m ,两楼问的距离AC=24 m ,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况. 当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m,2≈1.41,≈1.73)
四、课后练习:
b =_____; 1、Rt △ABC 中,∠A =60︒, c =8,则a =_____,
2、在△ABC 中,若c =23, b =2, ,则tan B =____,面积S = ; 3、在△ABC 中,AC :BC =1:3,AB =6,∠B = ,AC = BC = 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3,则顶角为 ( ) (A )60 (B )90 (C )120 (D )150
5、有一个角是30︒的直角三角形,斜边为1cm ,则斜边上的高为 ( ) (A )
113cm (B )cm (C )cm (D )cm 4242
6、在∆ABC 中,∠C =90︒,若∠B =2∠A ,则tanA 等于( ). (A ) (B )
31 (C ) (D )
223
7、如果∠a 是等边三角形的一个内角,那么cos a 的值等于( ). (A )
12
(B ) (C ) (D )1 222
2030米
8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a
元,则购买这种草皮至少要( ).
(A )450a 元 (B )225a 元 (C )150a 元 (D )300a 元
9、计算:
⑴、sin 60︒+cos 60︒ ⑵、sin 60︒-2sin 30︒cos 30︒
⑶、sin 30︒-cos 45︒ ⑷、2cos 45︒+
2
2
2
2-
3cos 600
⑸、2sin 60+cos 45 ⑹、 0
5sin 30-1
⑺、2sin 30︒·tan 30︒+cos 60︒tan60° ⑻、sin 45︒-tan 30︒
10、请设计一种方案计算tan15°的值。
2
2
2
§1.4 船有触礁的危险吗
学习目标:
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明. 学习重点:
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 学习难点:
根据题意,了解有关术语,准确地画出示意图. 学习方法:
探索——发现法 学习过程: 一、问题引入:
海中有一个小岛A ,该岛四周10海里内有暗礁. 今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西55°的B 处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C 处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 你是如何想的? 与同伴进行交流
.
二、解决问题: 1、如图,小明想测量塔CD 的高度. 他在A 处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m 至B 处. 测得仰角为60°. 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到
1 m)
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能,把倾角由40°减至35°,已知原楼梯长为4 m ,调整
后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)
三、随堂练习
1.如图,一灯柱AB 被一钢缆CD 固定,CD 与地面成40°夹角,且DB =5 m,现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ,那么钢缆ED 的长度为多少
?
2. 如图, 水库大坝的截面是梯形ABCD. 坝顶AD =6m ,坡长CD =8m. 坡底BC =30m ,∠ADC=135°. (1)求∠ABC 的大小:
3
(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m)
3.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货. 此时. 接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界) 均受到影响. (1)问:B 处是否会受到台风的影响? 请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据:2≈1.4,
3 ≈
1.7)
四、课后练习:
1. 有一拦水坝是等腰楼形, 它的上底是6米, 下底是10米, 高为
, 求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.
2. 如图, 太阳光线与地面成60°角, 一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米, 求大树的长(精确到0.1米
).
3. 如图, 公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇, 且∠QPN=30°,点A 处有一所学校,AP=160米, 假设拖拉机行驶时, 周围100米以内会受到噪声的影响, 那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响? 请说明理由.
N
4. 如图, 某地为响应市政府“形象重于生命”的号召, 在甲建筑物上从点A 到点E 挂一长为30米的宣传条幅, 在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为40°,测得条幅底端E 的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC 的长(精确到0.1米).
A F E B
D
5. 如图, 小山上有一座铁塔AB, 在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;
在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).
6. 某民航飞机在大连海域失事, 为调查失事原因, 决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子, 如图所示, 一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,
北F 在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向, 划行半小时后到达
C 处, 测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向, 在潜水员继续向东划行多少小时, 距离黑匣子B 最近, 并求最近距离. 60
C A
A
7. 以申办2010年冬奥会, 需改变哈尔滨市的交通状况, 在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB, 在地面上事先划定以B 为圆心, 半径与AB 等长的圆形危险区, 现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树
︒C
E 的底部B 点的俯角为30°, 如图所示, 问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内? D B
8. 如图, 某学校为了改变办学条件, 计划在甲教学楼的正北方21
米处的一块空地上(BD=21米), 再建一幢与甲教学等高的乙教学
楼(甲教学楼的高AB=20米), 设计要求冬至正午时, 太阳光线必
须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南, 太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计
划所建的乙教学楼是否符合设计要求? 并说明理由.
9. 如图, 两条带子, 带子α的宽度为2cm, 带子b 的宽度为1cm, 它们
2
相交成α角, 如果重叠部分的面积为4cm , 求α的度数.
1.5 测量物体的高度
1.
, 下表是小明同学填写的活动报告, 请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计
算栏内, 用计算器计算).
300米的山顶观测点D 处测得点A, 点B 的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)
D
A
B
C
5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索:
实践一:根据《自然科学》中光的反射定律, 利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测
量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米) 的点E 处, 然后沿着直线BE 后退到点D, 这时恰好在镜子里看到树梢顶点A, 再用皮尺量得DE=2.7米, 观察者目高CD=1.6米, 请你计算 树AB 的高度(精确到0.1米)
实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架, 请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题: (1)在你设计的方案中, 选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;
(3)你需要测得示意图中哪些数据, 并分别用a,b,c, α, β等表示测得的数据____. (4)写出求树高的算式:AB=___________.
(1)
(2)
6. 在1:50000的地图上, 查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm, 若要在A 、B 之间建一条索道, 那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?
(说明:地图上量得的AB 的长, 就是A,B 两点间的水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线, 垂足为B′,连接AB′,则∠A即是缆索的倾斜角.)
7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,学校数学应用实践小组做了如下的探索:
实践一:根据《自然科学》中的反射定律,利用
A 一面镜子和一根皮尺,设计如右示意图的测量方案:
把镜子放在离树(AB )8.7米的点E 处,然后沿着直线BE 后退到点D ,这是恰好在镜子里看到树梢顶点A 再用皮尺量得DE =2.7米,观察者目高CD =1.6米,请
你计算树(AB )的高度.(精确到0.1米)
实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2.5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪(能测量仰角、俯角的仪器)A 一架。请根据你所设计的测量方案,回答下列问题: (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是(用工
具的序号填写) (2)在右图中画出你的测量方案示意图;
b 、c 、α(3)你需要测得示意图中的哪些数据,并分别用a 、
等表示测得的数据:
(4)写出求树高的算式:AB =
第一章回顾与思考
1、等腰三角形的一腰长为6cm ,底边长为6cm ,则其底角为( ) A 30 B 60 C 90 D 120
2、某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i =1:3,坝外斜坡的坡度i =1:1,则两个坡角的和为 ( )A 90 B 60 C 75 D 105 3、如图,在矩形ABCD 中,DE⊥AC于E ,设∠ADE=α,且c o s α=
3
, A 5
D
AB = 4, 则AD 的长为( ). (A )3 (B )
162016
(C ) (D ) 335
4、在课外活动上,老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝,其面积为
450cm 2,则对角线所用的竹条至少需( ). (A )2cm (B )30cm (C )60cm (D )602cm 5、如果α是锐角,且sin 2α+cos 235︒=1,那么α= 6、如图,在坡度为1:2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米. 7、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则
sin αcos α=______.
8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α,如果测角仪高为1.5米.那么旗杆的有为 米(用含α的三角比表示). 9、在Rt ∆ABC 中∠A<∠B,CM 是斜边AB 上的中线,将∆ACM 沿直线CM 折叠,点A 落在点D 处,如果CD 恰好与AB 垂直,那么∠A等于 度.
10、如图,某公路路基横断面为等腰梯形. 按工程设计要求路面宽度为10米,坡角为55︒,路基高度为5.8米,求路基下底宽(精确到0.1米).
11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ,现可直接测量到∠A =30︒,AC = 40米,BC = 25米,请你求出这块花圃的面积.
12、如图,在小山的东侧A 处有一热气球,以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30︒的方向飞行,半小时后到达C 处,这时气球上的人发现,在A 处的正西方向有一处着火点B ,5分
钟后,在D 处测得着火点B 的俯角是15︒,求热气球升空点A 与着火点B 的距离.
13、如图,一勘测人员从B 点出发,沿坡角为15︒的坡面以5千米/时的速度行至D 点,用了12分钟,然后沿坡角为20︒的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点,用了10分钟. 求山高(即AC 的长度)及A 、B 两点的水平距离(即BC 的长度)(精确0.01千米).
14、为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵数AB ,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶端A 点的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°(如图). 为距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?
D
B
C
︒
︒
B
到
A
E
15、如图,MN 表示某引水工程的一段设计路线,从M 到N 的走向为南偏东30°. 在M 的南偏东60°方向上有一点A, 以A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区. 取MN 上另一点B, 测得BA 的方向为南偏东75°.已知MB = 400m, 通过计算回答, 如果不改变方向, 输水路线是否会穿过居民区?
16、如图,北部湾海面上,一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地的正东方向且距A 地40海里的B 地训练. 突然接到基地命令,要该军舰前往C 岛,接送一名病危的渔民到基地医院救治. 已知C 岛在A 的北偏东60°方向,且在B 的北偏西45°方向,军舰从B 处出发,平均每小时行驶20海里,需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?(精确到0.1小时)
北M
东
N
A
北北︒
A B
17、如图,客轮沿折线A―B―C从A 出发经B 再到C 匀速直线航行,将一批物品送达客轮.两船同时起航,并同时到达折线A―B―C上的某点E 处.已知AB = BC =200海里,∠ABC =90 ,客轮速度是货轮速度的2倍.
(1)选择:两船相遇之处E 点( )
A .在线段AB 上 B .在线段BC 上
C .可以在线段AB 上,也可以在线段BC 上
(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)
A
C
B