集合导学案
1.1.1 集合的含义与表示
一、元素与集合的概念
只要构成两个集合的元素是 ,我们就称这两个集合 .
2.集合元素的特性
集合元素的特性: 、 、 .(注意对元素特性的理解)
3.元素与集合的关系
(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 集合A ,记作(2)如果a 不是集合A 中的元素,就说a 集合A ,记作注意:对∈和∉的理解
(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a 与一个集合A 而言,只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果.
(2)∈和∉具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如R ∈0是错误的.
二、常用的数集及其记法
⎧⎧ ⎧⎪有理数集Q ⎨整数集Z ⎨⎩负整数集实数集R ⎨⎩分数集⎪⎩无理数集
三、集合的表示 ⎫正整数集N *⎪⎬自然数集N ⎪{0}⎭
列举法:把集合的元素 出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法:(1)定义:用集合所含元素的 表示集合的方法.
(2)具体方法:再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
[例1] (1)下列各组对象:①接近于0的数的全体;②比较小的正整数的全体;③平面上到点a 的距离等于1的点的全体;④正三角形的全体;⑤2的近似值的全体.其中能构成集合
的组数是( )
A 、2 B 、3 C 、4 D 、5
[例2] (1)设集合A 只含有一个元素a ,则下列各式正确的是( )
A .0∈A
C .a ∈A
(2)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R ;② 3∉Q ;③0∈N *;④|-4|∉N *
A .1
C .3
2B .a ∉A D .a =A B .2 D .4 [例3]已知集合A 中含有两个元素a 和a ,若1∈A ,求实数a 的值.
A ={n n ∈Z , n ≤3}B ={y y =x 2-1, x ∈A }C ={(x , y )y =x 2-1, x ∈A }[例4]设集合,集合集合
,试用列举法分别写出集合A 、B 、C.
课堂练习:
1.下列说法正确的是( )
(A )所有著名的作家可以形成一个集合
(B )0与 {0}
(D )方程x +2x +1=0的解集只有一个元素
2. 设不等式3-2x
A .0∈M, 2∈M B .0∉M, 2∈M
C .0∈M, 2∉M D .0∉M, 2∉M ⎧⎫1A =x x =, n ∈N ⎨(C )集合是+⎬有限集 n ⎩⎭2
3. 设A 表示由a 2+2a -3,2,3构成的集合,B 表示由2,|a +3|构成的集合,已知5∈A ,且5∉B ,求a 的值.
4. 若集合A 中含有三个元素a -3,2a -1,a 2-4,且-3∈A ,则实数a 的值为________.
5、(1)集合A ={1,-3,5,-7,9,„}用描述法可表示为( )
A .{x |x =2n ±1,n ∈N } B .{x |x =(-1) n (2n -1) ,n ∈N }
C .{x |x =(-1) n (2n +1) ,n ∈N } D .{x |x =(-1) n 1(2n +1) ,n ∈N } -
⎧⎫6⎪⎪(2)设集合B =⎨x ∈N ⎪2+x ∈N ⎬. ⎪⎩⎪ ⎪⎭
①试判断元素1,2与集合B 的关系; ②用列举法表示集合B . .
6、集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }中只有一个元素,求a 的取值范围
1.1.2 集合间的基本关系
1、子集的概念
(1)集合A 是集合B 的子集的含义是:集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,即由x ∈A 能推出x ∈B . 例如{0,1}⊆{-1,0,1},则0∈{0,1},0∈{-1,0,1}.
(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素,那么集合A 不包含于B ,或B 不包含A . 此时记作A ⃘B 或B ⊉A .
(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别:“⊆”只用于之间,如{0}⊆N . 而不能写成{0}∈N ,“∈”只能用于 之间.如0∈N ,而不能写成0⊆N .
2、集合相等的概念
如果集合A 是集合B 的 (A ⊆B ) ,且集合B 是集合A 的 (B ⊆A ) ,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作
对两集合相等的认识
(1)若A ⊆B ,又B ⊆A ,则A =B ;反之,如果A =B ,则A ⊆
B ,且B ⊆A . 这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证A =B ,只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关.
3、真子集的概念
(1)在真子集的定义中,A 、B 首先要满足A ⊆B ,其次至少有一个x ∈B ,但x ∉A .
(2)若A 不是B 的子集,则A 一定不是B 的真子集.
4、空集的概念
(1)∅是不含任何元素的集合;
(2){0}是含有一个元素的集合.
5、判断集合间关系的方法
(1)用定义判断.
首先,判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ,若是,则A ⊆B ,否则A 不是B 的子集;其次,判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ,若是,则B ⊆A ,否则B 不是A 的子集;若既有A ⊆B ,又有B ⊆A ,则A =B .
(2)数形结合判断.
对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
6、有限集合的子集个数
(1)含n 个元素的集合有 个子集;(2)含n 个元素的集合有 个真子集.
(3)含n 个元素的集合有 个非空子集;(4)含有n 个元素的集合有 个非空真子集;(5)若集合A 有n (n ≥1)个元素,集合C 有m (m ≥1)个元素,且A ⊆B ⊆C ,则符合条件的集合B 有 个
[例1] (1)下列各式中,正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}⊆{2,1,0};③∅⊆{0,1,2};④∅={0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}
A .1 B .2 C .3 D .4
[例2](1)集合{2, 4, 6, 8}的真子集的个数是( )
A.16 B.15 C.14 D.13
[例3] 已知A =x x ⑴若B ⊆A , 求a 的取值范围; ⑵若A ⊆B , 求a 的取值范围;
课堂练习:
1、下列四个命题:①∅={0};②空集没有子集;③任何一个集合必有两个子集;④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2、指出下列各组集合之间的关系:
①A ={-1,1},B ={(-1,-1) ,(-1,1) ,(1,-1) ,(1,1)};
②A ={x |x 是等边三角形},B ={x |x 是等腰三角形};
③M ={x |x =2n -1,n ∈N *},N ={x |x =2n +1,n ∈N *}.
3、满足{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 有 个.
24、已知集合P={x∣x +x -6=0, x ∈R },S={x∣ax +1=0, x ∈R },
若S ⊆P ,求实数a 的取值集合.
5、已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m -6≤x ≤2m -1},若A ⊆B ,求实数m 的取值范围. 北晨学校高一数学导学案 主备人:邓洪萍 审核人:付冬梅 {}{}
1.1.3 集合的基本运算
第一课时 集合的并集、交集
1.并集的概念
(1)A ∪B =,即两个集合的并集满足交换律.
(2)A ∪A =
(3)A ∪∅=∅∪A =,即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
(4)A (A ∪B ) ,B A ∪B ) ,即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集.
(5)若A ⊆B ,则A ∪B =本身.
理解并集应关注三点
(1)A ∪B 仍是一个集合,由所有属于A 或属于B 的元素组成. (2)“或”的数学内涵的形象图示如下:
(3)若集合A 和B 中有公共元素,根据集合元素的互异性,则在A ∪B 中仅出现一次.
1.交集的概念
(1)A ∩B =, (2)A ∩A =, (3)A ∩∅=∅∩A = ,
(4)A ∩B ,A ∩B , (5)若A ⊆B ,则A ∩B =,
理解交集的概念应关注四点
(1)概念中“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素.
(2)概念中的“所有”两字不能省,否则将会漏掉一些元素,一定要将相同元素全部找出.
(3)当集合A 和集合B 无公共元素时,不能说集合A ,B 没有交集,而是A ∩B =∅.
(4)定义中“x ∈A ,且x ∈B ”与“x ∈(A ∩B ) ”是等价的,即由既属于A ,又属于B
的元素组成的集合为A ∩B . 而只属于集合A 或只属于集合B 的元素,不属于A ∩B .
例1、(1)设集合M ={4,5,6,8},集合N ={3,5,7,8},那么M ∪N 等于( )
(2)若集合A ={x |x >-1},B ={x |-2
注:并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性.
(2)若集合中元素个数无限,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意是否去掉端点值.
例2、设A=(-1, 3] ,B=[2, 4),求A ∩B.
注:求交集运算应关注两点
(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.
(2)利用集合的并、交求参数的值时,要检验集合元素的互异性.
例3、已知集合A ={x |-3
课堂练习:
1、设集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |0≤x ≤4},求 A∩B 和A ∪B
2、若A ={0,1,2,3},B ={x |x =3a ,a ∈A },则A ∩B 等于( )
A .{1,2}
C .{0,3} B .{0,1} D .{3}
3、已知M ={1,2,a 2-3a -1},N ={-1,a, 3},M ∩N ={3},求实数a 的值
4、设集合A={x|2x+3px+2=0},B={x|2x+x+q=0},其中p ,q ,x ∈R ,且A ∩B={
的值和A ∪B
5、集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-2x +a -1=0},A ∩B =B ,则a 的取值范围为________.
6、某车间有120人,其中乘电车上班的84人,乘汽车上班的32人,两车都乘的18人,求:⑴只乘电车的人数 ⑵不乘电车的人数 ⑶乘车的人数 ⑷只乘一种车的人数
221}时,求p 2
1.1.3 集合的基本运算
第二课时 补集及综合应用
全集的定义及表示
(1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的全集.
(2)符号表示:全集通常记作对全集概念的理解
“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题来加以选择的.例如:我们常把实数集R 看作全集,而当我们在整数范围内研究问题时,就把整数集Z 看作全集.
补集的概念及性质
(1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念.
(2)∁U A 包含三层意思:①A ⊆U ;②∁U A 是一个集合,且∁U A ⊆U ;③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合.
(3)若x ∈U ,则x ∈A 或x ∈∁U A ,二者必居其一.
[例1] (1)设全集U =R ,集合A ={x |2
(2)设U ={x |-5≤x
则∁U A =________,∁U B =________.
求补集的方法
求给定集合A 的补集通常利用补集的定义去求,从全集U 中去掉属于集合A 的元素后,由所有剩下的元素组成的集合即为A 的补集.
练习:设全集U ={1,3,5,7,9},A ={1,|a -5|,9),∁U A ={5,7},则a 的值为________.
[例2] 已知全集U ={x |x ≤4},集合A ={x |-2<x <3},B ={x |-3≤x ≤2},求A ∩B ,(∁U A )
∪B ,A ∩(∁U B ) ,∁U (A ∪B ) .
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn 图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.
(2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
[例3] 已知集合A ={x |x 0},若A ∩(∁R B ) =∅,求实数a 的取值范围.
利用补集求参数应注意两点
(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
(2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集
练习:
1、已知集合A ={x |x 2-4x +2m +6=0},B ={x |x
2、设全集U =R ,M ={x |3a
值范围.
∁U P ,求实数a 的取