2015年天津市十二区县联考第一次数学理科试卷及答案
2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一)
数学理科试卷及参考答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 参考公式:
·如果事件A、B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B) ∙柱体的体积公式V=Sh. 其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(2+i)=5,则z= 1.设复数z满足(z+2i)
A.3-2i B.3+2i C.2-3i D. 2+3i
⎧x+y-1≤0
⎪
2.已知实数x,y满足约束条件⎨x-y-1≤0,则z=x+2y的最大值为
⎪x≥0⎩
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.若按右侧算法流程图运行后,输出的结果是
5
, 则输入的N的值 6
可以等于 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形. 则该四棱锥的体积等于
A.
.
.
.
x2y22
5.已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y=2px(p>0)的焦点的距
ab
离
为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-1,-2),则双曲线的焦距为
A
.
6.数列{an}满足
a=1N* A7.已知以下4个命题:
①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
②若p:∀x∈R,x2-3x-2b是(a-1a>(b-1)b成立的充分不必要条件
④若关于实数x的不等式-2x++3x
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x∈(0.2]时,
⎧x2-xx∈(0,1)
7t⎪2
≤f(x)≤3-t恒成立,则实数 ,若x∈(0,4]时,t-f(x)=⎨1
2x∈[1,2]⎪
⎩x
t的取值范围是
⎡5⎤⎡5⎤
A.[1,2] B.⎢2,⎥ C.⎢1,⎥ D.[2,+∞)
⎣2⎦⎣2⎦
2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一)
数 学(理)
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡中的相应横线
11. 已知∆ABC中,AB=1,sinA+sinB=C,
S∆ABC=
3
sinC,则cosC=_____. 16
12. 如图,∆ABC是圆O的内接三角形,PA是圆O的切线,A为切点,
PB交AC于点E,交圆O于点D,若PE=PA,∠ABC=60, 且PD=2,BD=6,则AC=______.
13.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲 线M
的极坐标方程为
cos(θ+
π
4
)=1, 曲线N的参数方程为
{
x=4t2y=4t
(t为参数). 若曲线M与N相交于A,B两点,则线段AB的长等于 .
14. 已知O为∆ABC的外心,AB=2a,AC=,∠BAC=120,若AO=xAB+yAC,
则3x+6y的最小值为 .
9.100 ; 10.-10; 11.
2a
1
; 12.6; 13.
8; 14.6+3
三、解答题:本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=2cosxx+cosx)+2 (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间; (Ⅱ) 求函数f(x)在区间[0,
π
2
]上的最大值和最小值.
15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)f(x)=2x+2cos2x+2 ……1分
=2x+cos2x+3 …………2分
π
=2sin(2x+)+3 …………4分
62π
=π ……………5分 ∴f(x)的最小正周期T=2
ππ3ππ2π
,k∈Z得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z 由2kπ+≤2x+≤2kπ+
26263
∴f(x)的单调递减区间为[kπ+(Ⅱ)由x∈[0,
故-
π
6
,kπ+
2π
],k∈Z ……………7分 3
π
2
]得
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
………9分
6
1π⎫⎛
≤sin 2x+⎪≤1………11分26⎭ ⎝ 所以2≤f(x)≤5 ………12分 因此,f(x)的最大为5, 最小值是2 ……13分
πππ
解法二: f(x)在区间[0,]上单调递增; 在区间[,]上单调递减………11分
662ππ
又f(0)=4,f()=5,f()=2
62
所以f(x)的最大为5, 最小值是2 ………13分
16.(本小题满分13分)
某银行招聘,设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘,经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试,丙独自参加B组测试,丁、戊两人各自独立参加C组测试.若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为为
2
;丙通过B组测试的概率3
1
;而C组共设6道测试题,每个人必须且只能从中任选4题作答,至少 答对3题者2
就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题. (Ⅰ)求丁、戊都竞聘成功的概率.
(Ⅱ)记A、B两组通过测试的总人数为ξ,求ξ的分布列和期望. 16.解:(Ⅰ)设参加C组测试的每个人竞聘成功为A事件,则
431
C4+C4C21+83
== …………3分 P(A)=4
155C6
339
故丁、戊都竞聘成功的概率等于⨯= …………5分
5525
(Ⅱ)ξ可取0,1,2,3, …………6分
1221
P(ξ=0)=(1-)⨯(1-)=,
2318211215
P(ξ=1)=(2⨯⨯)⨯(1-)+(1-)2⨯=,
[1**********]18
P(ξ=2)=(2⨯⨯)⨯+()2⨯(1-)=,
3323218214
P(ξ=3)=()2⨯=, (每个结果各1分) …………10分
3218
故ξ的分布列为:
…………11分
所以E(ξ)=0⨯
158433
+1⨯+2⨯+3⨯=
1818181818
17.(本小题满分13分)如图,三棱柱ABC-A1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2AA1=3,D为AC的中点. (Ⅰ)求证:AB1//面BDC1;
(Ⅱ)求二面角C1-BD-C的余弦值; (Ⅲ)在侧棱AA1上是否存在点P,使得 CP⊥面BDC1?请证明你的结论.
17.(本小题满分13分)
解法一: (Ⅰ)证明:依题可建立如图的空间直角坐标系C1-xyz,………1分 则C1(0,0,0),B(0,3,2),B1(0,0,2), C(0,3,0),A(2,3,0), D(1,3,0), ………2分 设n=(x1,y1,z1)是面BDC1的一个法向量,则
⎧⎪nC1B=0,⎧3y1+2z1=0,11⎨即⎨,取n=(1,-,). …………4分
⎪⎩nC1D=0⎩x1+3y1=032
又AB1=(-2,-3,2),所以AB1⋅m=-2+1+1=0,即AB1⊥m ∵AB1⊄面BDC1,∴AB1//面BDC1. …………6分 (Ⅱ)易知C1C=(0,3,0)是面ABC的一个法向量. …………7分
cosn,C1C=
nC1Cn⨯C1C
=-
2
7. …………8分 2. …………9分 7
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
(Ⅲ)假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P(2,y,0)(0≤y≤3),则 CP=(2,y-3,0), …………10分
⎧⎪CPC1B=0,⎧3(y-3)=0,
⎨ 则,即⎨. …………11分 CPCD=02+3(y-3)=0⎪⎩1⎩
⎧y=3,⎪
7⎨
解之⎪y=∴方程组无解. …………12分
3⎩
∴侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1. …………13分
解法二: (Ⅰ)证明:连接B1C,与BC1相交于O,连接OD.
∵BCC1B1是矩形,∴O是B1C的中点. …………1分 又D是AC的中点,∴OD//AB1. …………2分 ∵AB1⊄面BDC1,OD⊂面BDC1,∴AB1//面BDC1. …………4分 (Ⅱ)解C1B=(0,3,2),C1D=(1,3,0),
………5分
设n=(x1,y1,z1)是面BDC1的一个法向量,则
⎧⎪nC1B=0,⎧3y1+2z1=0,11⎨即⎨,取n=(1,-,). …………6分
⎪⎩nC1D=0⎩x1+3y1=032
易知C1C=(0,3,0)是面ABC的一个法向量. …………7分 cosn,C1C=
2
=-. …………8分
7n⨯C1C
2. …………9分 7
nC1C
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
(Ⅲ)假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P(2,y,0)(0≤y≤3),则 CP=(2,y-3,0), …………10分
⎧⎪CPC1B=0,⎧3(y-3)=0,
则⎨,即⎨. …………11分
CPCD=0⎪⎩1⎩2+3(y-3)=0⎧y=3,⎪
7⎨
解之⎪y=∴方程组无解. …………12分
3⎩
∴侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1. …………13分
x2y2
18.(本小题满分13分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,
ab
右焦点为F
(c,0),直线l是椭圆C在点B处的切线. 设点P是椭圆C上异于A,B的
动点,直线AP与直线l的交点为D,且当|BD|=时,∆AFD是等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆C的离心率; (Ⅱ)设椭圆C的长轴长等于
4,当点P运动时,试判断以BD为直径的圆与直线PF的
位置关系,并加以证明. 18.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)依题可知A(-a,0)、Da,, ………1
分
()
由|AF|=|FD|,得,
a+c=化简得a=2c∴e=
………2分
c1
=, ………3分 a21
故椭圆C的离心率是 ………4分
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)及椭圆C的长轴长等于4得,
x2y2
+=1,且A(-2,0),B(2,0), 椭圆C的方程为43
在点B处的切线方程为x=2. 以BD为直径的圆与直线PF相切. ……5分 证明如下:由题意可设直线AP的方程为y=k(x+2)(k≠0). 则点D坐标为(2, 4k),BD中点E的坐标为(2, 2k).
⎧y=k(x+2),由⎪2得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.…………………7分 2
⎨xy
+=1⎪
3⎩4
16k2-12设点P的坐标为(x0,y0),则-2x0=.
3+4k2
12k6-8k2
y=k(x+2)=所以x0=,. …………………9分 00
3+4k23+4k2
因为点F坐标为(1, 0),
13
(1)当k=±时,点P的坐标为(1, ±),直线PF的方程 为x=1,
22
点D的坐标为(2, ±2).此时以BD为直径的圆(x-2)2+(y1)2=1与直线PF相
切…10分
(2)当k≠±
1y04k时,直线PF的斜率kPF=. =22x0-11-4k
4k1-4k2
(x-1),即x-y-1=0. 所以直线PF的方程为y=2
1-4k4k
1-4k21+4k2
|2-⨯2k-1|
==|2k|………12分 故点E到直线PF
的距离d=
4k4k
x-y-=0, (算法二: 或直线PF的方程为
1-4k21-4k2
2k+8k3
1-4k2
故点E到直线PF
的距离d===2|k|…12分) 21+4k|1-4k2|
又因为=2R=4k ,故以BD为直径的圆与直线PF相切.
综上得,当直线AP绕点A转动时,以BD为直径的圆与直线PF相切.……13分
解法二: 由(Ⅰ)及椭圆C的长轴长等于4得,
x2y2
椭圆C的方程为+=1,且A(-2,0),B(2,0),
43
在点B处的切线方程为x=2. 以BD为直径的圆与直线PF相切. ……5分
x2y2
+=1(y≠0) 证明如下: 设点P(x,y),则43
3
(1)当x=1时,点点P的坐标为(1, ±),直线PF的方程为x=1, ……6分
2
点D的坐标为(2, ±2).此时以BD为直径的圆(x-2)2+(y1)2=1与直线PF相
切…7分
y
(x+2), …8分 x+2
4y2y2y
点的坐标为(2,),BD中点E的坐标为(2,),故|BE|=||…9分
x+2x+2x+2
y
直线PF的斜率为kPF=,
x-1yx-1
故直线PF的方程为y=(x-1),即x-y-1=0,………10分
yx-1
x-12y|2-⨯-1|
2y
所以点E
到直线PF的距离d==||=|BE|………12分
x+2故以BD为直径的圆与直线PF相切.
综上得,当直线AP绕点A转动时,以BD为直径的圆与直线PF相切.………13分
(2)当x≠1时直线AP的方程为y=
19.(本小题满分14分)设数列{bn},{cn},已知b1=3,c1=5,bn+1=
cn+4
,2
bn+4*
(n∈N). (Ⅰ)设an=cn-bn,求数列{an}的通项公式; 2
*
(Ⅱ)求证:对任意n∈N,bn+cn为定值; cn+1=
(Ⅲ)设Sn为数列{cn}的前n项和,若对任意n∈N,都有p⋅(Sn-4n)∈[1,3],求实数p的取值范围.
19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)所以bn+1=
*
4+cncnb
=+2,cn+1=n+2, 222
111
(bn-cn)=-(cn-bn),即an+1=-an, ……………………2分 222
1
又a1=c1-b1=2≠0, 故数列{an}是首项为2,公比为-的等比数列,
2cn+1-bn+1=
⎛1⎫
所以an=2⋅ -⎪
⎝2⎭
n-1
. …………………………………………………4分
1
(bn+cn)+4, 2b+cn1
-4=(bn+cn-8),………………………………6分 所以bn+1+cn+1-8=n
22
*
而b1+c1-8=0,所以由上述递推关系可得,当n∈N时,bn+cn-8=0恒成立,
(Ⅱ)解:bn+1+cn+1=
即an+bn恒为定值8. ……………………8分
⎧bn+cn=8,n-1
1⎪⎛⎫n-1
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知⎨⎛1⎫,所以cn=4+ -⎪,…9分
⎝2⎭⎪cn-bn=2⋅ -⎪
⎝2⎭⎩
⎛1⎫
1- -⎪n
2⎡⎛1⎫⎤2⎭⎝所以Sn=4n+=4n+⎢1- -⎪⎥, ……………10分
13⎣⎛⎫⎢⎝2⎭⎦⎥1- -⎪⎝2⎭
n
2p⎡⎛1⎫⎤
⋅⎢1- -⎪⎥, 所以p⋅(Sn-4n)=
3⎢⎣⎝2⎭⎥⎦
n
2p⎡⎛1⎫⎤
⋅⎢1- -⎪⎥≤3, 由p⋅(Sn-4n)∈[1,3]得1≤
3⎣⎢⎝2⎭⎦⎥
n
⎛1⎫
因为1- -⎪>0,所以
⎝2⎭
n
1
n
⎛1⎫⎛1⎫1- -⎪1- -⎪⎝2⎭⎝2⎭
111
当n为奇数时,随的增大而增大,且=0
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1- -⎪1+ ⎪1- -⎪⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭111
当n为偶数时,随的增大而减小,且=>1, nnnn
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1- -⎪1- ⎪1- -⎪⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭
413
所以,的最大值为,的最小值为2.……………13分 nn
3⎛1⎫⎛1⎫
1- -⎪1- -⎪⎝2⎭⎝2⎭
≤
2p
≤3
3
n
, ………………11分
由
1⎛1⎫1- -⎪⎝2⎭
n
≤
2p≤3
3⎛1⎫1- -⎪⎝2⎭
n
,得
42p≤≤2,解得2≤p≤3. 33
所以,所求实数p的取值范围是[2,3].……………………………………14分
20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2-ax(a≠0),g(x)=lnx,f(x)图象与x轴异于原点的交点M处的切线与直线x-y+1=0平行. (Ⅰ)求函数T(x)=xf(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知实数t∈R,求函数y=f[xg(x)+t],x∈[1,e]的最小值;
(Ⅲ)令F(x)=g(x)+g'(x),给定x1,x2∈(1,+∞),x1
α,β,存在实数m满足:α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,并且使得不等式|F(α)-F(β)|
20. (本小题满分14分)
(Ⅰ)解:点M(a,0),f'(x)=2x-a ,由题意可得f'(a)=1,故a=1,……1分
32
∴f(x)=x2-x, T(x)=x-x,T'(x)=3x-2x=3x(x-) ……………2分
2
23
令T'(x)>0,得T(x)的增区间是(-∞,0),(,+∞); ………………3分 令T'(x)
23
23
(Ⅱ)解法一:令u=h(x)=xg(x)+t,(x∈[1,e]),
则h'(x)=(xlnx+t)'=lnx+1>0, …………………………5分
∴h(x)在[1,e]单调递增,故当x∈[1,e]时,t≤u≤e+t ……………6分 因为f(x)=x(x-1)在(-∞,0.5)上单调递减,在(0.5,+∞)上单调递增, 故可分以下种情形讨论
(1)当e+t≤0.5即t≤0.5-e时f(u)在[t,e+t]上单减,
所以f(u)的最小值是f(e+t)=(e+t)2-(e+t) ………………7分
(2)当t
(3)当t≥0.5时f(u)在[t,e+t]上单增,
所以f(u)的最小值是f(t)=t2-t ………9分
解法二:y=f[xg(x)+t]=[xlnx+t]2-(xlnx+t)=(xlnx)2+(2t-1)(xlnx)+t2-t…5分 令u=xlnx,在 x∈[1,e]时,u'=lnx+1>0,
∴u=xlnx在[1,e]单调递增,0≤u≤e, ……………6分 y=u2+(2t-1)u+t2-t图象的对称轴u=
①当u=1-2t,抛物线开口向上 21-2t1≤0即t≥时,ymin=y|u=0=t2-t ……………7分 22
1-2t1-2e≥e即t≤②当u=时,ymin=y|u=e=e2+(2t-1)e+t2-t ………8分 22
1-2t1-2e1
1-2t21-2t21ymin=y|1-2t=()+(2t-1)+t-t=- ……………9分 u=2242
(Ⅲ)F(x)=g(x)+g'(x)=lnx+1,F'(x)=1-1=x-1≥0得x≥1
xx2x2x
所以F(x)在区间(1,+∞)上单调递增 ……………………10分
≥F(1)>0,注意到1
①当m∈(0,1)时,有α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1,
α=mx1+(1-m)x2
得α∈(x1,x2),同理β∈(x1,x2), …………………11分
∴ 由f(x)的单调性知 0
从而有|F(α)-F(β)|
β=(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1=x1,
由f(x)的单调性知 0
∴|F(α)-F(β)|≥|F(x1)-F(x2)|,与题设不符 ………………13分
③当m≥1时,同理可得α≤x1,β≥x2,
得|F(α)-F(β)|≥|F(x1)-F(x2)|,与题设不符.
∴综合①、②、③得m∈(0,1) ………………14分 说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.