微积分3.4.3相关变化率
3.4.3 相关变化率
若两个变量之间有某种关系，并且两个变量又是另外一个变量t 的函数。
x =x (t ) d x dy { F (x , y ) =0，并且y =y (t ) 。若已知变化率，去推倒另外一个变量的变化率，我dt dt
们称之为 相关变化率问题。
解决相关变化率问题的步骤：
1、利用几何或者物理等方面条件建立两个变量间的函数关系；
2、等式的两边对时间t 求微商；
3、将已知的指定时刻t 的相关值代入等式；
4、由给定的条件求出相关变化率。
例1：一气球从离开观察员500米处离地面垂直上升，其速率为140米/秒。当气球高度为500米时，观察员视线仰角的增加率是多少？
解：设气球上升t 秒后，高度为x ，观察员仰角为θ。
x 。 =tan θ（步骤1）500
1d x d θ在等式的两边对时间求微商，则有。（步骤2） =sec 2θ⋅500dt dt
dx 将已知的条件：=140，θ=450代入等式。(步骤3） dt
d θ7求得=。（步骤4） dt 50 根据题意，则有：
故，观察员视线仰角的增加率为7/50(弧度/秒）。
对应习题：一长为5米的梯子斜靠在墙上，如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求： （1）梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速度； π（2）梯子与墙的夹角为时，该夹角的增加率。 3
例2：河水以8米/秒的体流量流入水库中，水库的形状是长为4000米，顶角为120的水30槽，问水深为20米时，水面每个小时上升几米？
解：设水面高为h, 水库内的水的体积为V ，时间为t 。 由体积公式得V =40003h ，
由题意得到2V =8⋅3600⋅t =28800t 即28800t =40003h ，2同时对方程两边求微商，得到
28800=8000⋅h ⋅dh dh ，将h=20代入其中，得到≈0. 104m /h dt dt
对应习题：注入水深8米，上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率是多少？
小结习题
1. 在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶，乙船在甲船的北面16公里，以8公里/小时的速率向南行驶，问下午一点整两船距离的变化速率是多少？
2. 一块石头投入水中使平静的湖面产生波纹。若最外圈的波纹向外传播的速度是60厘米/秒，求5秒时波纹围成的面积的增加率。
习题参考答案
例1对应习题
解：设梯子的上下端距离墙角为x,y.
（1） 由题意得到x +y =5，同时对方程两边求微商，得到 222
2x dy dx dy =0.5 +2y =0。由题意可得x=4,y=3,dt dt dt
dx
代入其中，得到dt =3/8 故，梯子上端向下滑落的速度为3/8米每秒。
y =sin θ。同时对方程两边求微商，得5
1dy d θdy πd θ1到⋅。由已知得到=（弧度/=cos θ⋅=0. 5，θ=，代入其中，得到3dt 55dt dt dt （2）设梯子上端与墙壁的夹角为θ，根据题意有：
秒）。
例2对应习题
解：设时间为t, 水面高度为h ，容器内的水的体积为V 。 由题意得到V =1h ⋅π（⋅) 2⋅h , 而且V=4t.则有32
1h ⋅π⋅() 2⋅h =4t 。对方程两边同时求微商，得到 32
π2dh ⋅h ⋅=4。由已知得到h=5,代入其中，得到4dt
dh 1616= 。故，当水深5米时，其表面的上升速率是米/分钟。 dt 25π25π
小结习题
1. 解：如图所示，设甲，乙离路口距离为x 、y ，
甲乙之间的距离为h 。由题意得到
h =x 2+y 2。对方程的两边同时求微商，得到
dh =dt 2x ⋅dx dy +2y ⋅。由题意得到2x 2+y 2
x =6, y =8, dx dh =6，代入得到=-2.8km/h. dt dt
2故，下午一点整时两车的距离的变化率是-2.8km/h. 2. 解：设时间为t ，波纹围成的面积为S 。根据题意，有r =60t , S =π⋅r ，得到：
S =π⋅(60t ) 2。对方程的两边同时求微商，得到：ds =3600π⋅2⋅t 。 dt
当t =5，ds 2=36000π. 故，5秒时，波纹围成的面积的变化率是36000πcm /s 。 dt