高等数学公式大全(2)
高等数学公式
导数公式:
2
(tgx ) '=sec x
2
(arcsinx ) '=(arccosx ) '=-(arctgx ) '=
11+x
1-x
1-x
2
22
(ctgx ) '=-csc x (secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a ) '=a ln a (log
a x
x
x ) '=
1x ln a
(arcctgx ) '=-
11+x
2
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
⎰tgxdx ⎰ctgxdx ⎰sec ⎰a ⎰x ⎰a ⎰
=-ln cos x +C =ln sin x +C
⎰cos ⎰sin
dx
2
x x
==
⎰sec ⎰csc
2
xdx =tgx +C xdx =-ctgx +C
dx
2
2
xdx =ln sec x +tgx +C
⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C
dx
2
⎰sec x ⋅tgx dx ⎰csc x ⋅ctgxdx ⎰a
x
=sec x +C =-csc x +C +C
+x dx -a dx -x dx
2
2
===
1a 1
arctg ln ln
x a
+C +C +C
x -a x +a a +x a -x x a
dx =
a
x
ln a
22
2a 12a
⎰shxdx ⎰chxdx ⎰
π
2
=chx +C =shx +C
=ln(x +
x ±a ) +C
2
2
22
a -x
2
=arcsin +C
dx x ±a
2
2
π
2
I n =
⎰sin
02
n
xdx =⎰cos
n
xdx =
2
n -1n a a a
2
I n -2
x +a ) +C x -a x a +C
2
2
2
2
⎰⎰⎰
sin x =
2u 1+u
x +a dx =x -a dx =a -x dx =
2
2
2
2
2
x 2x 2x 2
x +a +x -a -a -x +
2
2
2
2
2
2
2
ln(x +ln x +arcsin
2
2
+C
2
, cos x =2
x 2du
, u =tg , dx =22
21+u 1+u
1-u
2
一些初等函数: 两个重要极限:
e -e
2e +e
2shx chx
2x
-x
x
-x
双曲正弦:shx =双曲余弦:chx =双曲正切:thx =arshx =ln(x +archx =±ln(x +arthx =
12ln 1+x 1-x
lim
sin x x 1x
x →0
=1
) =e =2. 7182818284
x
59045...
lim (1+
x →∞
=
e -e e +e
x
x -x -x
x +1)x -1)
2
三角函数公式: ·诱导公式:
·和差角公式: ·和差化积公式:
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =
tg α±tg β1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1ctg β±ctg α
sin α+sin β=2sin sin α-sin β=2cos
α+β2
cos sin
α-β2
α+β2
α-β2
cos α+cos β=2cos cos α-cos β=2sin
α+β2
cos sin
α-β2
ctg (α±β) =
α+β2
α-β2
·倍角公式: sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos α-1=1-2sin α=cos α-sin αctg 2α=tg 2α=
ctg α-12ctg α2tg α1-tg α
22
2
2
2
2
sin 3α=3sin α-4sin αcos 3α=4cos α-3cos αtg 3α=
3tg α-tg α1-3tg α
233
3
·半角公式:
sin tg
α
2
=±=±
-cos α
21-cos α1+cos α
a sin A
1-cos αsin αb sin B
=
cos ctg
α
2
=±
+cos α
21+cos α1-cos α
2
2
=
1+cos αsin α
2
α
2
==c
sin α1+cos α
α
2
=±=
sin α1-cos α
·正弦定理:
=
sin C
=2R ·余弦定理:c =a +b -2ab cos C
·反三角函数性质:arcsin x =
π
2
-arccos x arctgx =
π
2
-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:
n
(uv ) =u
(n )
=
∑C
k =0
k n
u
(n -k )
v
(k )
(n )
v +nu
(n -1)
v '+
n (n -1) 2!
u
(n -2)
v ''+ +
n (n -1) (n -k +1)
k !
u
(n -k )
v
(k )
+ +uv
(n )
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:柯西中值定理:
f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a )
=f '(ξ) F '(ξ)
拉格朗日中值定理。
f (b ) -f (a ) F (b ) -F (a )
当F (x ) =x 时,柯西中值定理就是
曲率:
弧微分公式:平均曲率:K =
ds =∆α∆s
+y 'dx , 其中y '=tg α
∆α:从M 点到M '点,切线斜率的倾角变
∆α∆s
d αds
y ''(1+y ')
2
3
2
化量;∆s :M M '弧长。
M 点的曲率:直线:K =0;
K =lim
∆s →0
==.
半径为a 的圆:K =
1a
.
定积分的近似计算:
b
矩形法:⎰f (x ) ≈
a b
b -a n
(y 0+y 1+ +y n -1)
梯形法:⎰f (x ) ≈
a
b
b -a 1
[(y 0+y n ) +y 1+ +y n -1]n 2b -a 3n
[(y 0+y n ) +2(y 2+y 4+ +y n -2) +4(y 1+y 3+ +y n -1)]
抛物线法:⎰f (x ) ≈
a
定积分应用相关公式:
功:W =F ⋅s 水压力:F =p ⋅A 引力:F =k
m 1m 2r
2
, k 为引力系数
函数的平均值:y =
1b -a
b
⎰b -a
a
1
b
f (x ) dx
均方根:
⎰
a
f (t ) dt
2
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:向量在轴上的投影:
d =M 1M
2
=
(x 2-x 1) +(y 2-y 1) +(z 2-z 1)
222
Pr j u AB =cos ϕ, ϕ是AB 与u 轴的夹角。
Pr j u (a 1+a 2) =Pr j a 1+Pr j a 2
a ⋅b =a ⋅b cos θ=a x b x +a y b y +a z b z , 是一个数量两向量之间的夹角:
cos θ=k
,
a x b x +a y b y +a z b z
a x +a y +a z ⋅b x +b y +b z
2
2
2
2
2
2
i
c =a ⨯b =a x
b x
j a y b y
a z , c =a ⋅b sin θ. 例:线速度:b z
a y b y c y
a z b z c z
v =w ⨯r .
a x
向量的混合积:[a b c ]=(a ⨯b ) ⋅c =b x
c x
代表平行六面体的体积
。
=a ⨯b ⋅c cos α, α为锐角时,
平面的方程:1、点法式:
A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0,其中n ={A , B , C },M 0(x 0, y 0, z 0) Ax +By +Cz +D =0x a +y b +z c =1
d =
Ax 0+By 0+Cz 0+D
A +B +C
空间直线的方程:
2
2
2
2、一般方程:3、截距世方程:
平面外任意一点到该平面的距离:
⎧x =x 0+mt
x -x 0y -y 0z -z 0 ⎪
===t , 其中s ={m , n , p };参数方程:⎨y =y 0+nt m n p ⎪z =z +pt
0⎩
22
22
二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:
x a x a
2222
x a
222
++
y b
+
2
z c
=1
x y
2p 2q
=z (, p , q 同号)
+-
y b y b
2222
-+
z c z c
2222
=1
=(马鞍面)1
多元函数微分法及应用 全微分:dz =
∂z ∂x dx +
∂z ∂y
dy du =
∂u ∂x dx +
∂u ∂y dy +
∂u ∂z dz
全微分的近似计算:多元复合函数的求导法
∆z ≈dz =f x (x , y ) ∆x +f y (x , y ) ∆y :
dz ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅
dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u =u (x , y ) ,v =v (x , y ) 时,du =
∂u ∂x dx +
∂u ∂y
dy dv =
∂v ∂x dx +
∂v ∂y dy
隐函数的求导公式:
F F F dy d y ∂∂dy
隐函数F (x , y ) =0=-x 2=(-x ) +(-x ) ⋅
dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F x ∂z ∂z
隐函数F (x , y , z ) =0=-=-
∂x F z ∂y F z
2
∂F
⎧F (x , y , u , v ) =0∂(F , G )
隐函数方程组:⎨ J ==∂u
∂G ∂(u , v ) ⎩G (x , y , u , v ) =0
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y
=-=-
1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) ⋅=-⋅J ∂(x , v ) ∂x J ∂(u , x ) 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) ⋅=-⋅J ∂(y , v ) ∂y J ∂(u , y )
∂F ∂v =F u
∂G G u ∂v
F v G v
微分法在几何上的应用:
⎧x =ϕ(t )
x -x 0y -y 0z -z 0⎪
空间曲线⎨y =ψ(t ) 在点M (x 0, y 0, z 0) 处的切线方程:==
ϕ'(t 0) ψ'(t 0) ω'(t 0) ⎪z =ω(t )
⎩在点M 处的法平面方程:若空间曲线方程为:
ϕ'(t 0)(x -x 0) +ψ'(t 0)(y -y 0) +ω'(t 0)(z -z 0) =0
, G z G z F z
F z
, G x G x F x
F x
F y G
y
⎧ F y ⎪F (x , y , z ) =0
, 则切向量T ={⎨
G y G (x , y , z ) =0⎪⎩
曲面F (x , y , z ) =0上一点M (x 0, y 0, z 0) ,则:
1、过此点的法向量:n ={F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程:
:F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0x -x 0
F x (x 0, y 0, z 0)
=
y -y 0
F y (x 0, y 0, z 0)
=
z -z 0
F z (x 0, y 0, z 0)
方向导数与梯度:
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 沿任一方向其中ϕ为x 轴到方向l 的转角。
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 的梯度:grad f (x , y ) =它与方向导数的关系是单位向量。
∂l
多元函数的极值及其求法: ∴∂f
是grad f (x , y ) 在l 上的投影。
∂f ∂f i +j ∂x ∂y
l 的方向导数为:
∂f ∂l =∂f ∂x cos ϕ+
∂f ∂y sin ϕ
∂f
=grad f (x , y ) ⋅e ,其中e =cos ϕ⋅i +sin ϕ⋅j ,为l 方向上的∂l
设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0,令:f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B , f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A 0时,⎨⎪
⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪
⎪2
则:值⎨AC -B
⎪AC -B 2=0时, 不确定⎪⎪⎩
重积分及其应用:
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰⎰
D '
f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪1+ ⎪+ ⎪dxdy
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭
2
2
曲面z =f (x , y ) 的面积A =
⎰⎰
D x
平面薄片的重心:=
M M
⎰⎰x ρ(x , y ) d σ
=
D
⎰⎰ρ(x , y ) d σ
D
, =
M M
y
⎰⎰
=
D D
y ρ(x , y ) d σ
⎰⎰ρ(x , y ) d σ
⎰⎰
D
x ρ(x , y ) d σ
2
平面薄片的转动惯量:平面薄片(位于F x =f
对于x 轴I x =
⎰⎰
D
y ρ(x , y ) d σ, 对于y 轴I y =
2
xoy 平面)对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力:F ={F x , F y , F z },其中:
F y =f 3
⎰⎰
D
ρ(x , y ) xd σ
2
2
2
⎰⎰
D
ρ(x , y ) yd σ
2
2
2
F z =-fa ⎰⎰3
D
ρ(x , y ) xd σ
3
(x +y +a ) 2(x +y +a ) 2(x +y +a ) 2
222
柱面坐标和球面坐标:
⎧x =r cos θ
⎪
柱面坐标:⎨y =r sin θ, ⎰⎰⎰f (x , y , z ) dxdydz =
Ω⎪z =z
⎩其中:F (r , θ, z ) =f (r cos θ, r sin θ, z )
⎧x =r sin ϕcos θ⎪2
球面坐标:⎨y =r sin ϕsin θ, dv =rd ϕ⋅r sin ϕ⋅d θ⋅dr =r sin ϕdrd ϕd θ
⎪z =r cos ϕ⎩
2π
⎰⎰⎰
Ω
F (r , θ, z ) rdrd θdz ,
πr (ϕ, θ)
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) dxdydz =
1M
⎰⎰⎰
Ω
F (r , ϕ, θ) r sin ϕdrd ϕd θ=
1M
2
⎰d θ⎰d ϕ
⎰F (r , ϕ, θ) r sin ϕdr
2
重心:=转动惯量:
⎰⎰⎰
Ω
x ρdv , =
⎰⎰⎰
Ω
y ρdv , =
1M
2
⎰⎰⎰
Ω
z ρdv , 其中M ==
2
2
⎰⎰⎰
Ω
ρdv
I x =
⎰⎰⎰
Ω
(y +z ) ρdv , I y =
22
⎰⎰⎰
Ω
(x +z ) ρdv , I z =
2
⎰⎰⎰
Ω
(x +y ) ρdv
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧
长的曲线积分):
⎧x =ϕ(t )
设f (x , y ) 在L 上连续,L 的参数方程为:⎨, (α≤t ≤β), 则:
⎩y =ψ(t )
β
⎰
L
f (x , y ) ds =
⎰
α
⎧x =t 22
f [ϕ(t ), ψ(t )]'(t ) +ψ'(t ) dt (α
⎩y =ϕ(t )
第二类曲线积分(对坐设L 的参数方程为
标的曲线积分):
⎧x =ϕ(t )
,则:⎨
y =ψ(t ) ⎩
β
⎰P (x , y ) dx
L
+Q (x , y ) dy =
α
⎰{P [ϕ(t ), ψ
L
(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt
两类曲线积分之间的关L 上积分起止点处切向量格林公式:
系:⎰Pdx +Qdy =的方向角。) dxdy =
⎰(P cos α
L
+Q cos β) ds ,其中α和β分别为
⎰⎰(
D
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
Pdx
L
+Qdy 格林公式:
⎰⎰(
D
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
) dxdy =
12
Pdx
L
+Qdy
∂Q ∂P
当P =-y , Q =x -=2时,得到
∂x ∂y ·平面上曲线积分与路径1、G 是一个单连通区域;
无关的条件:
D 的面积:A =
⎰⎰
D
dxdy =
xdy
L
-ydx
2、P (x , y ) ,Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分,·二元函数的全微分求积在
∂Q ∂x
=
∂P ∂y
注意方向相反!:
,且
∂Q ∂x
=
∂P ∂y
(0, 0) ,应
u (x , y ) 的全微分,其中:
时,Pdx +Qdy 才是二元函数
(x , y )
u (x , y ) =
⎰P (x , y ) dx
(x 0, y 0)
+Q (x , y ) dy ,通常设
x 0=y 0=0。
曲面积分:
对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:
⎰⎰
∑∑
f (x , y , z ) ds =
⎰⎰
D xy
f [x , y , z (x , y )]+z x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy
22
⎰⎰P (x , y , z ) dydz
D xy
+Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy ,其中:
号;
⎰⎰R (x , y , z ) dxdy
∑
=±⎰⎰R [x , y , z (x , y )]dxdy ,取曲面的上侧时取正=±⎰⎰P [x (y , z ), y , z ]dydz ,取曲面的前侧时取正
D yz
号;号。
+Q cos β+R cos γ) ds
⎰⎰P (x , y , z ) dydz
∑
⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx
∑
=±⎰⎰Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ,取曲面的右侧时取正
D zx
两类曲面积分之间的关
系:⎰⎰Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =
∑
⎰⎰(P cos α
∑
高斯公式:
⎰⎰⎰
Ω
(
∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
) dv =
Pdydz
∑
+Qdzdx +Rdxdy =
(P cos α
∑
+Q cos β+R cos γ) ds
高斯公式的物理意义——通量与散度:
div ν
∂P ∂Q ∂R
散度:div ν=++, 即:单位体积内所产生的流体质量,若
∂x ∂y ∂z
通量:⎰⎰A ⋅n ds =⎰⎰A n ds =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ,
∑
∑
∑
因此,高斯公式又可写
成:⎰⎰⎰
Ω
div A dv =
A
∑
n
ds
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
⎰⎰
∑
(
∂R ∂y
-
∂Q ∂z
) dydz +(
∂P ∂z
-
∂R ∂x
) dzdx +(dzdx ∂∂y Q
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
) dxdy =cos α∂∂x P
Pdx
Γ
+Qdy +Rdz cos γ∂∂z R
上式左端又可写成:
⎰⎰
∑
dydz ∂∂x P
dxdy ∂∂z R ∂R ∂y
=
=
⎰⎰
∑
cos β∂∂y Q
空间曲线积分与路径无
i ∂∂x P
j ∂∂y Q
关的条件:k ∂∂z R
∂Q
∂P ∂R ∂Q ∂P ==∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
旋度:rot A =
向量场A 沿有向闭曲线
Γ的环流量:Pdx +Qdy +Rdz =
Γ
Γ
A ⋅t ds
常数项级数:
等比数列:1+q +q
2
+ +q
n -1
=
1-q
n
1-q
等差数列:1+2+3+ +n =调和级数:1+
12+13+ +
1n
(n +1) n
2
是发散的
级数审敛法:
1、正项级数的审敛法
——根植审敛法(柯西判
别法):
设:ρ=lim
n
n →∞
⎧ρ
u n ,则⎨ρ>1时,级数发散
⎪ρ=1时,不确定⎩
⎧ρ
,则⎨ρ>1时,级数发散
⎪ρ=1时,不确定⎩
散。
2、比值审敛法:
U n +1U n
设:ρ=lim
n →∞
3、定义法:
s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在,则收敛;否则发
n →∞
交错级数u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法如果交错级数满足
⎧⎪u n ≥u n +1
⎨lim u =0,那么级数收敛且其和⎪⎩n →∞n
——莱布尼兹定理:
s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值r n ≤u n +1。
绝对收敛与条件收敛:
(1) u 1+u 2+ +u n + ,其中u n 为任意实数;(2) u 1+u 2+u 3+ +u n +
如果(2) 收敛,则(1) 肯定收敛,且称为绝对如果(2) 发散,而(1) 收敛,则称调和级数:∑ 级数:∑
1n n
发散,而收敛;
≤1时发散p >1时收敛
收敛级数;
(1) 为条件收敛级数。
n
∑
(-1) n
1
2
p 级数:∑
1n
p
幂级数:
2
3
n
1+x +x +x + +x + x
11-x
对于级数(3) a 0+a 1x +a 2x + +a n x + ,如果它不是仅在原点
x
数轴上都收敛,则必存
在R ,使
2n
收敛,也不是在全
x >R 时发散,其中R 称为收敛半径。x =R 时不定
ρ≠0时,R =
求收敛半径的方法:设
lim
a n +1a n
=ρ,其中a n ,a n +1是(3) 的系数,则
1
ρ
n →∞
ρ=0时,R =+∞ρ=+∞时,R =0
函数展开成幂级数:
函数展开成泰勒级数:余项:R n =
f
(n +1)
f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0)
n +1
f ''(x 0) 2!
(x -x 0) + +
2
f
(n )
(x 0)
n !
(x -x 0) +
n
(ξ)
(n +1)!
, f (x ) 可以展开成泰勒级数的
f ''(0) 2!
2
充要条件是:lim R n =0
n →∞
x 0=0时即为麦克劳林公式:
f (x ) =f (0) +f '(0) x +x + +
f
(n )
(0)
n !
x +
n
一些函数展开成幂级数:
(1+x )
m
=1+mx +x
3
m (m -1)
2!
x
2
+ +
x
m (m -1) (m -n +1)
n !
x
n
+ (-1
sin x =x -
3!
+
x
52n -1
5!
- +(-1)
n -1
(2n -1)!
+ (-∞
欧拉公式:
ix -ix
⎧e +e ⎪cos x =⎪2
=cos x +i sin x 或⎨
ix -ix
⎪sin x =e -e ⎪2⎩
e
ix
三角级数:
∞
f (t ) =A 0+
∑
n =1
A n sin(n ωt +ϕn ) =
a 02
∞
+
∑(a
n =1
n
cos nx +b n sin nx )
其中,a 0=aA 0,a n =A n sin ϕn ,b n =A n cos ϕn ,ωt =x 。
正交性:1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积上的积分=
0。
在[-π, π]
傅立叶级数:
f (x ) =
a 02
∞
+
∑(a
n =1
n
cos nx +b n sin nx ) ,周期
=2π
⎧1⎪a n =
π⎪
其中⎨
1⎪
b n =⎪π⎩1+ 12
2
π
⎰
-π
f (x ) cos nxdx (n =0, 1, 2 )
π
⎰
-π
f (x ) sin nxdx (n =1, 2, 3 )
13+
2
+14
2
15
2
+ =16
2
π
2
8
1+
122
2
++
133
2
+-
144
2
+ =+ =
ππ
2
6
++ =
π
2
24
1-2
π
1
2
1
2
1
2
2
12
正弦级数:
a n =0,b n =
π
2
⎰
f (x ) sin n xdx n =1, 2, 3 f (x ) =
∑b
a 02
n
sin nx 是奇函数
π
余弦级数:
b n =0,a n =
π
⎰
f (x ) cos nxdx n =0, 1, 2 f (x ) =+
∑a
n
cos nx 是偶函数
周期为2l 的周期函数的傅立叶级数:
f (x ) =
a 02
∞
+
∑(a
n =1
n
cos
n πx l
+b n sin
n πx l
) ,周期=2l
l
⎧1n πx
dx (n =0, 1, 2 ) ⎪a n =⎰f (x ) cos
l l ⎪-l
其中⎨
l 1n πx ⎪
b n =⎰f (x ) sin dx (n =1, 2, 3 ) ⎪l l -l ⎩
微分方程的相关概念:
一阶微分方程:
y '=f (x , y ) 或 P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
:一阶微分方程可以化
为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式,解法:
可分离变量的微分方程
⎰g (y ) dy =⎰
y x
f (x ) dx 得:G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。
程可以写成du dx
,u +
du dx
dy dx
=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ,即写成
dx x =
du
y x
的函数,解法:
y x
齐次方程:一阶微分方设u =
,则
dy dx
=u +x
=ϕ(u ) ,∴
ϕ(u ) -u
分离变量,积分后将代替u ,
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
1、一阶线性微分方程:
dy dx
+P (x ) y =Q (x )
-P (x ) dx
y =Ce ⎰
当Q (x ) =0时, 为齐次方程,
P (x ) dx
-P (x ) dx
dx +C ) e ⎰
当Q (x ) ≠0时,为非齐次方程,2、贝努力方程:
dy dx
y =(⎰Q (x ) e ⎰
n
+P (x ) y =Q (x ) y ,(n ≠0, 1)
全微分方程:
如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0,其中:∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的
通解。
∂u
分方程,即:
∂u
=P (x , y ) =Q (x , y ) ∂x ∂y
二阶微分方程: d y dx
22
+P (x )
dy dx
+Q (x ) y =f (x ) f (x ) ≡0时为齐次f (x ) ≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)y ''+p y '+qy =0,其中p , q 为常数;求解步骤:
1、写出特征方程:(∆) r 2、求出(∆) 式的两个根
2
+pr +q =0,其中r ,r 的系数及常数项恰好是r 1, r 2
2
(*)式中y '', y ', y 的系数;
3、根据r 1, r 2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
y ''+p y '+qy =f (x ) ,p , q 为常数f (x ) =e P m (x ) 型,λ为常数;
f (x ) =e [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型
λx λx
求极限的各种方法
1.约去零因子求极限 例1:求极限lim
x -1x -1
4
x →1
【说明】x →1表明x 与1无限接近,但x ≠1,所以x -1这一零因子可以约去。 【解】lim
(x -1)(x +1)(x +1)
x -1
2
x →1
=lim (x +1)(x +1) =6=4
2
x →1
2.分子分母同除求极限 例2:求极限lim 【说明】【解】lim
∞∞
x -x
3
32
x →∞
3x +1
型且分子分母都以多项式给出的极限, 可通过分子分母同除来求。
3
2
x -x
3
x →∞
3x +1
=lim
1-3+
1x 1x
3
x →∞
=
13
【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;
⎧⎪0⎪=⎨∞⎪a n ⎪⎩b n
m >n m
(2) lim
a n x +a n -1x b m x
m
n n -1m -1
+ +a 0+ +b 0
x →∞
+b m -1x
3.分子(母) 有理化求极限
例3:求极限lim (x 2+3-x 2+1)
x →+∞
【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】lim (x +3-
x →+∞
2
x +1) =lim
2
(x +3-
2
x +1)(x +3+x +3+
2
22
x +1)
2
x →+∞
x +1
2
=lim
2
x +3+
2
x →+∞
x +1
+tan x -
x
3
2
=0
例4:求极限lim
+sin x
x →0
+tan x -
x
3
【解】lim
+sin x
x →0
=lim
tan x -sin x
x
3
x →0
+tan x -+sin x
14
=lim
1
+tan x +
+sin x
x →0
lim
tan x -sin x
x
3
x →0
=
12
lim
tan x -sin x
x
3
x →0
=
【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 ...........4.应用两个重要极限求极限
两个重要极限是lim
sin x x
=1和lim (1+
x →∞
1x
x →0
) =lim (1+
n →∞
x
1n
1
) =lim (1+x ) x =e
x →0
n
,第一个重要极限
过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例
⎛x +1⎫5:求极限lim ⎪
x →+∞x -1⎝⎭
x
1X
2
2
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑+
x -11⎤⎡
2
2⎫1⎫⎛2⎫2⎥⎛x +1⎫⎛⎢⎛⎪ 1+【解】lim 1+⎪=lim 1+⎪=lim ⎪x -1⎪x →+∞x →+∞x →+∞⎢ x -1x -1x -1⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥2⎭⎝⎢⎥⎣⎦
x
x
,最后凑指数部分。
=e
1⎫⎛⎛x +2a ⎫
例6:(1)lim 1-2⎪;(2)已知lim ⎪=8,求a 。
x →+∞x →+∞x ⎭⎝⎝x -a ⎭
x x
5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有:
x
当x →0 时, x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln(1+x ) ~e -1,
1-cos x ~
12
x , (1+ax )-1~abx ;
2
b
(2) 等价无穷小量代换, 只能代换极限式中的因式; ..(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 .....例7:求极限lim
【解】 lim
x ln(1+x ) 1-cos x
x →0
=
x ln(1+x ) 1-cos x
x →0
=lim
x ⋅x 12x
2
x →0
=2.
例8:求极限lim
sin x -x tan
3
x →0
x
sin x -x tan
3
【解】lim
x →0
x
=lim
x →0
sin x -x x
3
=lim
cos x -13x
2
x →0
==lim
x →0
-
12
x
2
2
3x
=-
16
6.用罗必塔法则求极限 例9:求极限lim
∞∞
00
ln cos 2x -ln(1+sin
x
2
2
x )
x →0
【说明】或型的极限, 可通过罗必塔法则来求。
-2sin 2x
2
【解】lim
ln cos 2x -ln(1+sin
x
2
x )
x →0
=lim
cos 2x
-2x
sin 2x 1+sin
2
x
x →0
=lim
x →0
sin 2x ⎛-21
-
2x ⎝cos 2x 1+sin
2
⎫
⎪=-3 x ⎭
【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解 例10:设函数f(x)连续,且f (0) ≠0,求极限lim
⎰
x
(x -t ) f (t ) dt
x 0
.
x →0
x ⎰f (x -t ) dt
【解】 由于⎰f (x -t ) dt =
x
x -t =u
⎰
x
f (u )(-du ) =
x
⎰
x
x
f (u ) du , 于是
lim
⎰
x
(x -t ) f (t ) dt
x
x →0
=lim
x ⎰f (t ) dt -
x 0
⎰
tf (t ) dt
x ⎰f (x -t ) dt
x →0
x ⎰f (u ) du
=lim
⎰
x
f (t ) dt +xf (x ) -xf (x )
x →0
⎰
x
=lim
f (u ) du +xf (x )
x
⎰⎰
x 0
x
f (t ) dt
x →0
f (u ) du +xf (x )
⎰
=lim
x →0
f (t ) dt
x x
+f (x )
⎰
x
=
f (0) f (0) +f (0)
=
12
.
f (u ) du
7.用对数恒等式求lim f (x ) g (x ) 极限
2
例11:极限lim [1+ln(1+x )]x
x →0
2
2
ln[1+ln(1+x )]
lim
x →0
2ln[1+ln(1+x )]
x
【解】 lim [1+ln(1+x )]x =lim e x
x →0
x →0
=e
=e x →0
lim
2ln(1+x )
x
=e .
2
【注】对于1∞型未定式lim f (x ) g (x ) 的极限,也可用公式
lim f (x )
g (x )
(1) =e
∞
lim(f (x ) -1) g (x )
因为
lim f (x )
g (x )
=e
lim g (x ) ln(f (x ))
=e
lim g (x ) ln(1+f (x ) -1)
=e
lim(f (x ) -1) g (x )
例
x
⎤1⎡⎛2+cos x ⎫
12:求极限lim 3⎢ -1⎥. ⎪x →0x 3⎭⎢⎥⎣⎝⎦
【解1】 原式=lim
e
⎛2+cos x ⎫
x ln ⎪
3⎝⎭
x →0
x
3
⎛2+cos x ⎫
ln ⎪
-13⎝⎭
=lim 2
x →0x
⋅-s i n x )l n 3 =l i 2
x →0x →0x 2x 11s i x n 1
⋅=- =-l i 2x →02+c o x s x 6
l (n 2+
=l i c o x )s -
⎛2+cos x ⎫
x ln ⎪
3⎝⎭
1
【解2】 原式=lim
e
x →0
x
3
⎛2+cos x ⎫
ln ⎪
-13⎝⎭
=lim 2
x →0x
ln (1+
=lim
x →0
c o s x -1
)
c o s x -11=l i =- 22x →03x 6x
8.利用Taylor 公式求极限
a +a
x
x
-x 2
例13 求极限 lim
-2
x →0
, ( a >0 ) .
【解】 a =e
x x ln a
=1+x ln a +
x
2
2
ln
2
a + ( x ) ,
2
a
-x
=1-x ln a +
x
2
2
ln a + ( x ) ;
22
a x +a -x -2=x 2ln 2a + ( x 2).
a +a
x
x
-x 2
∴ lim
-2
x →0
=lim
x ln a + ( x )
x
2
222
x →0
2
=ln a .
例14 求极限lim x →0
【解】 lim x →0
11
(-cot x ) . x x
111sin x -x cos x (-cot x ) =lim
x →0x x x x sin x
x -=lim
x →0
x
3
3!
+ο(x ) -x [1-
x
3
3
x
2
2!
+ο(x )]
2
=lim x →0
(
1
-
1) x +ο(x ) x
3
33
=
13.
9.数列极限转化成函数极限求解 例15:极限lim n sin
n →∞
⎛⎝1⎫⎪n ⎭
n
2
【说明】这是1∞形式的的数列极限,由于数列极限不能使用罗必塔法则,若直接求有一定难度,若转化成函数极限,可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
1⎫⎛
【解】考虑辅助极限lim x sin ⎪
x →+∞x ⎭⎝
x
2
=lim e
x →+∞
1⎫2⎛
x x sin -1⎪
x ⎝⎭
=lim +e
y →0
⎫1⎛1
sin y -1⎪
⎪2
y ⎝y ⎭
=e
-
16
1⎫⎛
所以,lim n sin ⎪
n →∞n ⎭⎝
n
2
=e
-
16
10.n 项和数列极限问题
n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限. 例16:极限lim
n →∞
⎛⎝
1n +1
2
2
+
1n +2
2
2
+ +
1n +n
2
2
⎫⎪ ⎪⎭
【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算, 是把f (x ) 看成[0,1]定积分。
lim
1⎛⎛1⎫⎛2⎫⎛n ⎫⎫ f +f + +f ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=n ⎝⎝n ⎭⎝n ⎭⎝n ⎭⎭
n →∞
⎰
10
f (x ) dx
⎛ 1
【解】原式=lim
n →∞n
⎝
10
1⎛1⎫1+ ⎪
⎝n ⎭
2
+
1⎛2⎫1+ ⎪
⎝n ⎭
2
+ +
1⎛+
⎝
⎫⎪⎪⎪ 2n ⎫⎪⎪⎪n ⎭⎭
=
⎰
1+x
1
2
=-
12
ln
2-12+1
例17:极限lim
⎛n →∞
⎝
n +1
2
+
1n +2
2
+ +
⎫⎪ ⎪2
n +n ⎭1
1⎛⎛1⎫⎛2⎫⎛n ⎫⎫ f +f + +f ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪的形式,因而n ⎝⎝n ⎭n n ⎝⎭⎝⎭⎭
【说明】(1)该题遇上一题类似,但是不能凑成lim
用两边夹法则求解;
n →∞
(2) 两边夹法则需要放大不等式,常用的方法是都换成最大的或最小的。
⎛
【解】lim
n →∞
⎝
1n +1
2
+
1n +2
2
+ +
⎫⎪ ⎪2
n +n ⎭1
因为
n n +n
2
≤
1n +1
2
+
1n +2n n +1
22
+ +
1n +n
2
≤
n n +1
2
又 lim
n n +n
1n +1
2
n →∞2
=lim
n →∞
=1
所以 lim
⎛n →∞
⎝
+
1n +2
2
+ +
⎫
⎪=1 ⎪2
n +n ⎭1
12.单调有界数列的极限问题
例18:设数列{x n }满足0
(Ⅰ)证明lim x n 存在,并求该极限;
n →∞
1
⎛x n +1⎫x n
(Ⅱ)计算lim ⎪. n →∞x ⎝n ⎭
2
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.
【详解】 (Ⅰ)因为0
x n +1x n
sin x n
x n
于是
=
(因当x >0时,, 则有x n +1
单调减少有下界数列必有极限知极限lim x n 存在.
n →∞
设lim x n =l ,在x n +1=sin x n 两边令n →∞,得 l =sin l ,解得l =0,即lim x n =0.
n →∞
n →∞
11
⎛x n +1⎫
(Ⅱ) 因 lim ⎪n →∞
⎝x n ⎭
1
2x n
⎛sin x n ⎫x n
=lim ,由(Ⅰ)知该极限为1∞型, ⎪n →∞
⎝x n ⎭
1⎛1⎫ sin x -1⎪2
x ⎝x ⎭
sin x -x
2
2
⎛1⎫
lim + sin x ⎪x →0
⎝x ⎭
1
x
2
=lim +e
x →0
=lim +e
x →01
x
3
=e
-
16
(使用了罗必塔法则)
1
-⎛sin x n ⎫x n
=lim =e 6. ⎪n →∞
⎝x n ⎭
2
⎛x ⎫
故 lim n +1⎪
n →∞
⎝x n ⎭
2x n
求不定积分的方法及技巧小汇总~
1. 利用基本公式。(这就不多说了~) 2. 第一类换元法。(凑微分)
设f(μ) 具有原函数F(μ) 。则
⎰
f [ϕ(x )]⋅ϕ' (x ) dx =
⎰
f [ϕ(x )]d ϕ(x ) =F [ϕ(x )]+C
其中ϕ(x ) 可微。
用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2: 例1:⎰
ln(x +1) -ln x
x (x +1)
dx
【解】(ln(x +1) -ln x )' =
ln(x +1) -ln x
x (x +1) dx
1x +1
-
1x
=-
1x (x +1)
12
⎰dx =-⎰(ln(x +1) -ln x ) d (ln(x +1) -ln x ) =-
(ln(x +1) -ln x ) +C
2
例2:
⎰(x ln x )
1+ln x
2
【解】(x ln x )' =1+ln x
⎰x (x +1)
1+ln x
2
dx =
⎰(x ln
dx ln x
x )
2
=-
1x ln x
+C
3. 第二类换元法:
设x =ϕ(t ) 是单调、可导的函数,并且ϕ' (t ) ≠0. 又设f [ϕ(t )]ϕ' (t ) 具有原函数,则有换元公式
⎰f (x) dx =⎰f [ϕ(t )]ϕ' (t ) dt
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种:
(1) a -x :x =a sin t ;x =a cos t
(2) x +a :x =a tan t ;x =a cot t ;x =asht (3) x -a :x =a sec t ;x =a csc t ;x =acht
2
2
2
2
2
2
n
(4) n ax +b ax +b =t
(5) n
ax +b cx +d
n ax +b cx +d
=t x ⋅
m
ax +bx +c ,有时倒代换
2
(6) 当被积函数含有x =
1t
也奏效。
4. 分部积分法.
公式:⎰μd ν=μν-⎰μd ν
分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成不定积分。具体选取μ、ν时,通常基于以下两点考虑: (1)降低多项式部分的系数 (2)简化被积函数的类型 举两个例子吧~! 例3:⎰
x ⋅arccos x
-x
2
3
dx
【解】观察被积函数,选取变换t =arccos x , 则
⎰
x arccos x -x
2
3
dx =
⎰
cos t sin t
2
3
t (-sin t ) dt =
⎰-t cos
3
tdt =
⎰t (sint -1) d sin t =
11313-
13td (sin t -sin t ) =⎰3
133
t sin -t sin t -⎰(sin t -sin t ) dt =33t sin -t sin t +t sin -t sin t -19x -
333
12
(⎰3sin t -1) d cos t =23cos t -
2
19
cos t +C =
2
3
23
x -
13
(x +2) -x arccos x +C
例4:⎰arcsin 2xdx 【解】
⎰arcsin
2
xdx =x sin
2
x -
⎰
x 2arcsin x
1-x
2
dx
x arcsin x +
⎰2arcsin xd
2
-x
2
=-x
2
x arcsin x +2-x arcsin x -
2
⎰
2-x
2
dx =
x arcsin x +2-x arcsin x -2x +C
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上面的例3,降低了多项式系数;例4,简化了被积函数的类型。
有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。 在⎰μd ν=μν-⎰μd ν中,μ、ν的选取有下面简单的规律:
(1) μ=P m (x ) ,ν=e , sin ax , cos ax (2) μ=ln x , arctan x , arcsin x ,ν=P m (x ) (3) μ=e ,ν=cos βx , sin βx (3) 会出现循环,注意
ax
ax
μ,ν选取的函数不能改变。
将以上规律化成一个图就是:
但是,当μ=ln x ,ν=arcsin x 时,是无法求解的。 对于(3)情况,有两个通用公式:
I 1=I 2=
⎰e ⎰e
ax
sin bx ⋅dx =cos bx ⋅dx =
e
2
ax
2
a +b e
2ax
(a sin bx -b cos bx ) +C (a cos bx +b sin bx ) +C
ax
a +b
2
(分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx 的不定积分》中,常可以看到分部积分)
5. 几种特殊类型函数的积分。
(1)有理函数的积分
有理函数
P (x ) Q (x )
先化为多项式和真分式
P *(x ) Q (x )
之和,再把
P *(x ) Q (x ) dx
2
分解为若干个部分分式之
和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现I n =
x
2a (n -1)(x +a )
6
4
2
2
2
n -1
⎰(a
+x )
2n
时,记得用递推公式:
I n =
+
2n -32a (n -1)
2
I n -1)
例5:⎰【解】
x +x -4x -2x (x +1)
6
4
2
3
2
2
2
x +x -4x -2x (x +1)
3
2
2
=
x +x
3
2
642
x (x +1)
-
4x +2x (x +1)
3
2
2
2
=
x x +1
2
-
4x +2x (x +1)
3
2
2
2
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x
2
⎰x ⎰x
+1
22
dx =
12
ln(x +1) +C
2
4x +2
3
(x +1)
2
dx =
⎰x ⎰μ⎰(
4x +2
4
2
(x +1)
22
xdx =
⎰x
2x +1
4
2
2
(x +1)
2
2
dx μ=x
22
2μ+1
2
(μ+1)
2
2
μ=
⎰
(μ+1) -μ
2
μ(μ+1)
1
22
d μ=+C =-
1x (x +1)
2
2
1
μ
-
1(μ+1)
) d μ=2
μ+1
-
1
+C
μ
故不定积分求得。
(2)三角函数有理式的积分
x ⎧
2tan
⎪⎪sin x =
2x ⎪1+tan
⎪2万能公式:⎨
2x ⎪1-tan ⎪cos x =
⎪2x
1+tan ⎪2⎩
⎰Q (sin
P (sinx , cos x )
x , cos x )
可用变换t =tan
x 2
化为有理函数
的积分,但由于计算较烦,应尽量避免。
sin x cos x
cos x sin x
对于只含有tanx (或cotx )的分式,必化成
A (a cos x +b sin x ) +B (a cos' x +b sin' x )
a cos x +b sin x
或
。再用待定系数
来做。(注:没举例题并不代表不重要~)
(3)简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
像一些简单的,应灵活运用。如:同时出现x 和+x 时,可令x =tan 2t ;同时出现
x 和-x
2
时,可令x =s in 2t ;同时出现-x 2和arcsin x 时,可令x=sint;同时出现
1-x 和arccos x 时,可令x=cost等等。
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