二面角的平面角求法探究

一劂解题方法与技巧…………………………………………………………………………

中学教学参考

二。面。角的平面角求法探究

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‘广西南宁市第二中学（５３００２２）

梁寿奖

高中立体几何巾二面角的平面角的求解是立体几何教学中的霞点和难点，也是历年高考的热点、重点和难点，所以对其解法作一个探究，无论是对一名普通的中学数学教师，还是一名高中学生来说，都是很有必要的．对它进行一次探究将为我们解决此类问题指明方向，提供方法和思路，使得我们能在最短的时间内快速、准确地解决此类问题．本人经过多年的教学探究发现，它的解法归纳起来有五种．为了突出这五种解法的思想方法、思路和要点，本文将以最简单的例题为载体进行分析和探究．

一、定义法

即用定义求解．“棱上一点”往往考虑两端，中点或

比例点．

【例ｌ】

在边长为Ⅱ的正三角形ＡＢＣ中，ＡＤ上ＢＣ，

沿ＡＤ将△ＡＢＤ折起，若ＡＤ折起后，点Ｂ、Ｃ间的距离

为吉口，求二面角Ｂ—ＡＤ～ｃ的大小．

Ｂ

△一么

Ｄ

Ｃ

Ｄ

Ｃ

图１

、

解析：棱七一点，考虑端点Ｄ，由折前折后的关系，

我们知道么ＢＤＡ一号，么ｃＤＡ２号，．．・么ＢＤｃ为所求的

二面角的平面角．

在△ＢＤｃ中，依题意有ＢＤ一号，Ｄｃ＝号，Ｂｃ一号，

．．．△ＢＤｃ为正三角形，．‘．么ＢＤＣ＝詈，所以二面角Ｂ—

ｏ

ＡＤ—Ｃ的大小为詈．

ｏ

二、三垂线定理法

１．当有垂线时：过二面角一个半平面内的一点Ｐ，找到或作出另一个半面的垂线，记垂足为Ｈ。，再过Ｈ，（或Ｐ）作棱Ｚ的垂线，记垂足为Ｈ：，连ＰＨ。（或Ｈ，Ｈ２），由三垂线定理（或逆定理），可知么ＰＨ：Ｈ．即为二面角的平面角．（如图２）

名名

图２

图３

２．当有垂面时：过二面角一个半平面内的一点Ｐ，

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Ｉｉ卜学教学参考‘上旬’２０１

万方数据

ｏ。５总第４９期

找到或作出另一个半平面的垂面，记该垂面与第二个半平面的交线为跏，过Ｐ在该垂面中作交线研的垂线，设垂足为Ｈ。，由面面垂直的性质定理知，ＰＨ，垂直于第二半平面，再过Ｈ，（或Ｐ）作棱的垂线，记垂足为Ｈｚ，连ＰＨ。（或Ｈ。Ｈ：），由毛垂线定理（或逆定理），可知么ＰＨ：Ｈ。即为二面角的平面角．（如图３）

【例２】如图４，正方形面互相垂直，ＡＢ＝√２，ＡＦ＝１．求二面角Ａ—ＤＦ—Ｂ的大小．

Ｄ

Ａ

解析：由已知可知，ＦＡ上图４

面ＡＢＣＤ，．’．ＦＡ上ＡＢ，又ＡＢ上ＡＤ，．‘．ＢＡ上面ＡＦＤ，可

用三垂线定理法求解．

过Ａ作ＡＨ垂直ＤＦ于Ｈ，连结ＨＢ，由三垂线定理知ＢＨｊ＿ＤＦ．

．‘．么ＡＨＢ为二面角Ａ—ＤＦ—Ｂ的平面角．

掣一墨．又ＡＢ：厄，

在Ｒｔ△ＡＦＤ中，由面积法为：ＡＨ＝掣＝

√３

√３

・‘．ｔａ眨ＢＨＡ＝筹一篑＝厄．

√ｉ

．‘．么ＢＨＡ＝６０。，即二面角Ａ—ＤＦ—Ｂ的大小为

６０。．

【例３】如图５，ＰＡ上平面

＝厄求二面角Ａ—ＰＢ—Ｃ的大

解析：由已知ＰＡ上平面

ＡＢＣＤ和矩形ＡＣＥＦ所在平ＡＢＣ，ＡＣ上ＢＣ，ＰＡ＝ＡＣ＝１，ＢＣ

，Ｊ、．

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ＺＨｏＮＧＸＵＥＪＩＡｏ）ｃＩＪＥＣＡＮＫＡｏ

在Ｒｔ△４Ｂｃ中，由面积法有：ｃＨ＝警一

＾丽矗？

！丕焦一垣．

在Ｒｔ△ＰＢｃ中，由面积法有：ＣＤ＝￡；著堡＝

遁圣垣：羔：，ｎ

‘‘

√１＋（捂）２

，————————————一ｚ

焦

在Ｒｔ△ｃＨＤ中商ｎ么ＣＤＨ一髫一年一譬，

．．．么ｃＤＨ＝ａｒｃｓｉｎ等．

．．．二面角Ａ—ＰＢ—ｃ的大小为ａｒｃｓｉｎ竿．

三、垂面法

如果一个平面过二面角棱上一点且与公共棱相互垂直，则该垂面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．

图６

【例４】如图７所示，已知四边形ＰＡＢＣ为空间四边形，么ＰＣＡ＝９０。，△ＡＢＣ是边长为２√３的正三角形，ＰＣ＝２，Ｄ、Ｅ分别是ＰＡ、ＡＣ的中点，ＢＤ＝￣／ｌｏ，试判断直线ＡＣ与ＢＤＥ平面的位置关系，并求出二面角Ｐ—ＡＣ—Ｂ的大小。

解析：易证直线ＡＣ上平面ＢＤＥ，所以面ＢＤＥ与二面角Ｐ—ＡＣ—Ｂ的交线ＢＥ与ＤＥ所成角即为二面角Ｐ—ＡＣ—Ｂ的平面角．

在△Ｄ髓中，舾＝１，ＢＥ

＝３，ＢＰ＝￣／ｌＯ，

．．．ＢＤ２＝ＢＥ２＋蹭，

，

．．．么ＤＥＢ＝要，

．

●

即二面角Ｐ—ＡＣ—Ｂ的大

小为罢．

四、面积投影法

所求二面角的平面角口：ｃｏ妇ｏ

如图８，设△ＰＡＢ在平面口内的投影为△ＡＢＱ，则ＰＱＪ－ａ，过Ｑ作ＱＨ上ＡＢ于Ｈ，连ＰＨ，由三垂线定理可知，

口

么ＰＨＱ为二面角Ｐ—ＡＢ—Ｑ

矽匆

ａ

图８

的平面角．．’．导邋＝

万方数据

罂一器…，且

丢ＡＢ・ＰＨ

ＰＨ…驯¨

Ｄ

解析：由已知，易证ＤＡ上面

曰

ｃ

ＰＡＢ，ＣＢ上面ＰＡＢ，．．．△ＰｃＤ在平图９

面ＰＢＡ的射影为△ＰＢＡ．

设平面ＰＡＢ与平面Ｐ（Ｄ所成的角为口。

肌一舞。嚣书一４５。・

即平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成的二面角的大小为

４５。．

五、向量求解法

（１）Ａ、Ｂ是二面角口一Ｚ—ｐ棱上的两点，ＡＣｃ口，ＡＣ

上ｚ，ＢＤｃｐ，ＢＤ上ｚ，则向量砣与向量面的夹角，即为二

面角口一Ｚ—ｐ的平面角；（如图１０）

妨岱

图１０

图１１

（２）设ｎ。、嘞分别是二面角口一Ｚ一卢的面口、卢的法向量，则向量ｎ。与疗：的夹角，即为二面角吐一ｚ—ｐ的平面角或其补角（需要根据具体情况判断相等或互补）．（如

图１１）

【例６】（例３的向量解法①）如图１２，ＰＡ上平面

ＡＢＣ，ＡＣＪ－ＢＣ，尸Ａ—ＰＣ＝ｌ，ＢＣ＝√２，求二面角Ａ—ＰＢ—Ｃ的大小．

解析：在△ＰＡＢ中过Ａ作ＡＥ上ＰＢ，垂足为Ｅ，在

△ＰＢＣ中，过Ｃ作于ＣＤ上ＰＢ于Ｄ，则向量蕊与向量

Ｄ考的夹角即为二面角Ａ—ＰＢ—Ｃ的平面角的大小．

【例７】（例３的向量解法

②）如图１２，ＰＡ上平面ＡＢＣ，

ＡＣ上ＢＣ，融一ＰＣ＝１，ＢＣ＝

小．

戈

分析：以Ａ为坐标原点，建

图１３

立空间直角坐标系Ａ—ｚｙ２，分别把平面ＰＡＢ和平面ＰＢＣ法向鼍ｎ，和咒。求出来，再求（露１，肛。＞的大小，最后求二面角Ａ—ＰＢ—Ｃ的大小．

（责任编辑金铃）

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√２，求二面角Ａ—ＰＢ—Ｃ的大

二面角的平面角求法探究

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梁寿奖

广西南宁市第二中学,530022

中学教学参考

REFERENCE FOR MIDDLE SCHOOL EDUCATION2010(13)

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