几何概率的计算方法

几何概率的计算方法

——高中数学必修3第三章3.3几何概型教学探讨

汝阳县第一高中——孟臣杰 从某中意义上说，几何概率是古典概率的补充和推广，在现代概率的发展中，曾经起过积极的作用。深入考察几何概率问题，对进一步理解概率的基本性质，具有十分重要的意义。 本文主要讨论几何概率的计算方法，探索解题思路，总结解题技巧。

解答几何概率问题，一般包含相互联系的四个步骤： 1. 判明问题的性质

判明问题的性质是解题的第一步，就是先弄清所解的问题，是不是几何概率问题。如果问题所及的试验，具有以下两个特征：（1）. 试验的样本空间包含无穷多个元素，每个样本点由几何空间（一维、二维、三维，甚至n 维）中的某一区域G 内的点的随机位置来确定；（2）各个样本点的发生是等可能的，也就是区域G 内的点的任何位置是等可能的，那么，我们就可以判断它是一个几何概率问题。

2. 明确参数的含义

任何一个几何概率问题，它的样本点都可以归结为具有某种等可能的几何元素。为了叙述方便，通常把相应的几何元素叫做等可能值的参数，弄清具有某种等可能性的随机点是什么。也就是要正确理解“等可能”、“随机”、“均匀分布”等词在题中的实际意义，正确揭示他们的本质，以使问题的解答有一个可靠的基础。

3. 确定区域的测度

明确了等可能值的参数以后，我们就可以根据题设条件，借助于适当的几何模型，把事件A 所处的样本空间和有利场合，分别与几何空间中的区域G 和G A 对应起来。从而，利用初等几何或微积分知识，确定G 和G A 测度，即计算他们的长度、面积或体积等。

4. 明确事件的概率

确定了区域G 和G A 的测度后，就可以直接利用公式推求事件A 的概率。几何概率的计算公式和古典概率相仿，结构比较简单，如果用L(G)和L(GA ) 分别表示区域G 和G A 的测度，那么事件A 的概率是

P (A )

L (G A )

L (G )

上述四个步骤是一个完整的统一体。容易看出，明确等可能值的参数，是解题的基础，确定区域的测度，是解题的关键。几何概率计算中的种种技能和技巧，大多是围绕确定L(G)和L(GA) 而展开的。

一、 简单几何概率的解法

几何概率的问题，大体上可以分两类，一类是样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域已直接给出，另一类是样本空间所在的几何区域，题中没有直接指明，需要对问题做深入分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域。前者结构简单，易于求解；后者结构复杂，解答富有技巧性。

本节重点讨论简单几何概率的解法。解答这类问题，通常可以从明确等可能值参数的含义入手，先找出相应的区域G 和G A , 确定他们的测度，再代入几何概率公式计算求解。 例1. 在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位

置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。

思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对应的区域G A ，是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。

M

N

图1-1

M N

图1-2

[解法1].设EF

与E 1F 1

是长度等于R 的两条弦，直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2) 。依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN ，有L(G)=MN=2R，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有

L (G K ) =KK 1=2OK =

=

以几何概率公式得P =

L (G A ) ==

L (G ) [解法2]. 如图1-1所示，设园

O 的半径为R, EF为诸平行弦中的任意一条，直径MN ⊥弦EF ，

它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。设OK=x，则

x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R 设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是

≥R , 解不等式，得 x ≤

R

= R 所以 L (G A ) =

=

于是 P (A ) =

[评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的

区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。

[例2].平面上画有一组平行线，其间隔交替为1.5cm 和10cm ，任意地往平面上投一半径为2cm 的圆，求此圆不与平行线相交的概率。

[思考方法] 本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此，需发掘“任意的往平面上投一直径为2cm 的圆”之真实含义，找出具有某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位置决定于圆心，可以取圆心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行线的间隔交替的为1.5cm 和10cm ，则研究相邻三条平行线之间情况就可以反映问题的全貌。经上面的分析，我们可以取圆心为随机点，它等可能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上（如

图1-3）由此原题不难解出。

[解] 设L 1、L 2、L 3是三条相邻的平行线，EPF 是它们之间的垂线（图1-3），则样本空间所对的区域是线段EF, 有

L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)

注意到L 1与L 2相邻1.5cm ，所以圆心如果落在线段EP 上，那么圆与平行线必定相交。设半径为2cm 的⊙O 、⊙O 1分别切L 2、L 3于P 、F ，则事件的有利场合所对应的区域应是线段OO 1有

L(GA )=OO1=PF-OP-O1F=10-2-2=6cm。

∴p=

6

≈0.5127

11.5

l

A

评注 从本题可以看出，如果题中没有直接指明等可能值参数，则解题的关键，在于斟酌题设条件，发掘等可能值参数的含义，找出随机点的分布情况。

不难发现，上面两个例子中的空间和有利场合，他们所对应的区域都是一维的。我们可以把解题思路推广到二维空间或三维空间的场合，可以解答下列各题

（1） 平面上有两组互相垂直的平行线把平面划分为边长为a 的正方形。向平面任意投一

图1-3

图1-4

(a -2r )半径为r （r

a

2

2

）

（2） 用半径为r 的圆柱形枝条编成矩形网格，枝条间距相应的为a 、b 。用直径为d 的球

不进行瞄准的投掷一次（a 、b>d+2a）。如果球的飞行轨道于网格平面垂直，求命中

枝条的概率。(答案：1- 1-

⎛

⎝2r +d ⎫⎛2r +d ⎫

⎪1-⎪) a ⎭⎝b ⎭

n -1

的概率为n

例3在三角形ABC 中任取一点P ，证明：△ABP 与△ABC 的面积之比大于

1。 n 2

思考方法 本题的随机点是 ABP 的顶点P ，它等可能的分布在 ABC 中，因此，与样本空间对应的平面区域是 ABC ，注意到 ABP 于 ABC 有公共边AB ，所以的面积决定于顶点P 离底边AB 的距离。这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。 解 设 ABP 与 ABC 的面积之比为公共底边AB 的长为c ，（图1-4）则

n -1

， ABC 的高CD 为h ， ABP 的高PG 为h1，n

S ABP S ABC

1ch 1

n -1h n -1

h h 1===1=

n n ch h 2

过点P 作EF//AB,交CD 于H, 则有立场合所对应的平面区域为 CEF . 于是所求概率为

P =

S EFC

S ABC

n -11

h=h n n

注意到EF//AB， EFC ABC , 且 CH=h -h1 = h-2

∴p =

s EFC

S ABC

⎛h ⎫ ⎪1n

=⎝2⎭=2 由此，原题得证。

h n

评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应，但因三角形ABC 于三角形ABP 有公共底边

AB ，所以，实际变化着的量只有一个(即点P 于AB 的距离) ，问题还比较简单，对于较复杂的平面区域，常常要根据题设选定两个变量，由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。

例4 在半径为l

于多少？

思考方法 题中没有明确指明等可能值的含义，对“随机地取一条弦”可以有多种理解。如果把它理解为弦与垂直于它的直径之交点的位置是等可能的，有解法一，如果把它理解为弦与某一给定方向之间的夹角是等可能的，有解法二，如果把它理解为在圆内的中点位置是等可能的，有解法三。

图1-5

图1-7

图1-6

解法一 因为弦长只跟它与圆心的距离有关，而与它的方向无关，因此可以假定它垂直于 某一直径。当且仅当它与圆心的距离小于0.5

1-5）故所求概率为

11

+

1

p ==。

22

解法二 在圆周上任取一点A ，作圆的切线AT ，则过A 的圆的任意弦AB 与AT 的交角θ决定弦的位置，θ可从0变到πθ在

π2π

与之间取值（图1-6），于

33

2ππ

-=1。 是，所求概率为 p =π3

解法三 因为弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为0.5的同心圆时，其长才大

⎛1⎫π

1-7）。由于此小圆面积为π ⎪= 故所求概率为

4⎝2⎭

2

π

1

p ==

π4

本题是一个著名问题，在概率论中被称为贝特朗奇论。那么，为什么同一个几何概率题会有几种不同的答案呢？细酌三种解法，不难发现，问题出在对等可能值参数没有做出确切的规定，“随机地取一弦”一语，没有明确指出随机性的潜在本质，可以有各种理解，反映了不同的随机事件。解法一求的是“随机点M 位于线段GH 上”的概率；解法二求的是“随机点B 落于圆弧EF 上”的概率；解法三求的是“随机点落在半径为0.5的同心圆内的概率。因此，从这意义上讲，相对于每种解释，其计算结果都是正确的。

由此表明，我们在制作概率题时，必须对“等可能”、“随机”、“均匀分布”等术语的含义做出明确的规定，否则会引起“奇论”；解答几何概率题，必须结合题意，明确题中等可能值参数的真实含义，不然会导致错误的答案。

练习 1. 在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM|

2. 在等腰Rt △ABC 中，C=900，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM ≤30的概率（答

二、复杂几何概率题的解法

比较复杂的几何概率题，大多是样本空间和有利场合缺乏明显的几何意义，它们所对应的区域一时难以确定，因此，解题的关键在于找出相应的区域G 和G A 。

为了顺利的探求G 和G A ，一般可以从代数方法入手，引进适当的变量，利用数形结合，逐步转化到相应的集合区域，具体办法是: 1. 根据题设条件，选取适当的变量；

2. 利用所引进的变量，把样本空间和有立场合的有关属性，转化成相应的代数条件。 3. 按照所得到的代数条件，确定几何空间中的相应区域。

由此所得的几何区域，就是样本空间所对应的区域G 和G A ，一般地，只有一个变量的问题，对应于直线上的有关区域，解题时可用长度；仅两个变量的问题，对应于平面上的有关区域，解题时可用面积；含有三个变量的问题，对应于三维空间的有关区域。解题时可用体积。 例一、 设k 等可能地在区间[0,5]中取值，试求方程4x +4kx +k +2=0有实根的概率。 思考方法 本题的样本空间非常明显，即一维空间上的区域[0，5]，而有立场合的约束条件，隐藏在所给方程之中，注意到方程有实根的充要条件是判别式不小于零，则不难得到有立场合所对应的区域。

解 依题设，k 等可能地在区间[0,5]中取值，所以样本空间对应的区域G 就是区间[0,5]，有 L(G)=5-0=5

又因为方程有实根的充要条件是判别式不小于零，所以 =(4k )-4∙4(k +2)≥0

2

2

∴k ≥2或≤-1 有k 只能在[0,5]上取值 ∴2≤k ≤5 于是

L(GA )=5-2=3

∴P =

3 5

评注 本题已经直接给出变量k ，无需另外引入。有利场合所对应的区间，隐于题设条件之

中，需要联系方程的根的性质，才能逐步发掘。这就告诉我们，解答复杂几何概率问题，必须联合运用有关数学知识。

例2. 在圆周上任取三点A 、B 、C ，求三角形ABC 为锐角三角形的概率 思考方法 根据圆周角和所对弧的关系，在圆周上任取三点，所得的三角形是否为锐角三角形，取决于这三点把圆周分成的三段弧是否都小于π，或其弧长都小于πR 。注意到所得的三段弧中，如果两段确定，则第三段随之确定，因此，可选其中两段作变量，建立它们各自的约束条件，由此确定事件所处的样本空间与有立场合所对应的区间。

2ππ

图2-1

x

图2-2

解 设事件A 为“三角形ABC 为锐角三角形”，令圆o 的半径为R ， AB =x， AC =y（图2-1）则所有可能构成三角形的可能情况是

x>0⎧⎧x

⎪⎪

(1) 而有立场合的肯情况是⎨y 0

⎪x +y πR ⎩⎩

把条件（1）（、2）所反映的区域，在平面直角坐标系中表示出来，（1）对应的区域G （ OEF ）,(2)对应的区域G A ( LMN ). 显然，有L(G)=S OGF =2π2R 2 L(GA)=S LMN =

122

πR 于是 2

122

πR 1= p (A ) =

2π2R 24

评注 例2表明，在引进变量时，必须斟酌题设情况，选取独立变量。本题如果把三段弧去做三个变量，则解题过程或是变得更加复杂或是难以求解。

解题时选取的变量，一般不是唯一的，如例2也可以把顶点作为变量。设A=x，B=y则样本

π⎧x 0⎪

π⎪⎪

空间所对应的区域为⎨y >0 有利场合所对应的区域为⎨y

2⎪⎪x +y

⎩π⎪

x +y >⎪2⎩

练习 1. 把一根棒任意折成三段，求三小段能构成三角形的概率。（答案：1/4）

2. 两人相约7时到8时在某地会面，先到者等候另一个20分钟，这时就可离去，试求这 两人会面的概率．(答案：5/9)

例3. 任取三条不大于a 的线段，求这三条线段能够成一个三角形的概率。 思考方法 题设的三条线段互不相干，所以可设置三个独立变量。注意到三条线段构成三角形的充要条件，可推得有立场合的约束条件。由此原题可以解出。 解 设三条线段的长分别为x 、y 、z ，则样本空间是

⎧0≤x ≤a ⎪

⎨0≤y ≤a （1） ⎪0≤z ≤a ⎩

有三条线段构成三角形的条件可知，其中的任意两条之和比大于第三条线段，于是，有利场

⎧x +y >z ⎪

合的可能情形是⎨y +z >x （2） 把条件（1）、（2）所限制的区域，在空间直角坐标

⎪z +x >y ⎩

系中表示出来，有如图2-3所示。

y

其中（1）所对应的区域G 是正方体OA 4，(2)所对应的区域G A 是六面体OA 1A 2A 3A 4，且有

L (G )=a 3

1a 21

L (G A )=a -3∙∙∙a=a 3

322

13a

1∴p=3=a 2

3

评注 在上面的三个例子中，例1的样本空间所对应的区域是一维的，例2的样本空间所对

应的区域是二维的，例3的样本空间所对应的区域是三维的。这就告诉我们，区域G 和G A 的维数，一般的为题中独立变量的个数所决定的。

例1— 例3都是利用通常的几何知识，确定有关区域的测度。对于更为复杂的问题，

还常常灵活运用微积分知识，才能求得相应区域的测度。

例4 平面上画着间隔为d 的平行线，向此平面任意投一长度为l (l

思考方法 题中告诉我们，针的长度l 小于平行线的间隔d ，所以投出的针至多与这些平行线中的某一条相交，这样，解题时只要考虑针于某一平行线之间的可能情况就可以了。 相对于最靠近针的一条平行线l 1而言，针是否与l 1相交，可利用针的中的M 到l 1的距离x 和针l 1的交角ø这两个变量来描述(图2-4) ，从数量关系上来考察，当且仅当x ≤针于l 1相交。由此可以确定样本空间和有利场合对应的区域。

解 用M 表示针的中点，x 表示针投到平面上M 与最邻近一条平行线l 1的距离，ϕ表示

1

sin ϕ时，2

d ⎧

0≤x ≤⎪

针与l 1的交角（图2-4）则样本空间应满足的代数条件是⎨2（1）

⎪⎩0≤φ≤π

l2

l1

注意到针与l

1

相交的充要条件是x ≤

l

sin φ，所以有利场合应满足的代数条件是2

y

d ⎧

0≤x ≤⎪2⎪

⎨o ≤φ≤π（2）如图2-5所示

⎪l

⎪x ≤sin φ

2⎩

条件（1）所对应的区域G 就是边长为

图2-5

x

d

及π的长方形，条件（2）所对的区域是正弦曲线2

和X 轴围成的部分，由微积分知识可得

l l

sin φd φ=(-cos φ)022l 2l

∴p ==

d πd π2L G A ) =⎰（

π

π

=l

（3）

例5. 从[0,1]中随机地取两个数，其积不小于

3

，求其和不大于1的概率。 16

思考方法 本题结构并不复杂，按照通常的思路容易确定样本空间和有利场合所对应的区域，解题的难处是计算区域G A 的测度，为此需用积分知识计算曲边形的面积 解 设所取的两个数位为x,y ，则样本空间为⎨

⎧0≤x ≤1

(1) 有两场合为

⎩0≤y ≤1

y

x

⎧0≤x ≤1⎪0≤y ≤1⎪⎪

3 (2)

⎨

⎪xy ≥16⎪⎪⎩x +y ≤1

区域G A , 是有双曲线C:xy =

图2-6

在平面直角坐标系中，(1)所对应的区域G ，是边长为1的正方形，有L(G)=1，(2)所对应的

3

和直线l:x+y=1所围成的曲边形（图2-6）, 解方程组 16

3⎧xy =⎪⎛13⎫⎛31⎫

16 得M , ⎪, N , ⎪. 则 ⎨

⎝44⎭⎝44⎭⎪x +y =1⎩

3

33

3dx x 233413444

L (G A ) =1(1-x) dx -1∙=(x -) 1-ln x =-ln 3≈0.044

1416x 24164416

4

∴p =

L (G A )

≈0.044 L (G )

评注 在解答例4和例5的过程中，我们运用定积分的知识来确定有例场合对应的区域G A 的测度。由此可见，数学分析是研究概率论的重要工具，它们之间有着密切的联系。

三、利用随机数实验来估计概率

在必修3中，研究了用计算器或计算机产生随机数的实验用频率来估算概率，下面我们通过例题来说明用计算机产生随机数的实验用频率来估算概率。 例 从甲地到乙地有一班车9∶30到10∶00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，用随机模拟方法求他能赶上车的概率． [解析1] 用EXCEL 实验 能赶上车的条件是到达乙地时，汽车还没有出发．我们可以用两组均匀随机数x 与y 来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当x

S1 用计算机产生两组[0,1]区间上的均匀随机数a1＝RAND （ ），b1＝RAND （ ）

S2 用平移伸缩变换x=a1*0.5＋9.5产生9.5～10之间的均匀随机数x 表示到达乙地时间，

y=b1*0.5＋9.75产生9.75～10.15之间的均匀随机数y 表示汽车从乙地出发的时间； S3 统计试验总数n 和试验中能赶上车的次数m(满足条件x

m n

m

S5 事件A 作为事件A 的概率的近似值．

n

[点评] 解题的关键是找两个随机数表示甲地到乙地汽车到达的时间和乙地到丙地汽车的出发时间。

[解析2] 此题也可以用QBASIC 编写程序解答，其程序如下：

INPUT “N=”；N

I=1 M=0 DO

A1=RND（I ） B1=RND（I ） X=A1*0.5+9.5 Y=B1*0.5+9.75

IF X

LOOP UNTIL I>N F= M/N

PRINT “P ≈” ；F END

例： 利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝9－x 2与x 轴和y ＝x 围成的图形) 的面积．

[解析1] 用EXCEL 实验 设事件A 为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．

(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND ，y1＝RAND ； (2)经过伸缩平移变换，x ＝(x1－0.5)*6，y ＝y1*9；

（3）统计出试验总次数n 和满足条件yx的点（x,y ）的个数m; （4）计算频率f A (A )=

m

, 即为概率P(A)的近视值。 n

S

设阴影部分的面积为S ，矩形的面积为9×6＝54. 由几何概率公式得P(A)＝.

5454N1

所以，阴影部分面积的近似值为：N

[解析2] 用QBASIC 编写程序解答，其程序如下：

INPUT “N=”；N

I=1

M=0

DO

A1=RND（I ）

B1=RND（I ）

A=(A1－0.5)*6

B=B1*9

IF y x THEN

M=M+1

END IF

I=I+1

LOOP UNTIL I>N

F= M/N

S=54*F

PRINT “S ≈” ；

END

我们可以看出，用计算机产生随机数的实验用频率来估算概率，不论使用EXCEL 还是用QBASIC 其操作步骤还是程序大致是一样的。

综上所述，解答几何概率题从本质上看，一般的都可以通过引进适当的随机变量，确定相应的均匀分布函数，利用相关的知识来处理。

我们可以看到，几何概率题的解答能培养学生的多种能力，特别是新课程标准中引进了算法编程、空间直角坐标系及空间向量、导数与积分等知识，那么，可以预测，在高考中用积分的方法求解几何概率题是很可能出现的；同时，用程序去描述随机模拟实验，不仅省时、省力，对培养学生的程序化解题思路也是很有帮助的。总之，几何概率题的解法，能考察和培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力，在新课程标准中作为必修内容让学生学习，必然会造就社会主义建设的有用人才。以上是自己对本内容的理解，有不足之处，请专家和同仁批评指正。

参考文献 1. 《概率论》 复旦大学编 1981年版

2. 高中数学必修3 人教版

3. 高中数学必修3教师教学用书 人教版

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