函数图象的变换及数字特征

函数图象的变换及数字特征

平移变换:1.把y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个长度单位可得y=f(x+a)的图象

2. 把y=f(x)的图象向右平移a(a>0)个长度单位可得y=f(x-a)的图象 3. 把y=f(x)的图象向上平移b(b>0)个长度单位可得y=f(x)+b的图象 4. 把y=f(x)的图象向下平移b(b>0)个长度单位可得y=f(x)-b的图象

伸缩变换:5.把y=f(x)图象每点纵坐标不变横坐标伸到原来的a(a>0)倍可得y=f(x/a)的图象

6. 把y=f(x)图象每点横坐标不变纵坐标伸到原来的b(b>0)倍可得y=bf(x)的图象

绝对值变换:7.把y=f(x)的图象去掉y 轴左侧的部分关于y 轴对称的两部分可得y=f(|x|)的图象

8. 把y=f(x)的图象把x 轴下侧的部分关于x 轴对称的两部分可得y=|f(x)|的图

象

对称变换:9.把y=f(x)的图象关于x 轴对称可得y=-f(x)的图象

10. 把y=f(x)的图象关于y 轴对称可得y=f(-x)的图象

11. 把y=f(x)的图象关于原点对称可得y=-f(-x)的图象

12. 若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则f(x)的图象关于x=(a+b)/2对称 13. 函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于x=(b-a)/2对称

．函数图象

（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是重点。

作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线处，要把线连在恰当处图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。

（2

①平移变换：

Ⅰ、水平平移：函数y =f (x +a ) 的图像可以把函数y =f (x ) 的图像沿x 轴方向向左

(a >0) 或向右(a

1） y =f (x ) →y =f (x +h)；2）y =f (x ) →y =f (x -h) ；

已知f (x+199)=4x ＋4x +3(x ∈R ) ，那么函数f (x ) 的最小值为____．

y=f(x ＋199) 与y=f(x ) ，其图象仅是左右平移关系，它们的最小值相等为2。 Ⅱ、竖直平移：函数y =f (x ) +a 的图像可以把函数y =f (x ) 的图像沿x 轴方向向上

2

左移h

右移h

(a >0) 或向下(a

1） y =f (x ) →y =f (x )+h；2）y =f (x ) →y =f (x ) -

上移h 下移h

3、画出函数y =

-2x -3-2x -31

的图像，并讨论函数y =的图像与y =的图像的关系。 x +2x +2x

②对称变换：

Ⅰ、函数y =f (-x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于y 轴对称即可得到；

y 轴

y =f (x ) →y =f (-x )

Ⅱ、函数y =-f (x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于x 轴对称即可得到；

y =f (x ) →y = -f (x )

Ⅲ、函数y =-f (-x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于原点对称即可得到；

y =f (x ) →y = -f (-x )

Ⅳ、函数x =f (y ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于直线y =x 对称得到。

直线y =x 原点x 轴

y =f (x )

→x =f (y )

Ⅴ、函数y =f (2a -x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于直线x =a 对称即可得到；

直线x =a

y =f (x )

→y =f (2a -x ) 。

例：设函数y =f (x ) 的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1, 则x >1时f (x )=

f (x )=(x －3) 2－1

8.(2012·湖北高考) 已知定义在区间(0,2)上的函数y=f(x)的图象如图所示

,

则y=-f(2-x)的图象为( )

③翻折变换：

Ⅰ、函数y =|f (x ) |的图像可以将函数y =f (x ) 的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y =f (x ) 的x 轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数y =f (|x |)的图像可以将函数y =f (x ) 的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y =f (x ) 在y 轴右边部分即可得到“清左翻右”

2

2

（3）．y =|x +2x -3| （4）．y =x -2|x |-3 2、如图为y =f (x ) 的图像，求作y =-f (x ) 、y =f (-x ) 、y =|f (x ) |、y =f (|x |)的图像。

【变式】y ＝|log2(x ＋1)|.

6. 已知定义域为R 的函数y =f (x ) ，则下列命题：

①若f (x -1) =f (1-x ) 恒成立，则函数y =f (x ) 的图像关于直线x =1的对称； ②若f (x +1) +f (1-x ) =0恒成立，则函数y =f (x ) 的图像关于（1，0）点对称； ③函数y =f (x -1) 的图像与函数y =f (1-x ) 的图像关于y 轴对称； ④函数y =-f (x -1) 的图像与函数y =f (1-x ) 的图像关于原点对称； ⑤若f (1+x ) +f (x -1) =0恒成立，则函数y =f (x ) 以4为周期． 其中真命题的有________.

（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。

例：已知图4(1)中的图象对应的函数为y ＝f(x)，则图4(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是(

)

(A)y＝f(|x|) (B)y=|f(x)| (C)y＝f(-|x|) (D)y＝-f(|x|)

例4：设函数y ＝f(x)的定义域为R ，则函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于( ) 。 (A)直线y ＝0对称 (B)直线x ＝0对称 (C)直线y ＝1对称 (D)直线x ＝1对称

4. 伸缩变换

①函数y =af (x ) (a >0) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a >1) 或压缩（0

②函数y =f (ax ) (a >0) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像中的每一点纵坐标不变

x ⨯a 1

横坐标伸长(a >1) 或压缩（0

a

y ⨯a

题型1：作图

例2．在下列图象中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =（

b x

）的图象只可能是（ ）

a

例3．某地一年内的气温Q (t ) (单位：℃) 与时间t (月份) 之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令C (t ) 表示时间段[0, t ]的平均气温，C (t ) 与t 之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（ ）

例4．函数y =1－

1

的图象是（ ）

x -1

例5．函数y =f (x ) 与y =g (x ) 的图像如下图：则函数y =f (x ) ⋅g (x ) 的图像可能是（ ）

A B C D

例2：已知函数y ＝f(x)的图象如图2(甲) 所示，y ＝g(x)的图象如图2(乙) 所示，则函数y=f(x)

·g(x)的图象可能是图

3中的 ( )

例6．已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如右

图，求b 的范围。

点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问

题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。

例8．设f (x ) =|2-x 2|，若a

m n

例9．函数y =x (m , n ∈Z , m ≠0, |m |,|n |互

质）图像如图所示，则（ ） A ．mn >0, m , n 均为奇数 B ．mn

C ．mn 0, m , n 一奇一偶

例8：函数y ＝a -x 和函数y=loga (-x)的图象画在同一个坐标系中，得到的图象只可能是下面四个图象中的( )

1

圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰42

ππ1π-2πππ-2

2422222

1π

方，故应在C 、D 中选择。而当当x =时，阴影部分的面积等于圆的面积加上以圆的

42

3ππ-23π+23π

) =>半径为腰的等腰直角三角形的面积，f () =2(π-，即点

2222

3π3π+2(, ) 在直线y =x 的上方，故应选择D 。 22

1解析：显然当x =

时，阴影部分的面积等于

π

b b 2b 22、解析一：由指数函数图象可以看出0

a 2a 4a

1b 2b b b

其顶点坐标为（－，－），又由0

22a a 2a 4a

解析二：求y =ax 2+bx 与x 轴的交点，令ax 2+bx =0，解得x =0或x =－

b b

，而－1

故选A 。

3、解析：平均气温10℃与函数图像有两个交点，观察图像可知两交点的两侧都低于平均气温， 而中间高于平均气温。时间段内的平均气温，应该从开始持续到平均气温左交点向右一段距离才开始达到平均气温，持续上升一段时间，最后回落到平均气温。答案A 。

4、解析一：该题考查对f （x ）=

11图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y =的图x x

形变形到y =

11

，即向右平移一个单位，再变形到y =－即将前面图形沿x 轴翻转，x -1x -11

+1，从而得到答案B 。 x -1

再变形到y =－

5、解析：∵函数y =f (x ) ⋅g (x ) 的定义域是函数y =f (x ) 与y =g (x ) 的定义域的交

集(-∞,0) (0,+∞) ，图像不经过坐标原点，故可以排除C 、D 。

由于当x 为很小的正数时f (x ) >0且g (x )

6、解法一：观察f (x ) 的图象，可知函数f (x ) 的图象过原点，即f (0)=0,得d =0， 又f (x ) 的图象过(1，0) ， ∴f (x )=a +b +c ①

又有f (－1) ＜0，即－a +b －c ＜0 ② ①+②得b ＜0，故b 的范围是(－∞，0)

解法二：如图f (0)=0有三根0，1，2，

∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ， ∴b =－3a ，

∵当x >2时，f (x )>0，从而有a >0， ∴b ＜0。

7、根据函数与方程的关系，知方程a |x |=|log a x |的根的个数即为函数y =a 与函数

|x |

y =|log a x |的图像交点的个数。

该题通过作图很可能选错答案为A ，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当0

8、解析：保留函数y =2-x 在x 轴上方的图像，将其在x 轴下方的图像翻折到x 轴上方区即可得到函数f (x ) =|2-x 2|的图像。

通过观察图像，可知f (x

) 在区间(-∞, 上是减函数，

在区间[上是增函数，由a

f (b ) 可知a 点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数y =2-x 的图像和性质，进而得到f (x ) =|2-x 2|的图像和性质。

9、解析：该题考察了幂函数的性质，由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在

2

2

11

时，图像的交点个数为4个；当a =时，图像的交点个数为2个。选项为162

-m n

(0, +∞) 上单调递减，此时只需保证

n

m

|m |

在第一象限有图像，则函数的定义域为(0, +∞) ，此时|n |定为偶数，n 即为偶数，由于两个数互质，则m 定为奇数。

答案：选项为B 。 练习：

－

1．若f(x) 的图象过(0,1)点，则f - 1(x ) 的图象过______点，f (x ＋1) 的图象过______点，

－

f -1(x ＋1) 的图象过______点。

2．1）把函数y ＝(x －2) 2＋2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，所得图象对

应的函数解析式为_____。 2）将函数y ＝2x 的图象向________平移_________个单位，再作关于直线y ＝x 对称的图象可得出函数y ＝log 2(x +1)的图象。

－＋

3．函数y ＝21x 与y ＝21x 的图象关于________对称。 1

4．函数y ＝x 2－3|x |＋ (x ∈R ) 的单调区间有________。

45．已知函数f (x ) 的图象如图，求作y ＝f - －1

(－x ＋1) 的图象。

1

6．作函数y ＝的图象。

|x |－1

7．试讨论方程 |x 2－x ＋3|＝a 的解的个数(a ∈R ). 8．给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数y =

x －11

(x ∈R , x ≠ ).

a ax －1

9．已知f(x)当x ∈R 时恒满足f (2＋x ) ＝f (2－x ) ，若方程f (x ) ＝0恰有5个不同的实数根，求

各根之和。

10．已知x 1是方程x ＋lgx ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝_______. 11．若f (x ) ＝|lgx |,当a ＜b ＜c 时，f (a ) ＞f (c ) ＞f (b ). 则下列不等式中正确的为（ ）。 A . (a －1)(c －1) ＞0 B. ac ＞1 C . ac ＝1 D. ac ＜1

例3 作函数

y =

1

的图象． x +1

11.(能力挑战题) 已知函数y=f(x)(x∈R) 满足f(x+2)=f(x),且当x ∈[-1,1]时,f(x)=x2, 则y=f(x)与y=log7x 的图象的交点个数为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

π

4．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动10

坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ，所得图象的函数解析式是( )

π⎛2x －π⎫ 2x －⎫ A ．y ＝sin ⎛B ．y ＝sin 10⎭5⎭⎝⎝

1π

－⎫ C ．y ＝sin ⎛⎝210⎭

x

1π

－⎫ D ．y ＝sin ⎛⎝220⎭

2. 已知x 1是方程x+2=4的根,x 2是方程log 2x+x=4的根, 则x 1+x2的值所在区间为

A.(0,1) B.(1,3) C.(3,5) D.(5,+∞)

2

3. 已知函数y=f(x)(x∈R) 满足f(x+1)=f(x-1).且x ∈[-1,1]时,f(x)=x, 则y=f(x)与y=log5x 的图象的交点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5

4. 设函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线x=3对称, 则g(x)的表达式为 A,g(x)=f(3/2-x) B,g(x)=f(3-x) C,g(x)=f(-3-x) D,g(x)=f(6-x)

22

9. 设b>0,二次函数y=ax+bx+a-1的图象为下列之一, 则a 的值为

A.1 B.-1 C.(-1-√5)/2 D.(-1+√5)/2

|lnx|

11. 函数y=e-|x-1|的图象大致是

16. 函数y=f(x-1)的图象通过怎样的变换可得y=f(2-x)的图象

-|x-1

17. 已知函数f(x)=2-m 的图象与x 轴有交点, 求m 的取值范围