概率统计简明教程_第七章_参数估计

第七章 参数估计

统计推断是数理统计的重要内容，它是指在总体的分布完全未知或形式已知而参数未知的情况下，通过抽取样本对总体的分布或性质作出推断.大致可以分为估计问题和假设检验问题两大类.

本章重点介绍参数估计问题，即根据样本对总体分布中所包含的未知参数或总体的数字特征作出数值上的估计.主要内容包括：点估计和区间估计.

§1 点估计概述

1.1

点估计

在许多实际问题中,可以认为总体X分布的形式是已知的,它只依赖于一个或几个未知参数.如果能对分布中所含的参数作出推断,那么就可以确定总体分布.例如, 已知总体服从正态分布N,1,未知,我们的目的是通过样本提供的信息对未知参数作出估计,也就是借助于样本对总体作出推断,这类问题就是参数估计问题.

点估计问题的一般提法是:设总体X的分布函数Fx;类型已知,为未知参数,它的可能取值范围是已知的,称为参数空间,即

.这样,我们有一族分布函数Fx;:.如果

Fx;,:,0是正态分布的分布函数族,其中

2

,2.设X1,X2,,Xn是X的一个样本, x1,x2,,xn为相应的

样本值.我们构造一个统计量X1,X2,,Xn,以X1,X2,,Xn的值

x1,x2,,xn作为参数的真实值的估计.习惯上,称

222

ˆX,X,,X,称X1,X2,,Xn为参数的估计量12nˆx,x,,x.在不致混淆的情况下, x1,x2,,xn为的估计值为12n

估计量与估计值都简称为估计,简记为ˆ.容易看出,对于不同的样本值来说,由同一个估计量得出的估计值一般是不相同的.在几何上一个数值是数轴上的一个点,用的估计值ˆ作为的近似值就像用一个点来估计,故称为点估计.

如果总体分布中含有k个未知参数1,,k,则需要构造k个统计量

ˆX,X,,X,,ˆX,X,,X分别作为,,的估计量. 1k112nk12n

例1．1 设总体X服从参数为的泊松分布, 0为未知参数,现

有以下样本值

3,4,1,5,6,3,8,7,2,0,1,5,7,9,8 试求未知参数的估计值.

1n

解:由于EX,自然地想到用样本均值Xi作为的

ni1

估计量,利用样本值得



1

3415638720157984.6. 15

ˆ与估计值ˆ4.6. 这样，我们获得了参数的估计量

在本例中，对于总体X的一个样本X1,X2,,Xn，Xi1in亦可以作为的估计量；同样地，X1和Xn都应该可作为的估计量.这样，对于同一个参数，可以有许多不同的点估计；在这些估计中，我们自

然地希望挑选一个最“优”的点估计.因此，有必要建立评价估计量优劣的标准.下面介绍几个常用的标准：无偏性、有效性和一致性.

1.2 评价估计量的标准

1. 无偏性

223

ˆˆX,X,,X得出的估计 对于不同的样本值来说,由估计量12n

值一般是不相同的,这些估计只是在参数真实值的两旁随机地摆动.要确定估计量ˆ的好坏,要求某一次抽样所得的估计值等于参数的真实值是

ˆ,这是估计量所应该具有的一种良好性没有意义的,但我们希望E

质,称之为无偏性，它是衡量一个估计量好坏的一个标准.



ˆˆX,X,,X的数学期 定义1.1 如果未知参数的估计量12n

ˆ存在,且对任意,都有 望E

ˆ （1.1） E

则称ˆ是的无偏估计量.





ˆ是以ˆ作为估计的系统误差. 无偏估在科学技术中，称E

计的实际意义就是无系统误差.

例1.2 设X1,X2,,Xn是总体X的一个样本, 总体X的k阶原



1nk

点矩记为kE(X),样本原点k阶矩记为AkXi,证明：Ak是

ni1

k

k的无偏估计量.

证明: X1,X2,,Xn是总体X的一个样本,即X1,X2,,Xn与X同分布,因此 E(Xik)E(Xk)k,i1,2,,n.

1n

即 E(Ak)E(Xik)k .

ni1

例1.3 设总体X的均值和方差都存在,证明：未修正样本方差

2

224

1n

S(Xi)2不是2的无偏估计量.

ni1

20

22

证明: 在第六章第二节中，我们证明了ES，因此，修正的样



1n2

本方差S也就是说S0不是2(Xi)2是2的无偏估计量，n1i1

2

的无偏估计量.

我们以后一般取S2作为2的估计量.

例1.4 设总体XP(),X1,X2,,Xn是X的一个样本, S为

2

样本方差,01,证明：L1S是参数的无偏估计量.

2

证明:易见EEX,ESD(X),

2



ELE1ES2

1,

2

因此，估计量L1S是的无偏估计.

2. 有效性

同一个参数可以有多个无偏估计量,那么用哪一个为好呢?设参数

ˆ和ˆ,在样本容量n相同的情况下, ˆ的观测值都集有两个无偏估计量121ˆ的观测值较远离的真值,即ˆ的方差较ˆ的方中在的真值附近,而212ˆ较ˆ好,由此有如下的定义: 差小,我们认为12

ˆˆX,X,,X和ˆˆX,X,,X都是定义1.2 设1112n2212n

参数的无偏估计量,若对任意,都有

ˆ)D(ˆ) （1.2） D(12

225

ˆ较ˆ有效. 且至少存在一个0使得上式中的不等号成立,则称12

例1.5 设X1,X2,,Xn是总体X的一个样本, X的均值 和方

k

1ˆ差都存在,且0,记Xi,k1,,n.易见, k

ki1

2

2

1k1ˆE(k)E(Xi)k,k1,,n. ki1k

因此, 这些估计量都是的无偏估计量.由于

2k

112ˆ) D(, D(Xi)2kk2ki1kk

ˆ最有效. 从而n

3.一致性

无偏性和有效性都是在假设样本容量n固定的条件下讨论的.由于估计量是样本的函数,它依赖样本容量n,自然地,我们希望一个好的估计量,当n越来越大时,它与参数的真值几乎一致,这就是估计量的一致性或称之为相合性.

ˆˆX,X,,X为参数的一个估计量, n为样定义1.3 设n12n

ˆ依概率收敛于,即对任意0,有 本容量,如果对任意，n

limP

n

ˆ1 (1.3)

n

ˆ为参数的一致估计量. 则称n

2

例1.6 设总体X的均值和方差都存在,证明:样本均值

1n

Xi是的一致估计量.

ni1

证明:由切比雪夫大数定律可知,对任意0,有

226

1n

limPXi1

n

ni1

1n

因此，Xi是的一致估计量.

ni1

例1.7 设总体XN,2,X1,X2,,Xn是总体X的一个样本,



1n

证明: 样本方差S(Xi)2是2的一致估计量. n1i1

2

证明:由于

n1



2

S22n1,

有 D

n12

S2(n1), 2



2

4

2n1222

因此, D(S).由切比雪夫不等式可D2S

n1n1

知,对任意0,有

24

. 0PSE(S)PS2D(S)

(n1)2



22



22



1

2

这样 limPS2E(S2)0,

n



即 limPS221, S是2的一致估计量.

2

n



§2 矩估计与最大似然估计

本节我们介绍两种常用的构造估计量的方法,即矩估计法和最大似然

估计法.

2.1

矩估计法

227

许多总体的未知参数与总体矩之间存在着函数关系,如在泊松总体

P中,它的参数就是总体的一阶矩,又如在正态总体XN,2

中EX,EX

2



2

EX.若总体矩存在,我们很自然地想

2

到用样本矩来估计相应的总体矩,从而可以获得未知参数的估计量,这种方

法称之为矩估计法.

设X1,X2,,Xn是总体X的一个样本,若X是连续型随机变量,则其概率密度函数为fx;;若X是离散型随机变量,则其分布律为

px;,1,2,,k,.假设总体X的k阶原点矩存在,记

1nl

lEX,AlXi,l1,2,,k.由辛钦大数定律可知,Al依

ni1

l

概率收敛于l,即可以用样本矩替换同阶的总体矩,我们称之为替换原则.替换原则是矩估计法的思想实质,这种方法只需假设总体矩存在,无需知道总体的分布类型.由于l依赖于参数1,2,,k,可设

1(1,2,,k)1,(,,,),212k2





k(1,2,,k)k.

将此方程组的解记为

11(1,2,,k),(,,,),2212k



kk(1,2,,k).

用Al替换ll1,2,,k,得到

228

ˆ(A,A,,A),1112k

ˆ(A,A,,A),2212k



ˆ

kk(A1,A2,,Ak).

并把它们分别作为参数1,2,,k的估计量,称之为矩估计量, 矩估计量的观测值称为矩估计值.

例2.1 设总体X的概率密度函数为

1x,0x1,

fx;

0,其他.

1,求参数的矩估计量.

解: 1EX解得 

1

1xdx01

1

, 2

211

,

11

ˆ因此, 的矩估计量为 

21

.

1如果我们获得一组样本观测值,其样本均值为0.65,则参数的矩估计值为

ˆ

20.651

0.86.

10.65

22

例2．2 设总体X的均值和方差都存在,且0,又设

X1,X2,,Xn是总体X的一个样本,求和2的矩估计量.

解:注意到EX



2

DXEX,由方程组

2

1EX,

222

EX.2

229

解得1,2212.因此,和2的矩估计量分别为

ˆA1， 

1n21n2

A2AXi(Xi)2.

ni1ni1

2

21

此例表明, 总体X均值和方差的矩估计量分别是样本均值与样本的二阶中心矩,而不依赖总体X的分布.

2.2 最大似然估计法

由于矩估计法只需假设总体矩存在,没有充分利用总体分布提供的信息,为获得更理想的估计,需要引入最大似然估计法,它的一个直观想法是某个随机试验有若干个结果A,B,C等,如果在一次试验中,出现结果A,则认为事件A发生的概率是最大的.例如,一只袋子里有黑白两种外形相同的球,这两种球的数量不详,只知道它们占总数的比例:一种球为10%,另一种球占90%.今从中任抽取一只球,取得白球,一种比较合理的想法是认为袋子里白球的数量较多, 占总数的90%，这就是最大似然估计法的基本思想.我们通过下面的例子说明最大似然估计法的原理.

某工厂加工一批产品,现需要估计其不合格品率p,今从中抽取一个容量为n的样本值x1,x2,,xn,令

1,第i次取到次品Xi

0,第i次取到正品

总体X的分布律为

i1,2,,n,

px;ppx1p

取得样本获得观测值的概率为

1x

,x0,1.

PX1x1,X2x2,,Xnxnpx11p

n

1x1

pxn1p

n

1xn

xnx

pi1i1pi1i

,

xi0,1i1,2,,n.显然PX1x1,X2x2,,Xnxn是p的函

230

数,记为Lp,即

xnx

Lppi1i1pi1i.

n

n

由于在一次取样中,样本值x1,x2,,xn出现,我们认为概率Lp是

ˆ作为参数p的一个估计值,即最大的,选取使得Lp达到最大的p

ˆmaxLp.由微积分中求极大点的方法, p可从方程Lp

p

dLp

0求出,又由于lnx是x的单调增函数,lnLp与Lp在同一dp

dlnLp

个p处取极大值,p也可从方程0求出,

dp

lnLpi1xilnpni1xiln1p，

dlnLp

dp

n



n



i1xi

p

n



ni1xi

1p

n

0，

ˆ解得: p



n

i1i

x

n

.

ˆ容易验证, p



n

i1i

x

n

能使得Lp达到最大,称之为参数p的最大似

然估计值,其对应的统计量称为参数p的最大似然估计量.下面我们讨论最大似然估计法.

设X1,X2,,Xn是取自总体X的一个样本, x1,x2,,xn为样本值.如果总体X是离散型的,其分布律为px;,为未知参数,. 样本X1,X2,,Xn的联合分布律为

231

PX1x1,X2x2,,Xnxnpxi;,

i1

n

容易看出,当样本值x1,x2,,xn固定时上式是参数的函数,当取固定值时,上式是事件X1x1,X2x2,,Xnxn发生的概率,记

LL;x1,x2,,xnpxi; ， (2.1)

i1

n

并称L为样本的似然函数.若样本值x1,x2,,xn的函数

ˆˆx,x,,x满足 12n

ˆmaxL， (2.2) L







ˆˆx,x,,x为的最大似然估计值,其相应的统计量则称12nˆX,X,,X称为的最大似然估计量. 12n

如果总体X是连续型的,X的概率密度为fx;,为未知参数,.随机点(X1,X2,,Xn)落在点(x1,x2,,xn)的边长为

x1,x2,,xn的邻域内的概率近似为fxi;xi.我们寻找使

i1

n

fxi;xi达到最大的ˆˆx1,x2,,xn,但xi与它无关,故

i1

i1

nn

可取样本的似然函数为

LL;x1,x2,,xnfxi;. (2.3)

i1

n

ˆˆx,x,,x满足 类似地, 若样本值x1,x2,,xn的函数12n

232

ˆmaxL L







ˆˆx,x,,x为的最大似然估计值,其相应的统计量则称12nˆX,X,,X称为的最大似然估计量. 12n

获得样本的似然函数后,为求出未知参数的最大似然估计量,可以

利用微积分中求函数极值的方法.

假设fx;或px;关于可微,由下面的似然方程

dL

d

0， 或对数似然方程

dlnL

d

0，

可求出最大似然估计.

例2.3 设总体XP,求的最大似然估计量.

n

e解:似然函数为 Lxi

i1

x ,

i!nn

对数似然函数为 lnLln

xi

nln(xi

!),

i1

i1

n

令

dlnLxi

di1

n0, n

求得的最大似然估计值为 1nxi

, i1n

最大似然估计量为1nXi

 . i1

233

例2.4 总体XE,求的最大似然估计量.

ex,x0

解: 总体X的概率密度为fx,.

x00,

似然函数为 L

e

i1

n

xi

e

n



xi

i1

n

,

对数似然函数为lnLnln

x，

ii1

n

dlnLn

0,有xi0， 令

dni1因此,的最大似然估计值为 

n



i

x

i1

n

11. ,最大似然估计量为

假设总体的分布中含有k个未知参数1,2,,k,类似地,写出似然函数LL1,2,,k,求解方程组

L

0i1,2,,k i

或

lnL

0i1,2,,k i

可获得未知参数1,2,,k的最大似然估计.

22

例2.5 总体XN,,求,的最大似然估计量.



解: 似然函数为 L

,

2

1

2

n22

1nexp2(xi)2

2i1

234

nn1

对数似然函数为lnL,ln2ln2

2222

2

(x)

i

i1

n

2

分别求关于和2的偏导数,得以下对数似然方程组

lnL,21n

2(xi)0,

i1

2

lnL,n1n

24(xi)20.2

22i1

解上述方程组得和2的最大似然估计值分别为

1n

ˆxi ， 

ni121(x)2, i

ni1

21(X)2. ˆ和因此和的最大似然估计量分别为i

ni1

2

n

n

最大似然估计具有一个性质:如果ˆ为总体X未知参数的最大似然估计,函数

ˆ为ˆ具有单值反函数,则



的最大似然估计.利用此性质,我们可获得例2.5中的最大似

然估计量为

ˆ例2.6 设总体X服从0,上的均匀分布,0,求的最大似然估计值.

解:记x1minx1,,xn,xnmaxx1,,xn.



235

1

,0x1,xn

似然函数为 Ln

其他0,

注意到对于0x1,xn有 0L

1

n



1

. xnn

ˆx. 因此,取的最大似然估计值为n

最后我们给出求最大似然估计的一般步骤(有时候它并不适用,如上

例):

1、写出似然函数L(),即由总体分布导出样本的联合分布律（或联合概率密度）；

2、令

dLL

0或0i1,2,,k,求出驻点(常转化为求对di

lnL()的驻点:令

数似然函数

dlnL

0d

或

lnL

0i1,2,,k)； i

3、求出最大值点；

4、求得参数的最大似然估计.

§3 区间估计

参数的点估计实质是用一个估计值来估计未知参数的真值,但估计值只是的一个近似值,它本身既没有反映这种近似的精度又没有给出误差的范围,因此，在实际问题的应用中意义有限.例如在一大批产品中,任意取出60件产品,经检验有3件为次品,按点估计的方法,我们获得次品率p

ˆ=0.05,但pˆ与次品率p的真值是有误差的,这个误差有的一个估计值为p

236

ˆ,pˆ,用它多大,点估计无法给予回答.我们希望给出一个区间p

来估计次品率p的真值,这样就产生了误差的大小及用区间

ˆ,pˆ估计次品率p真值的可靠程度的问题.区间估计解决了上p

述问题,我们将介绍在区间估计理论中被广泛接受的置信区间.

3.1 置信区间

定义3.1设X1,,Xn是取自总体X的一个样本, 为总体分布中所含的未知参数, .对于给定的,01,若存在两个统计量

X1,,Xn和X1,,Xn,使得

P1 （3.1）

则称随机区间,是的臵信水平为1的臵信区间,和分别称为的臵信下限和臵信上限.

定义3.1表明置信区间,包含的真值的概率为1,它的两个端点是只依赖X1,X2,,Xn的随机变量.设x1,x2,,xn为一个样本值,我们获得一个普通的区间(x1,x2,,xn,x1,x2,,xn)称之为置信区间,的一个实现,在不致引起误解的情形下,也简称为置信区间.对于一个实现,只有两种可能, 它要么包含的真值,要么不包含的真值.在重复取样下(各次取样的样本容量均为n),我们获得许多不同的实现,根据伯努利大数定律,这些不同的实现中大约有100(1)%的实现包含的真值,而有100%的实现不包含的真值.

2

例3.1 已知某产品的重量(单位:克)XN,







,其中

8,未知,现从中随机抽取9个样品,其平均重量为575.2克,试

237

求该产品的均值的臵信水平为95%的臵信区间.

1n

解:样本均值Xi是未知参数的较优的点估计,同时有

ni1

2N,, 或

N0,1. 

n

因此,

我们构造一个枢轴量U

选取区间u/2,u/2,使得

Pu/2u/21，



即



Pu/2u/21.



这样我们得到的置信水平为1的置信区间为



uu/2/2.



由575.2,n9,8,1=95%,0.05,u/2=1.96算得

u/2

575.21.96

569.976 580.424 u/2

575.21.96所以，的一个置信区间为569.976,580.424.

从此例可以看出, 寻求未知参数的置信区间的步骤为:

ˆˆX,X,,X,一般是通过(1) 选取的一个较优的点估计12n

238

最大似然估计法获得.

ˆˆX,,X为基础, 寻求未知参数的一个枢轴量W,(2) 以1n

即WWX1,,Xn;且W的分布已知.

(3)对于给定的置信水平（与无关）1,确定两个分位点a,b,使得

PaWX1,,Xn;b1.

a,b可通过PWX1,,Xn;aPWX1,,Xn;b

确定.

(4)求出的置信区间.



2

3.2 单个正态总体均值与方差的置信区间

以下我们将讨论正态总体的均值与方差的置信区间.设

XN,2,X1,X2,,Xn是取自总体X的一个样本.

1. 参数的置信区间

关于参数的置信区间,我们分方差已知和未知两种情形. (1) 方差2已知的情形

例3.1中,我们已经获得了在方差已知的条件下, 的置信区间为

2

2

2



,

简记为uuu/2/2/2.



(2) 方差未知的情形

由于U

2

22

,又S是的无偏估计量,因此，选取

239

随机变量T

作为枢轴量.由第六章定理4.1可知Tt(n1)，对

于给定的置信水平1,有

Pt/2(n1)t/2(n1)1,



即



Pt/2(nt/2(n1,



因此,的置信水平为1的置信区间为



（3.2）

t(nt(n/2/2，



简记为t/2(n. 2

例3.2 假设轮胎的寿命XN(,).为估计它的平均寿命，现随机抽取12只，测得它们的寿命为（单位：万千米）

4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 求的臵信水平为0.95的臵信区间.

2

解：n12, x4.7092,s0.0615,1=95%,0.05,

t0.025112.2010算得的置信水平为0.95的置信区间为



xt11xt11



0.0250.0254.5516,4.8668.



2. 参数的置信区间 (1) 均值已知的情形

2

由于XiN,

2



i1,2,,n,即XN0,1,

i

240

所以



i1

n

Xi

2

2

2n.

1

Xi2

i1n

2

我们选取随机变量平1,有



作为枢轴量, 对于给定的置信水

1n222

P1/2(n)2Xi(n)1, /2

i1

即

n

n22

XXii1i2i1

P1. 22

(n)(n)/21/2

因此，2的置信水平为1的置信区间为

n

n22

XXiii1i1. ,（3.3） 22

(n)(n)/21/2

我们也得到的置信水平为1的置信区间为



(2) 均值未知的情形

由于

. (3.4) 



2

1



n1S22

Xn1,选取随机变量i22

n

2

i1



2作为枢轴量,类似地, 我们得到2的置信水平为1的置信区间为

241

n22n

XXin1S2n1S2i

i12,即2,i12,2， /2(n1)1/2(n1)/2(n1)1/2(n1)

和的置信水平为1的置信区间为



， (3.5) 

. 即

例3.3 在例3.2中，求2的臵信水平为0.95的臵信区间.

2

解：n12, x4.7092,s0.0615,n1s0.6765

2

1=95%,0.05,20.0251121.920,20.975113.816

算得2的置信水平为0.95的置信区间为(0.03086,0.17728).

3.3 两个正态总体均值差与方差比的置信区间

22

设XN1,1,YN2,2,从总体X和Y中,分别独立地





取出样本X1,X2,,Xn和Y1,Y2,,Ym,样本均值依次记为和,样本

2

方差依次记为S12和S2.

2 1. 设12和2已知,求12的置信区间

242

由第六章定理2.2可知

U

的置信水平1,有

N0,1.对于给定

Pu/2u/21，



即

Pu/12u/1,

因此,12的置信水平为1的置信区间为

u/u/ . (3.6)

例3.4 分别从XN1,4,YN2,6中独立地取出样本容量为16和24的两样本,已知16.9,15.3,求12的臵信水平为

0.95的臵信区间.

解:n16,m24, 16.9,15.3,1=95%,0.05,

2

124,26,u/2u0.0251.96,因此12的置信水平为0.95

的

置信区间为

16.915.31.9615.31.960.214,2.986由此可以认为,在置信水平为0.95的情形下12.

2

2. 设1222未知,求12的置信区间

243

记S

2w

2

n1S12m1S2,由第六章定理4.2可知



nm2

T

tnm2.

以T为枢轴量,类似地,我们得到12的置信水平为1的置信区间为

tnm2Stnm2S

/2/2 (3.7) 例3.5 为了估计磷肥对某农作物增产的作用,现选用20块条件大致相同的地块进行对比试验.其中10块地施磷肥,另外10块地不施磷肥,得到单位面积的产量如下（单位：公斤）:

施磷肥:620, 570, 650, 600, 630, 580, 570, 600, 600, 580; 不施磷肥:560, 590, 560, 570, 580, 570, 600, 550, 570, 550.

2

设施磷肥的地块的单位面积的产量XN1,,不施磷肥的地块2

的单位面积的产量YN2,,求12的臵信水平为0.95的臵信





区间.

解:nm10,1=95%,0.05,600,570,

22

6400224002n1s1m1s2

s,s2,sw222,

99nm22

1

t0.025(18)2.1010.因此,12的置信水平为

0.95的置信区间为

600570222.1010570222.1010 (9.23,50.77)，

即我们可以认为磷肥对此农作物增产有作用.

244

12

3. 设1和2已知,求2的置信区间

2

因为



i1

n

Xi1

12

2



2

n

,



i1

m

Yi2

22

2

2m且样本

X1,X2,,Xn与样本Y1,Y2,,Ym独立,所以有

F

mn

2221

(X

i1m

i

i1

n

i

1)2

22

(Y)

Fn,m,

对于给定的置信水平1,有

PF1/2(n,m)FF/2n,m1，

即

nn

22m(X)m(X)i1i11211i1i1P1,mm2

Fn,mF(n,m)n(Y)221/2/2n(Yi2)2i2i1i1

12

因此,2的置信水平为1的置信区间为

2

nn

22m(X)m(X)i1i111i1i1. (3.8) ,mm

F/2n,mn(Y)2F1/2(n,m)n(Y)2

i2i2i1i1

12

4.设1和2未知,求2的置信区间

2

2

S122

由于F22Fn1,m1,对于给定的置信水平1,有

S21

245

PF1/2(n1,m1)FF/2n1,m11，

即

S1212S1211P2221, F/2n1,m1S22F1/2(n1,m1)S2

12

从而2的置信水平为1的置信区间为

2

S12S1211

. (3.9) 2Fn1,m1S2,Fn1,m1S221/2/2

例3.6 某车间有甲,乙两台机床加工同类零件,假设此类零件直径服

从正态分布.现分别从由甲机床和乙机床加工出的产品中取出5个和6个，进行检查,得其直径数据（单位：毫米）为

甲: 5.06, 5.08, 5.03, 5.00, 5.07；

乙: 4.98, 5.03, 4.97, 4.99, 5.02, 4.95；

2甲

试求2的臵信水平为0.95的臵信区间.

乙

解: n5,m6,1=95%,0.05,

22s甲0.00107,s乙0.00092,F0.0254,57.39,

2

甲1

0.1068,因此2的置信水平为于F0.9754,5

F0.0255,49.36乙

1

0.95的置信区间为

10.0010710.00107,0.15738,10.8899.

0.000927.390.000920.1068

3.4 单侧置信区间

前面讨论的参数的置信区间,是双侧置信区间,即有置信上限



246

和置信下限.有时在一些实际问题中,我们只关心参数的上限或下限,

因此有必要讨论参数的单侧置信区间.

定义3.2设X1,,Xn是取自总体X的一个样本, 为总体分布中所含的未知参数, .对于给定的（01）,若存在统计量

X1,,Xn或X1,,Xn,使得

P1 (3.10)

或

P1 (3.11)

则称随机区间,(或,)是的臵信水平为1的单侧臵信区间,称为的单侧臵信下限(称为的单侧臵信上限).

求参数的单侧置信区间的方法与求的置信区间,的方法是类似的,只需将步骤（3）中的PaWX1,X2,,Xn;b1改为







PaWX1,,Xn;1或PWX1,,Xn;b1,

其中,a,b可通过

PWX1,,Xn;aPWX1,,Xn;b 确定.

详细的结果看表7.2.

例3.7 在例3.2中，求的臵信水平为0.95的单侧臵信下限.

2

解:n12, x4.7092,s0.0615,1=95%,0.05,

t0.05111.7960算得的置信水平为0.95的单侧置信下限为

xt0.05

11

247

4.5806.

248

表7.2 正态总体均值,方差的单侧置信上、下限

249

250

习题七

( A )

1、设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1,X2,,Xn为取自

X的一个样本，试求参数p的矩估计量与极大似然估计量.

2,、设X1,X2,,Xn为取自总体X的一个样本,X的概率密度为

2x

,0x

其中参数0，求的矩估计. f(x;)2

其它.0,

3、设X1,X2,,Xn总体X的一个样本, X的概率密度为

x1ex,

f(x;)

0,



x0,

x0

其中0是未知参数，0是已知常数,求的最大似然估计.

4、设总体X服从几何分布 P(Xk)p(1p)

k1

,k1,2,,0p1,

试利用样本值x1,x2,,xn,求参数p的矩估计和最大似然估计. 5、设总体X的概率密度为fx;

1x

exp,0为未知2

参数, X1,X2,,Xn为总体X的一样本,求参数的最大似然估计.

6、证明第5题中的最大似然估计量为的无偏估计量.

xx2e2，x0，22

7,、设总体X的概率密度为fx;,0

0，其它.

为未知参数, X1,X2,,Xn为总体X的一个样本,求参数的的矩估

2

2

251

计量和最大似然估计量.

8、设总体X~N(,2),已知,为未知参数, X1,X2,,Xn为X的一个样本,c|Xi|, 求参数c,使为的无偏估计.

i1n

ˆ)0,试证ˆ2(ˆ)2不是9、设ˆ是参数的无偏估计量,且有D(

2的无偏估计量.

10、设总体X~N(,2),X1,X2,X3是来自X的样本,试证：估计量

131115ˆ2X1X2X1X2X3X3;51023412

111ˆ3X1X2X3 362

都是的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效. ˆ1;

2211,、设X1,X2,,Xn是总体XN0,的一个样本,0,证

1n22明：Xi是的相合估计量. ni1

12、设总体X的数学期望为,方差为,分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本,1,2分别为两样本均值,试证明:如果a,b满足2ab1,则Y12是的无偏估计量,并确定a,b,使得DY最小.

13、设X1,X2,,Xn是总体X的一个样本, X的概率密度为fx;,0,未知，已知222n,试求的置信水平为1

的置信区间.

14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时, 252

可以认为显像管的寿命X服从正态分布.已知均方差40小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.

15、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差S15(%),设投资的年利润率X服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水平为0.95).

16,、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14, 2.10,

2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13,

2.11, 2.14, 2.11.设钉子的长度X服从正态分布,试求总体均值的置信水平为0.90的置信区间.

17、生产一个零件所需时间(单位：秒)X~N(,2),观察25个零件的生产时间得5.5,s1.73.试求和2的置信水平为0.95的置信区间.

18、产品的某一指标X~N(,2)，已知0.04，未知.现从这批产品中抽取n只对该指标进行测定,问n需要多大,才能以95%的可靠性保证的置信区间长度不大于0.01?

19、设A和B两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中抽取5根测量其电阻,算得sA1.0710,sB5.310,若A批导线的电阻服从N(1,1),B批导线的电阻服从N(2,2),求12的置信水平为0.90的置信区间.

20,、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:

甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137;

乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140

设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间.

22222726

（ B ）

1、设总体X的概率分别为

253

其中0

1是未知参数,利用总体X的如下样本值: 2

3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3

求的矩估计值和最大似然估计值.

ˆˆX,,X和ˆˆX,,X是参数的两个相 2、设 111n221n

ˆ2Dˆ,试确定常数a,b,使得互独立的无偏估计量,且方差D12

ˆbˆ是的无偏估计量,且在一切这样的线性估计类中方差最小. a12

3、在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以0.95的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量.

【提供者：路磊】

254