初二函数知识点1
知识点一、平面直角坐标系
1，平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a ≠b 时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限⇔x >0, y >0
点P(x,y)在第二象限⇔x 0 点P(x,y)在第三象限⇔x 0, y
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x 轴上⇔y =0，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上⇔x =0，y 为任意实数
点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征
点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
x 2+y 2
知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四，正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果y =kx +b （k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数y =kx +b 中的b 为0时，y =kx （k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数y =kx +b 的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数y =kx 的图像是经过原点（0，0）的直线。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数y kx 有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k
一般地，一次函数y =kx +b 有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y =kx （k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y =kx +b （k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数y =
k
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也x
可以写成y =kx -1的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y =
k
中，只有一个待定x
系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
k
(k ≠0) 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，x
k
则所得的矩形PMON 的面积S=PM∙PN=y ∙x =xy 。 y =, ∴xy =k , S =k 。
x
如下图，过反比例函数y =
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，特别注意
a 不为
零
那么y 叫做x 的二次函数。
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x =-抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a
知识点七、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0)
（2）两根 当抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有交点时，即对应二次好方程
ax 2+bx +c =0有实根x 1和x 2存在时，根据二次三项式的分解因式
ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) ，二次函数y =ax 2+bx +c 可转化为两根式
y =a (x -x 1)(x -x 2) 。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式：y =a (x -h ) 2+k (a , h , k 是常数，a ≠0)
知识点八、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），
4ac -b 2b 即当x =-时，y 最值=。
2a 4a
如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么，首先要看-围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当x=-
b
时，y 最值2a
b
是否在自变量取值范2a 4ac -b 2=；若不在此范围
4a
内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而
2
增大，则当x =x 2时，y 最大=ax 2+bx 2+c ，当x =x 1时，y 最小=ax 12+bx 1+c ；如
2
果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x =x 1时，y 最大=ax 1+bx 1+c ，当x =x 22时，y 最小=ax 2+bx 2+c 。
知识点九、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 中，a 、b 、c 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上
a
b 与对称轴有关：对称轴为x=-
b
2
a
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的∆=b 2-4ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆
知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
y
如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） 则AB 间的距离，即线段AB 的长度为
0 x B
x 1-x 22+y 1-y 22 A
2，二次函数图象的平移
k )； ① 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ，确定其顶点坐标(h ，
2
k )处，具体平移方法如下： ② 保持抛物线y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
③平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，
对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解
记忆)
说明① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：
y 2-y 1 b为直线在y 轴上的截距4、直线方程：
k =tan α=
x 2-x 1
4、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
y -y 1=kx +b =(tanα) x +b =
y 2-y 1
x (x -x 1) 此公式有多种变形 牢记 x 2-x 1
②点斜 y -y 1=kx (x -x 1)
③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx ＋b (k ≠0)
④截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
x y +=1 a b
牢记 口诀 ---截距
两点斜截距--两点 点斜 斜截
5、设两条直线分别为，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，则有
l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2。 若
l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1
6、点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:
d =
kx 0-y 0+b k +(-1)
2
2
=
kx 0-y 0+b
k 2+1
7、抛物线y =ax 2+bx +c 中， a b c,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线
x =-
b b
，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对2a a
称轴在y 轴左侧；③
b
--- 同左 异右
（3）c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交点的位置.
当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，
c ）：
①c =0，抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴； ③c
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则
b
对称点坐标:
对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆， X 轴对称y 相反, Y轴对称,x 前面添负号； 原点对称最好记, 横纵坐标变符号。
关于x 轴对称
y =ax 2+bx +c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-ax 2-bx -c ；
y =a (x -h )+k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )-k ；
2
2
关于y 轴对称
y =ax 2+bx +c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =ax 2-bx +c ；
y =a (x -h )+k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =a (x +h )+k ；
2
2
关于原点对称
y =ax 2+bx +c 关于原点对称后，得到的解析式是y =-ax 2+bx -c ； y =a (x -h )+k 关于原点对称后，得到的解析式是y =-a (x +h )-k
2
2
关于顶点对称
b 2
y =ax +bx +c 关于顶点对称后，得到的解析式是y =-ax -bx +c -；
2a
2
2
y =a (x -h )+k 关于顶点对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )+k ．
22
关于点(m ，n )对称
n )对称后，得到的解析式是y =-a (x +h -2m )+2n -k y =a (x -h )+k 关于点(m ，
2
2
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，
选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
口诀--- ---- Y反对X ，X 反对Y ，都反对原点