空间向量巧解平行.垂直关系
【核心归纳】
① 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。
② 在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。 【随堂练习】
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已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（ ）
A. （1，1，1）
C. (,,)
111
333
D. B.
思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。
种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。
② 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
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又平面BCD的一个法向量为a＝（0，0，1），故PQ·a＝0。
又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD。
技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。
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例题2 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。求证：AB1⊥平面A1BD。
思路分析：证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。
11所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则A（2，0，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），C1（0，2，1），E（0，0，
则AA，AC＝（－2，2，0），AC1＝（－2，2，1），AE＝（－2，0，1＝（0，0，1）
1）。 2
1）， 2
AA10z0n1·
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝（x，y，z），则
AC02x2y0n1·
11m－2）。
∵D1M⊥平面EFB1， ∴D1M⊥EF，D1M⊥B1E，
EF＝0且D1M·∴D1M·B1E＝0， 220于是，∴m＝1。
22(m2)0
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则A（2，0，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），C1（0，2，1），E（0，0，
则AA，AC＝（－2，2，0），AC1＝（－2，2，1），AE＝（－2，0，1＝（0，0，1）
1）。 2
1）， 2
AA10z0n1·
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝（x，y，z），则
AC02x2y0n1·
11m－2）。
∵D1M⊥平面EFB1， ∴D1M⊥EF，D1M⊥B1E，
EF＝0且D1M·∴D1M·B1E＝0， 220于是，∴m＝1。
22(m2)0
故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1。
技巧点拨：对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件做出判断，再进一步论证。另一种是利用空间向量，先设出假设存在的点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”。
（答题时间：40分钟）
1212③ 若n是平面α的一个法向量，a与平面α共面，则n·a＝0；
6. 平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（DB＋DC－2DA）·（AB－AC）＝
0，则△ABC的形状是
7. 如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点。在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由。
④ 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。
8. （衡水调研卷）如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A＝2。
（1）证明：AC⊥A1B；
（2）是否在棱A1A上存在一点P，使得AP＝λPA1，且面AB1C1⊥面PB1C1。
1. D 解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5。 置关系是平行或在平面内。
2. D 解析：∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，则AB与平面CDE的位
3. B 解析：∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，解得z＝4，
40
x5y60x11
则MN＝（－，－2，h），DC1＝（0，2，3），
2
1由MN·（0，2，3）＝－4＋3h. DC1＝（－，－2，h）·
24
∴当h＝时，MN·DC1＝0，此时MN⊥DC1。∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1。
3
8. 证明：以DA，DC，DA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0
，B（1，1，0），D1（－1，0
，，B1（0，1
，C1（－1，1
。