等量电荷两条线上的场强分布特点
等量电荷两条线上的场强分布特点 浙江省温州中学（325014） 胡世良
等量同种（异种）点电荷在空间的场强分布比较复杂，但在两条线（点电荷连线及其中垂线）上仍有其规律性，为研究方便，设它们带电量为Q ，两电荷连线AB 长度为L, 中点为O. 一、等量异种电荷
1、 两电荷连线上
如图1所示，在两电荷连线上任取一点G ，设AG 长度为x ， 则G 点场强E G 为两点电荷分别在该点的场强E A 、E B 的矢量和， G O 方向从A 指向B （由正电荷指向负电荷一侧），由点电荷场强公式知： 图1
2
kQ kQ kQ L -2(L -x )x E G = E A + E B =+=x 2(L -x ) 2x L -x 2
B
[]
∵x+(L-x)等于定值L ，∴当x=(L-x)，即x=
L
时，x 与 (L-x)乘积最大， E G 有最小值，2
即在两电荷连线中点O 处场强最小，从O 点向两侧逐渐增大，数值关于O 点对称。 2、 中垂线上
如图2所示，在中垂线上，任取一点H ，设OH=x，根据对称性知： E H 沿水平方向向右，即在中垂线上各点场强水平向右（垂直于中垂
线指向负电荷一侧），沿中垂线移动电荷，电场力不做功，由电势差 定义知：中垂线为一等势线，与无限远处等势，即各点电势为零。
H 点的场强
H
E H =
2kQ ⎛L ⎫2 ⎪+x ⎝2⎭
2
⋅cos θ=
2kQ ⎛L ⎫2 ⎪+x ⎝2⎭
2
⋅
L ⎛L ⎫2 ⎪+x ⎝2⎭
2
=
kQL ⎡⎛L ⎫2⎤2⎢ ⎪+x ⎥⎢⎥⎣⎝2⎭⎦
3
2
，
图2
∴在O 点，即x=0处，E H 最大，x 越大，即距O 点越远E H 越小，两侧电场强度数值关于O 点对称。
二、等量同种电荷
1、 电荷连线上 N O 如图3所示，在两电荷连线上任取一点N ，设AN 长度为x ，
图3
则N 点场强E N 为两点电荷在该点的场强E A 、E B 的矢量和，方向沿AB
连线，O 点左侧从A 指向B ，右侧从B 指向A （沿两电荷连线指向较远一侧电荷，若两电荷为等量负电荷则反之），N 点电场强度大小知：E N =
B
kQ kQ
， -22
x (L -x )
E ∴当x=
L
时，E N =0，，即在两电荷连线中点O 处场强最小， 2
从O 点向两侧逐渐增大，数值关于O 点对称，方向相反。 2、 中垂线上
如图4所示， 根据对称性知：在O 点两侧， 电场强度方向均沿中垂线方向从O 点指向
无限远（若两电荷为等量负电荷则反之），由极限分析法易得：在O 点处，E =0；在距O 点无限远处，E =0。说明中间某位置有极大值，可见：合电场强度的大小随着距O 点的距离增大，先从零增大到最大，然后逐渐减小。
在中垂线上，任取一点P ，设OP=x，由点电荷场强公式， P 点场强 E P =2 EA cos θ=
2kQ ⋅cos θ
=r 2
2kQ ⎛L ⎫x 2+ ⎪
⎝2⎭
2
⋅
2
x ⎛L ⎫x + ⎪
⎝2⎭
2
=
2kQx ⎡2⎛L ⎫2⎤⎢x + ⎪⎥
⎝2⎭⎥⎢⎣⎦
3
2
,
运用数学方法，
令y=
2kQx ⎡2⎛L ⎫⎤⎢x + ⎪⎥
⎝2⎭⎥⎢⎣⎦
2
3
2
⎡2⎛L ⎫⎤3⎡2⎛L ⎫⎤
1⨯⎢x + ⎪⎥-x ⨯⎢x + ⎪⎥⨯2x
2⎣⎝2⎭⎥⎝2⎭⎦⎢⎢⎥⎣⎦，
, 求导可得：y =
⎡2⎛L ⎫2⎤
⎢x + ⎪⎥
⎝2⎭⎥⎢⎣⎦
3
2
3
2
2
12
2
⎡2⎛L ⎫⎤⎡2⎛L ⎫⎤⎛L ⎫22
令y =0，则⎢x + ⎪⎥=3x ⎢x + ⎪⎥，即x + ⎪=3x 2，∴当
⎝2⎭⎥⎝2⎭⎦⎝2⎭⎢⎢⎥⎣⎦⎣
，
2
3
2
2
12
x =±
23kQ
，∴从中点沿中垂线向两侧，电场强度的数值L 时， E P 有最大值2
49L
先增大后减小，两侧方向相反，关于O 点对称的点数值相等。
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