初三数学上册第一章知识点

初三数学上册第一章知识点

第一课时 二次根式（1）

(a )= a ； 1. 二次根式的基本性质：当a ≥0时，2

11

例1．下列式子，哪些是二次根式，

x

x>0）

x +

y （x ≥0，y•≥0）．

11

解：

x>0）

-x ≥0，y ≥0）；

x

x +y ．

例2．当x

在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，

才能有意义．

1

解：由3x-1≥0，得：x ≥3

1

当x ≥3

在实数范围内有意义．

1

例3．当x

x +1在实数范围内有意义？

11

x +

1中的≥0和x +1中的x+1≠0．

⎧2x +3≥0⎨x +1≠0 解：依题意，得⎩

3

由①得：x ≥-2

由②得：x ≠-1

31

当x ≥-2且x ≠-1

x +1在实数范围内有意义．

x

例4(1)已知

，求y 的值． (2)

=0，求a2004+b2004的值．

第二课时1

a ≥0）是一个非负数； 2．

2=a（a ≥0）． 3、

a （a ≥0）．

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 2(1) x +3x -3; 2) x +2)x +2x -2; 3) 2x +3答案：()()()()2x -3)

第三课时 二次根式(3)

掌握 a 2=a =⎧⎨a (a ≥0)

⎩-a (≤0)

（3）例题：

1、4= 4 2、(-1. 5) 2= 1.5 3、(x -1) 2= x-1 （x ≥1）

2

4

=(2)π-3 5x +6x +、x 2-4x +4

= x-2 （x ≥2）

（4那么x 取值范围是（ ）

A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2

（5）实数p 在数轴上的位置如图所示：

(1-p ) 2+(

2-

p

p ) 22

化简：=p-1+2-p=1

一、选择题

1 ）．

22

A．0 B．3 C

．43 D．以上都不对

2．a ≥0

A

C

．

二、填空题

1

．．

2m 的最小值是_______．

． ）

三、综合提高题

1．先化简再求值：当a=9时，求

甲的解答为：原式

乙的解答为：原式

（1-a ）=1； （a-1）=2a-1=17．

两种解答中，____甲 ___的解答是错误的，错误的原因是____甲没有先判定1-a 是正数还是负数_．

2．若│1995-a │

，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）

由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000

所以

，a-2000=19952，

所以a-19952=2000．

3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│

4. 第三讲 二次根式的乘法

。 ab =教学目标：使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则

术平方根的性质：ab =a 0, ∙b ≥b 0) (a ≥a ∙b =ab =并进行相关计算；同时掌握积的算a ∙(a ≥0, b ≥0) ；能熟练应用。

利用二次根式的乘法法则，化简二次根式，使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。（最简二次根式） 二次根式相乘, 实际上就是把被开方数相乘, 而根号不变.

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1

=4

（2

解：（1）不正确．

×3=6

（2）不正确．

一、选择题

1

，•那么此直角三角形斜边长是（ ）．

A．

．

．9cm D．27cm

2．化简

）．

A

．

．

3

= ）

A．x ≥1 B．x ≥-1 C．-1≤x ≤1 D．x ≥1或x ≤-1

4．下列各等式成立的是（

）．

A ．

．

C ．

．

二、填空题

1

．

1

2．自由落体的公式为S=2gt2（g 为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_______．

第四讲

二次根式除法

一、教学目标：

1

a ≥

0，b>0）

a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标

2、二次根式运算的结果必须是最简二次根式，理解最简二次根式必须满足的条件。

例2．化简：

（1（2（3 （4

a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

8b =

=3a （2

解：（1

==8y

13y

（3

= （4

）1

．

2

A．72．7 C

．

2、化去分母中的根号：

3

（1）15b 5 （2）8 （3）a 3 (a >0, b ≥0)

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

1=2-1，

=3-2

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

+

）的值．

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 解：原式=

„„

）

=

）

）

=2002-1=2001

第五讲 二次根式的加减法（1）

教学目标：

(1)使学生了解同类二次根式的概念, 掌握判断同类二次根式的方法。

(2)使学生能正确合并同类二次根式, 进行二次根式的加减运算。

首先要对二次根式进行化简，然后考察根号下的被开方数：被开方数相同的就是同类二次根式；被开方数不同的就不是同类二次根式。

1

②

）

A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④

2、下列说法正确的是（ ）

A 、被开方数不同的两个二次根式一定不是同类二次根式；

B 、 与33不是同类二次根式；

1

C 、a 与a 不是同类二次根式；

D 、被开方数完全相同的二次根式是同 类二次根式。

3、两个正方形的面积分别为2和8. 则这两个正方形边长和为__________

35a 2+125、已知最简二次根式2和 -7a -1 是同类二次根式： ①求a 的值 ②求它们合并后的结果

多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法

（1）(a +b a -b ) (a ≥0, b ≥0)

例1．计算:

（1）

（2）（

÷

（3）

）（

（4）

）

教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

例1．将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：去括号，得：

40-16x-10x+4x2=18

移项化简，得：2x2-13x+11=0

其中二次项系数为2，一次项系数为-13，常数项为11．

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．

5

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-x =0

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）．

A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）．

A．p=1 B．p>0 C．p ≠0 D．p 为任意实数

22.2.1 直接开平方法

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 例1：解方程：x2+4x+4=1

解：由已知，得：（x+2）2=1

直接开平方，得：x+2=±1

即x+2=1，x+2=-1

所以，方程的两根x1=-1，x2=-3

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．

A．p=4，q=2 B．p=4，q= -2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2

2．方程3x2+9=0的根为（ ）．

A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根

2

3．用配方法解方程x2-3x+1=0正确的解法是（ ）．

18118

A．（x-3）2=9，x=3

± B．（x-3）2= -9，原方程无解

2522512- C．（x-3）2=9，x1=3

+3，

x2=3 D．（x-3）2=1，x1=3，x2=-3

22.2.2 配方法

第1课时

教学内容

间接即通过变形运用开平方法降次解方程．

用配方法完成x2-36x+70=0的解题

解：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，

x-18=

，

或

1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．

A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3

2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．

A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1

C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11

二、填空题

1．方程x2+4x-5=0的解是________．

x 2-x -2

2 2．代数式x -1的值为0，则x 的值为________．

3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为__ _____，•所以求出z 的值即为x+y的值，所以x+y的值为

22.2.3 公式法

教学内容

1．一元二次方程求根公式的推导过程；

2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程．

已知ax2+bx+c=0（a ≠0）且b2-4ac ≥0，它的两个根

x1=，

x2=用公式法解一元二次方

程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．

例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2

（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0

解：（1）a=2，b=-4，c=-1

b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0

== x=

∴

x1=，

x2=

（2）将方程化为一般形式

3x2-5x-2=0

a=3，b=-5，c=-2

b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0

-(-5) 5±7=2⨯36 x=

1

x1=2，x2=-3

（3）将方程化为一般形式

3x2-11x+9=0

a=3，b=-11，c=9

b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0

-(-11) ±11±=2⨯36 ∴

x=

∴

x1=，

x2=

（4）a=4，b=-3，c=1

b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7

因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．

22.2.3因式分解法

一、教学目标

1. 会用因式分解法解一元二次方程，领会因式分解法的实质是降次.

2. 培养式的变形能力，发展符号感.

解下列方程

(1)x(x-2)+x-2=0

解：(x-2)(x-2)=0

x1= x2 =2 13

(2) 2x-4=x2-2x+4

22.2. 一元二次方程——根与系数关系

2+bx +c =0(a ≠0) ax 1、一元二次方程根的判别式△=b2-4ac与根的情况之间的关系是什么？

(1) △ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两个不相等的实数根；

（2）△ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两个相等的实数根；

（3）△

ax 2+bx +c =0(a ≠0) 没有实数根；

例1、方程2x 2+kx -6=0的一根是-3，另一根是x 2，则（ ）

A 、x 2=4、k =4，B 、x2=-1，k=4，C 、 x2=1，k=-4，D 、x2=1，k=4

例2、若x 1，x 2是方程x 2-2x -1=0的两个根，则x 1+x 2+2x 1x 2的值为（ ） Ａ．-3 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．-4、

例3、已知a ，b 是方程x 2-2x -1=0的两个根，则a 2+a +3b 的值是（ ） Ａ．7 Ｂ．-5 Ｃ． Ｄ．-2

例4、已知一元二次方程x 2-2x -1=0的两个根是x 1、x 2，则x 12+x 22= ，x 1-x 2=

例5、已知关于x 的方程2x 2+3x -m +1=0的两个实数根的倒数和为3，求m 的值．

例6、已知：关于x 的一元二次方程x 2-(2m +1) x +m 2+m -2=0．

（1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；

1

（2）若方程的两个实数根x 1，x 2满足x +11

1x =1+

2m +2，求m 的值．

．