高中数学经典例题集

备考试题

1．已知两个不同的平面α, β和两条不重合的直线m , n , 有下列四个命题:

（1）若m //α, n //α, 则m //n ;

（2）若m //α, n //α, m , n ⊂β, 则α//β; （3）若m //n , n ⊂α, 则m //α;

（4）若α//β, m ⊂α, 则m //β.

其中正确命题的个数为

2．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥则n ⊥α；④若m ∥α，m ⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是 n ，3．若m , n , l 是互不重合的直线，α, β, γ是互不重合的平面，给出下列命题： ①若α⊥β, α⋂β=m , m ⊥n , 则n ⊥α或n ⊥β；

②若α//β, α⋂γ=m , β⋂γ=n , 则m //n ；

③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；

④若α⋂β=m , m //n , 且n ⊄α, n ⊄β, 则n //α且n //β； ⑤若α⋂βm , =β⋂n , γ=αl ⋂α⊥γβ=, α⊥γ, β⊥γ, 且则m ⊥n , m ⊥l , n ⊥l . 其中正确命题的序号是 .

4．设、m 、n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列四个命题正确的是 .

①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若αβ=l , βγ=m , γα=n ，则m ∥l ∥n ；④若αβ=m , βγ=l , γα=n ，且n ∥β, 则m ∥l .

5．已知a 、b 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ； ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ；

③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ； ④若a ⊥α, a⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是 .

6．如图，空间中两个有一条公共边AD 的正方形ABCD 和ADEF ．设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么

①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN 、CE 异面

以上4个命题中正确的是

7．给出下列四个命题

①平行于同一平面的两条直线平行；

②垂直于同一平面的两条直线平行；

③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的

任何直线都平行；

④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直． 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．

8． 关于直线m , n 与平面α, β，有以下四个命题：

① 若m //α, n //β且α//β，则m //n ；

② 若m ⊥α, n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ；

③若m ⊥α, n //β且α//β，则m ⊥n ；

④ 若m //α, n ⊥β且α⊥β，则m //n ；

（把你认为正确命题的序号都填上）

9．将边长为2ABCD 沿较短对角线BD 折成四面体ABCD ，点

E , F 分别为AC , BD 的中点，则下列命题中正确的是。

①EF ∥AB ；②EF ⊥BD ；③EF 有最大值，无最小值；

④当四面体ABCD ⑤AC 垂直于截面BDE .

10．如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、DD 2的中点沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体, 使D 1,D,D 2重合, 记作D

。给出下列位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面

DEF; ③DF⊥SE; ④EF⊥面SED, 其中成立的有

11．已知直线l ⊥平面α, 直线m ⊂平面β，有下面四个命题：

（1）α//β⇒l ⊥m ；（2）α⊥β⇒l //m ；（3）l //m ⇒α⊥β；（4）l ⊥m ⇒α//β

其中正确的命题______________。

12．已知直线m 、n ，平面α、β, 给出下列命题: ①若m ⊥α, n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β ②若m //α, n //β，且m //n ，则α//β ③若m ⊥α, n //β，且m ⊥n ，则α⊥β ④若m ⊥α, n //β，且m //n ，则α//β 其中正确的命题的个数为 _ _.

13．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是_____________.

① AC ∥平面CB 1D 1；

② AC 1⊥平面CB 1D 1；

③ AC 1与底面ABCD

④ AD 1与BD 为异面直线。

EF =5，AB =8，CD =6，E

BC 、AD 中点，14．已知空间四边形ABCD ，

则AB 与CD 所成的角的大小为_________

15．已知直线a 、b 及平面α，在下列命题： ①b ⊂α⎫a ⊥b ⎫a //b ⎫a //α⎫；②；③；④⇒a ⊥b ⇒b //α⇒b ⊥α⎬⎬⎬⎬⇒a //b a ⊥α⎭a ⊥α⎭a ⊥α⎭b ⊂α⎭

中，正确的有 （只填序号）.

16．设a , b 为不重合的两条直线，α, β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ； （2）若a ⊥α且b ⊥α，则a ∥b ；

（3）若a ∥α且a ∥β，则α∥β； （4）若a ⊥α且a ⊥β，则α∥β．

上面命题中，所有真命题的序号是 ★ ． ．．．

参考答案

1．1

【解析】

试题分析：选项（1）中，m //α, n //α，则m //n 或m n 或m 与n 异面，故（1）错；选项（2）中, 由面面平行的判定定理，当m 与n 相交时，可得α//β，故（2）错；选项（3）中，由线面平行的判定定理，当m 在α外时，可得m //α，故（3）错；选项（4）中，由面面平行的性质知，（4）正确，故正确命题只有一个.

考点：线面平行、面面平行的判断与性质

2．②.

【解析】

试题分析：①：有可能m //β，还有可能m ⊂β，∴①错误；②：垂直于同一直线的两不同平面平行，∴②正确；③：根据条件，n 可能在α内，可能n //α，也有可能n 与α斜交，∴③错误；④：α与β也有可能相交，∴④错误；故只有②是真命题.

考点：空间中直线与平面的位置关系.

3．②④⑤

【解析】

试题分析：①由面面垂直性质定理知：当α⊥β, α⋂β=m , m ⊥n , 且n ⊂α时，才有n ⊥β；所以①错;

②因为两平行平面被第三平面截得的交线平行，所以②对;

③命题“若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线”的逆否命题为“若m 垂直于α内的无数条直线，则m 垂直于α”，这不符线面垂直判定定理，所以③错;

④因为α⋂β=m , 所以m ⊂β又m //n , n ⊄β, 所以由线面平行判定定理得n //β，同理可得n //α，所以④对;

⑤利用一个结论，两相交平面同垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面，所以⑤对. 考点：线面平行与垂直判定定理，面面垂直性质定理

4．①④

【解析】

试题分析：根据两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，所以①正确；两平行线中的一条平行于一个平面，则另一条直线可能在该平面内，也可能与该平面平行，所以②错误；三个平面两两相交，则它们的交线相交于一点（如下图（1））或都平

n //β⎫⎫⎪⎪行（如下图2），所以③错误；如下图（2），由m =α⋂β⎬⇒m //n ，l =γ⋂β⎬⇒l //n ，

⎪⎪n ⊂γn ⊂α⎭⎭n //β

所以由平行的传递性可知l //m ，所以④正确，综上可知①④正确.

考点：1. 空间中的平行与垂直关系的判定与性质；2. 命题真假的判断.

5．①④

【解析】

试题分析：若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，①正确；两条直线和同一个平面所成的角相等，位置关系不确定，②错误；垂直于同一个平面的两个平面可平行可相交，③错误；

垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确.

考点：1、空间直线和平面的位置关系；2、平面和平面的位置关系；3、直线和直线的位置关系.

6．1，2，3

【解析】：（1）取AD 的中点H ，连接NH ，MH 则NH//DE，

，

又AD⊥DE，AD⊥CD所以AD⊥NH，AD⊥MH又NH∩MH=H 所以AD⊥面MHN 所以AD⊥MN 所以（1）正确（2）由（1）知NH//DE，

则面MHN∥面CDE 又MN ⊂面MHN 所以MN∥平面CDE 所以（2）正确

（3）连接AC 则AC 过点M 在三角形ACE 中M ，N 为中点所以MN∥CE 所以（3）正确，（4）错，故答案为：①②③

7．②④

【解析】①错，两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面.

②正确. ③错，这条直线与这个平面内的直线可能异面也可能平行.

④正确.

8．②③

【解析】①错，m 、n 可能相交，也可能导面．②正确．是利用向量法求二面角的依据． ③正确．因为m ⊥α, n //β且α//β, 所以m ⊥β, m ⊥n .

④错．M 与n 可能异面．

9．②④⑤

【解析】解：因为将边长为2，一个内角为60︒的菱形ABCD 沿较短对角线BD 折成四面体ABCD ，点E , F 分别为AC , BD 的中点，则可知EF ⊥BD ，当四面体ABCD 的体积最

AC 垂直于截面BDE 成立。

10．①③

【解析】解：由题意因为SD ⊥DF ，SD ⊥DE ，DE ⊥DF ，DE=DF

显然①正确；②错误；③正确；④错误．

故答案为：①与③

11．① ④ 【解析】解：因为知直线l ⊥平面α, 直线m ⊂平面β，那么

（1）α//β⇒l ⊥m ；线面垂直的性质定理得到，成立

（2）α⊥β⇒l //m ；不一定平行可能相交。

（3）l //m ⇒α⊥β；只有线在面内，才可以得到结论。错误

（4）l ⊥m ⇒α//β，成立。

12．1个.

【解析】①正确，是利用向量法求二面角的依据. ②错. ③错. m ⊥n 并不能证明m ⊥β, 所以是α⊥β错误的. ④m //n , m ⊥α, m //n , n ⊥α, 所以α//β. 正确的个数为1个

13．②③④

【解析】因为AC 与平面CB 1D 1有一公共点C ，所以AC 平面CB 1D 1，命题①不正确；因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以AC 所以AA 11⊥B 1D 1, AA 1⊥面A 1⊥B 1D 1，1B 1C 1D 1，

从而可得B 1D 1⊥面AAC 所以B 1D 1⊥AC 1。同理可得，所以AC 1⊥面CB 1D 1，CD 1⊥AC 1，11，

命题②正确；

因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以CC 1⊥面ABCD ，则∠C A C 1是AC 1与底面ABCD 所成角。设正方体的边长为1，在R t 中

，C C ∆C A =1C 1=1, A C ，所以

tan ∠CAC 1=CC 1，命题③正确； =AC 2

从图形上看，AD 1与BD 不相交也不平行，所以是异面直线，命题④正确。 14．

90

【解析】略

15． ① ③

【解析】略

16．（2）（4）

【解析】