利用分布函数或密度函数判断独立性的小技巧
08-22
利用分布函数或密度函数判断独立性的小技巧
一般利用定义 F(x,y)=FX (x)⋅ FY (y)，x,y ∈R 或充要条件 f(x,y)=fX (x)⋅ fY (y)，x,y 为其公共连续点
判断随机变量相互独立与否时，需要由联合分布求边缘分布。事实上，如果我们能注意到F X (x)或f X (x)是x 的函数，F Y (y)或f Y (y)是y 的函数即可发现：只要F(x,y)或f(x,y)能做这样的因式分解便足以判断独立性成立了。
但有一个地方要注意：因式分解要对任意的x,y ∈R 或在x,y 为其公共连续点处成立，否则仍是不相互独立的，例如P119.B3
联合密度为f (x , y ) =⎨
⎧8xy , ⎩0
0
else .
看似可以分解为f (x , y ) =4x ⋅2y ，但这种分解没有考虑后面x,y 的范围，是错误的，
事实上这个例子不存在这种分解形式。直接求出
⎧1
⎪8xydy
f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨⎰x
-∞⎪0⎩
+∞
0
⎧4x (1-x 2)
=⎨
0⎩
0
⎧y
⎪8xydx
f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎨⎰0
-∞⎪0⎩
+∞
0
⎧4y 3
=⎨⎩0
0
显然， “f(x,y)=fX (x)⋅ fY (y)，x,y 为其公共连续点”不成立，故不相互独立。
⎧
⎪8xy ,
但是，如果将联合密度改为f (x , y ) =⎨
⎪⎩0
0
else .
22,
因式分解成立，随
即可判断随机变量相互独立。因为
⎧
⎪
f (x , y ) =⎨8xy ,
⎪⎩0
⎧2x , =⎨⎩0
0
else .
⎧
0
∙⎨
else . ⎪⎩0
0
else .
22,
22,
=f X (x ) ∙f Y (y )