初中函数压轴题
初中函数压轴题
1、(2010年四川省眉山)如图,Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,
A 、B 两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y =且顶点在直线x =
22
x +bx +c 经过B 点,3
5
上. 2
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的,当四边形ABCD 是菱形时,试
判断点C 和点D 是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M 作MN 平行于
y 轴交CD 于点N .设点M 的横坐标为t ,MN 的长度为l .求l 与t 之间的函数关系式,并求l 取最大值时,点M 的坐标.
2、(2010年山东聊城) 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的对称轴为x =1,且抛
物线经过A (—1,0)、C (0,—3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x =1上求一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,并求出此时点M 的坐标;
(3)设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点,求使∠PCB =90°
的点P 的坐标. 3、(2010重庆市潼南县) 如图, 已知抛物线y =
12
x +bx +c 与y 轴相交于C ,与x 轴2
相交于A 、B ,点A 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,-1). (1)求抛物线的解析式;
(2)点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D ,连结DC ,当△DCE 的面积
最大时,求点D 的坐标;
(3)在直线BC 上是否存在一点P ,使△ACP 为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标,
若不存在,说明理由.
4、(2010福建德化)如图1,已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ,顶点M 的坐标为 (2,4);
矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合,AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上,且AD=2,AB=3. (1)求该抛物线的函数关系式; (2)将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P 也以
相同的速度从点A 出发向B 匀速移动,设它们运动的时间为t 秒(0≤t ≤3),直线AB 与该抛物线的交点为.....
N (如图2所示).
5
① 当t=时,判断点P 是否在直线ME 上,并说明理由;
2
② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ,试问S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
5
y 轴交于点B(0,3) 。 (
(2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积;
(3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
6、(2009
重庆綦江)如图,已知抛物线y =a (x -1) 2+a ≠0) 经过点A (-2,0) ,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM ∥AD .过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC . (1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为t (s ) .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若OC =OB ,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s ) ,连接PQ ,当
t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.
7、(2009年内蒙古包头)已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象经过点A (1,0) ,B (2,0) ,C (0,-2) ,直线
x =m (m >2)与x 轴交于点D .
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x =m (m >2)上有一点E (点E 在第四象限),使得E 、D 、B 为顶点的三角形与以A 、O 、C 为顶点的三角形相似,求E 点坐标(用含m 的代数式表示);
F ABEF (3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点,使得四边形为平行四边
形?若存在,请求出m 的值及四边形ABEF 的面积;若不存在,请说明理由.
8、(2009年济南)已知:抛物线的对称轴为x=-1与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,其中A (-3, 0)、C (0,-2).
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得△PBC 的周长最小.请求出点P 的坐标.
(3)若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E .连接PD 、PE .设CD 的长为m ,△PDE 的面积为S .求S 与m 之间的函数关系式.试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由. 9、(2009年新疆乌鲁木齐市)如图9,在矩形OABC 中,已知A 、C 两点的坐标分别为
图
9
D 为OA 的中点.设点P 是∠AOC 平分线上的一个动点(不与点O 重合). A (4,、0) C (0,2) ,
(1)试证明:无论点P 运动到何处,PC 总与PD 相等;
(2)当点P 运动到与点B 的距离最小时,试确定过O 、P 、D 三点的抛物线的解析式;
(3)设点E 是(2)中所确定抛物线的顶点,当点P 运动到何处时,△PDE 的周长最小?求出此时点P 的坐标和
△PDE 的周长;
(4)设点N 是矩形OABC 的对称中心,是否存在点P ,使∠CPN =90°?若存在,请直接写出点P 的坐标.
10、如图,在△ABC 中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ 的一边QP 在边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H 。 (1)求证:
AH EF
=; AD BC
(2)设EF=x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;
(3)当矩形EFPQ 的面颊最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式。
11、如图,已知抛物线C 1:y =a (x +2)-5的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),点B 的横
2
坐标是1.
(1)求P 点坐标及a 的值;
(2)如图(1),抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的解析式;
(3)如图(2),点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4.抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点(点E 在点F 的左边),当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标.
12、(2010莆田)如图1,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =1,OC =2,点D 在边OC 上且OD =
5
. 4
(1)求直线AC 的解析式; (2)在y 轴上是否存在点P ,直线PD 与矩形对角线AC 交于点M ,使得△DMC 为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. ....
(3)抛物线y =-x 2经过怎样平移,才能使得平移后的抛物线过点D 和点E (点E 在y 轴正半轴上),且△ODE 沿DE 折叠后点O 落在边AB 上O ′处?
13、(2010龙岩)如图,抛物线交x 轴于点A (-2,0),点B (4,0),交y 轴
于点C (0,-4).
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D 的坐标;
(2)若直线y =-x 交抛物线于M ,N 两点,交抛物线的对称轴于点E ,连接BC ,EB ,EC .试判断△EBC 的形状,并加以证明;
(3)设P 为直线MN 上的动点,过P 作PF ∥ED 交直线MN 下方的抛物线于点F .问:在直线MN 上是否存在点P ,使得以P 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P 及相应的点F 的坐标;若不存在,请说明理由. 14、(2008莆田)如图:抛物线经过A (-3,0)、B (0,4)、C (4,0)三点.
(1) 求抛物线的解析式.
(2)已知AD = AB(D 在线段AC 上),有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动,经过t 秒的移动,线段PQ 被BD 垂直平分,求t 的值; (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由。
15、如图16,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90︒,AD = 6,BC = 8,AB =33,点M 是BC 的中点.点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动,到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回;点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动.在点P ,Q 的运动过程中,以PQ 为边作等边三角形EPQ ,使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧.点P ,Q 同时出发,当点P 返回到点M 时停止运动,点Q 也随之停止.
设点P ,Q 运动的时间是t 秒(t >0) .
(1)设PQ 的长为y ,在点P 从点M 向点B 运动的过程中,写出y 与t 之间的函数
关系式(不必写t 的取值范围).
(2)当BP = 1时,求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积.
(3)随着时间t 的变化,线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖,被覆盖线段的长度在
某个时刻会达到最大值,请回答:该最大值能否持续一个时段?若能,直接写出t 的取值范围;若不能,请..说明理由. 16、如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,BC =6,AD =3,∠DCB =30°. 点E 、F 同时从B 点出发,沿射线BC 向右匀速移动. 已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍,以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG .设E 点移动距离为
x (x >0).
⑴△EFG 的边长是____(用含有x 的代数式表示),=2时,点G 的位置在_______;
⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ,求 ①当0<x ≤2时,y 与x 之间的函数关系式; ②当2<x ≤6时,y 与x 之间的函数关系式;
⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时,存在最大值,并求出最大值.
17、如图,已知直线 交坐标轴于A ,B 两点,以线段AB 为边向上作
正方形ABCD ,过点A ,D ,C 的抛物线与直线另一个交点为E . (1)请直接写出点C , D 的坐标; (2)求抛物线的解析式;
(3)若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑,
直至顶点D 落在x 轴上时停止.设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ,求S 关于滑行时间t 的函数关系式,并写出相应自变量t 的取值范围;
(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时D 停
止,求抛物线上C , E 两点间的抛物线弧所扫过的面积.
当x
y
x
1
x +1
2
y =-
(第17题)
18、在△ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,CD 是斜边AB 上的
高,点E 在斜边AB 上,过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ,设AE =x ,△AEF 的面积为y . (1)求线段AD 的长;
(2)若EF ⊥AB ,当点E 在线段AB 上移动时,
①求y 与x 的函数关系式(写出自变量x 的取值范围) A
②当x 取何值时,y 有最大值?并求其最大值;
(3)若F 在直角边AC 上(点F 与A 、C 两点均不重合),点E 在斜边AB 上移
动,试问:是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分?若存在直线EF ,求出x 的值;若不存在直线EF ,请说明理由.
19、如图1,已知梯形OABC ,抛物线分别过点O (0,0)、A (2,0)、B (6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标;
(2)将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O 1、A 1、
C 1、B 1,得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1.设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ,A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1,y 1) 、(x 2,y 2) .用
含S 的代数式表示x 2-x 1,并求出当S =36时点A 1的坐标;
(3)在图1中,设点D 坐标为(1,3) ,动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动,动点Q
从点D 出发,以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动.P 、Q 两点同时出发,当点Q 到达点M 时,P 、Q 两点同时停止运动.设P 、Q 两点的运动时间为t ,是否存在某一时刻t ,使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明...
理由.
20、(2010的
图象经过点A (3,0) ,
B (2,-3) ,C (0,-3) .
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;
(2)点P 从B 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC 向C 点运动,点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t 秒.
①当t 为何值时,四边形ABPQ 为等腰梯形;
第23题图 图2
②设PQ 与对称轴的交点为M ,过M 点作x 轴的平行线交AB 于点N ,设四边形ANPQ 的面积为S ,求面积S 关于时间t 的函数解析式,并指出t 的取值范围;当t 为何值时,
21、(中山市)如图(1),(2)所示,矩形ABCD 的边长AB =6,BC =4,点F 在DC 上,DF =2.动点M 、N 分别从点D 、
B 同时出发,沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动(点M 可运动到DA 的延长线上),当动点N 运动到点A 时,M 、N 两点同时停止运动.连接FM 、FN ,当F 、N 、M 不在同一直线时,可得△FMN ,过△FMN 三边的中点作△PWQ .设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒,M 、N 运动的时间为x 秒.试解答下列问题: (1)说明△FMN ∽△QWP ; (2)设0≤x ≤4(即M 从D 到A 运动的时间段).试问x 为何值时,△PWQ 为直角三角形?当x 在何范围时,△PQW 不为直角三角形?
(3)问当x 为何值时,线段MN 最短?求此时MN 的值.
第22题图(1)
22、(江苏省苏州市 )如图,以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B . 已知A 、B 两点的坐标分别为(3,0)、4). (0, (1)求抛物线的解析式;
(2)设M (m ,n )是抛物线上的一点(m 、n 为正整数),且它位于对称轴的右侧. 若以M 、B 、O 、A 为顶点的四
边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点M 的坐标;
(3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点P ,PA 2+PB 2+PM 2>28是否总成立?请说明理
由.
23、( 达州市 ) 如图13,对称轴为x =3的抛物线y =ax +2x 与x 轴相交
2
于点B 、O .
(1)求抛物线的解析式,并求出顶点A 的坐标;
(2)连结AB ,把AB 所在的直线平移,使它经过原点O ,得到直线l. 点P 是l 上一动点. 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形面积为S ,点P 的横坐标为t ,当0<S ≤18时,求t 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当t 取最大值时,抛物线上是否存在点Q ,使△OP Q 为直角三角形且OP 为直角边. 若存在, 直接写出点Q 的坐标;若不存在,说明理由. 24、(茂名市)如图,在直角坐标系x O y 中,正方形OCBA 的顶点A 、C 分别在y 轴、
,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B 两点,x 轴上,点B 坐标为(6,6)且3a -b =-1.
(1)求a ,b ,c 的值;
(2)如果动点E 、F 同时分别从点A 、点B 出发,分别沿A →B 、B →C 运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E
到达终点B 时,点E 、F 随之停止运动.设运动时间为t 秒,∆EBF 的面积为S . ①试求出S 与t 之间的函数关系式,并求出S 的最大值; ②当S 取得最大值时,在抛物线上是否存在点R ,使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R 的坐标;如果不存在,请说明理由.
25、(甘肃省 如图,抛物线与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,-3),设抛物线的顶点为D .
(1)求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标;
(2)以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?
(3)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似?
若存在,请指出符合条件的点P 的位置,并直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 26、(天津市 )在平面直角坐标系中,已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C ,顶点为E .
(Ⅰ)若b =2,c =3,求此时抛物线顶点E 的坐标;
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足 S △BCE = S △ABC ,求此时直线BC 的解析式;
图
13
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形A B E C 中满足 S △BCE = 2S △AOC ,且顶点E 恰好落在直线y =-4x +3上,求此时抛物线的解析式.
27、(徐州市 )如图,已知二次函数y=-
123
x +x +4的图象与y 轴交于点A ,与x 42
轴交于B 、C 两点,其对称轴与x 轴交于点D ,连接AC .
(1)点A 的坐标为_______ ,点C 的坐标为_______ ;
(2)线段AC 上是否存在点E ,使得△EDC为等腰三角形? 若存在,求出所有符合条件的点E 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA 、PC ,若所得△PAC的面积为S ,则S 取何值时,相应的点P 有且只有2个? 28、(山东省烟台市 )如图,已知抛物线y =x 2+bx -3a 过点A (1,0),B (0,-3),与x 轴交于另一点C .
(1)求抛物线的解析式; (2)若在第三象限的抛物线上存在点P ,使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形,求点P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q ,使以P ,Q ,B ,C 为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
29、(河南省)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (-4, 0) ,B (0, -4) ,C (2, 0) 三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S .求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值.
(3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y =-x 上的动点,判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标. 30、(贵州省遵义市)如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的顶点坐
标为Q (2, -1),且与y 轴交于点C (0, 3),与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的右侧),
点P 是该抛物线上一动点,从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合),过点P 作PD ∥y 轴,交AC 于点D . (1)求该抛物线的函数关系式;
(2)当△ADP 是直角三角形时,求点P 的坐标; (3)在问题(2)的结论下,若点E 在x 轴上,点F 在抛物线上,问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形?若存在,求点F 的坐标;若不存在,请说明理由. 32、如图11,抛物线y =a (x +3)(x -1) 与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 右侧),过点A 的直线交抛物线于另一点C ,点C 的坐标为(-2,6).
(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式;
(2)P是线段AC 上一动点,过点P 作y 轴的平行线,交抛物线于点M ,交x 轴于点N.
①求线段PM 长度的最大值;
(1)
(27题图)
②在抛物线上是否存在这样的点M ,使得△CMP 与△APN 相似?如果存在,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理
由. 33、(08山东临沂26题)如图,已知抛物线与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0
)两点,
与y 轴交于点C (0,3)。 ⑴求抛物线的解析式;
⑵设抛物线的顶点为D ,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ,使得△PDC 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P 的坐标; 若不存在,请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点,以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M 的坐标。
34、(08辽宁12市26题)26.如图16
,在平面直角坐标系中,直线y =与x 轴交于点A ,与y 轴交于点
C
,抛物线y =ax x +c (a ≠0) 经过A ,B ,C 三点.
2
(1)求过A ,B ,C 三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 为直角三角形,若存在,直接写出P 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线AC 上是否存在一点M ,使得△MBF 的周长最小,若存在,求出M 点的坐标;若不存在,请说明理由.
35、(09四川内江)如图所示,已知点A (-1且t >0,,0) ,B (3,0) ,C (0,t ) ,
tan ∠BAC =3,抛物线经过A 、B 、C 三点,点P (2,m ) 是抛物线与直线l :y =k (x +1) 的一个交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)对于动点Q (1,n ) ,求PQ +QB 的最小值;
(3)若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动,求△AMP 的边AP 上的高h 的最大值.
36、(09四川南充)21.如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A (3,3) . (1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点B (6,m ) ,求m 的值和这个一次函数的解析式;
(3)第(2)问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E ,使四边形O ECD 的面积S 1与四边形O ABD 的面积S 满足:S 1=求点E 的坐标;若不存在,请说明理由.
2
37、(09湖南长沙)26.如图,二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的
2
S ?若存在,3
图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C .连结AC 、BC ,A 、C
两点的坐标分别为A (-3,
0) 、C (0,且当x =-4和x =2时二次函数的函数值y 相等.
(1)求实数a ,b ,c 的值;
(2)若点M 、N 同时从B 点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t 秒时,连结MN ,将△BMN 沿MN 翻折,B 点恰好落在AC 边上的P 处,求t 的值及点P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ,使得以B ,N ,Q 为项点的三角形与△
ABC 相似?
如果存在,请求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.
38、(09湖南益阳)20. 阅读材料:
A 如图12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,
外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ) ,中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h ) ”. 我们可得出一种计算
三角形面积的新方法:S ∆ABC
高乘积的一半. 解答下列问题:
(1)求抛物线和直线AB 的解析式;
A
x
1
=ah ,即三角形面积等于水平宽与铅垂2
图12-1
如图12-2,抛物线顶点坐标为点C (1, 4), 交x 轴于点A (3, 0) ,交y 轴于点B .
(2)点P 是抛物线(在第一象限内) 上的一个动点,连结PA ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及S ∆CAB ;
(3)是否存在一点P ,使S △PAB =
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S △CAB ,若存在,求出P 8
点的坐标;若不存在,请说明理由.
39、(09湖南株洲)23.如图,已知∆ABC 为直角三角形,
∠ACB =90︒,AC =BC , 点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为(3,
(m >0),线段AB 与y 轴相交于点D ,以P (1,0)为顶m )
点的抛物线过点B 、D .
(1)求点A 的坐标(用m 表示); (2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结 BQ 并延长交AC 于点F ,试证明:
FC (AC +EC ) 为定值.
40、(浙江义乌市) 如图,抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),
直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中
C 点的横坐标为2.
(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式;
(2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值;
(3)点G 抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由. 41、如图12,直线y =-
4
x +4与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,已知二次函数的图象3
经过点A 、C 和点B (-1, 0).
(1)求该二次函数的关系式;
(2)设该二次函数的图象的顶点为M ,求四边形AOCM 的面积; (3)有两动点D 、E 同时从点O 出发,其中点D 以每秒
3
个单位长度的速度沿折线OAC 2
按O →A →C 的路线运动,点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动,当D 、E 两点相遇时,它们都停止运动. 设D 、E 同时从点O 出
发t 秒时,∆ODE 的面积为S .
①请问D 、E 两点在运动过程中,是否存在DE ∥OC ,若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由; ②请求出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; ③设S 0是②中函数S 的最大值,那么S 042、(湖北咸宁卷)如图,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点,点A 在x 轴的正半轴上,点
C 在y 轴的正半轴上,OA =5,OC =3.
(1)在AB 边上取一点D ,将纸片沿OD 翻折,使点A 落在BC 边上的点E 处,求点D ,E 的坐标;
(2)若过点D ,E 的抛物线与x 轴相交于点F (-5,0) ,
程;
(3)若(2)中的抛物线与y 轴交于点H ,在抛物线上
是否存在点P ,使△PFH 的内心在坐标轴上?若存在,...求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.O (4)若(2
)中的抛物线与y 轴相交于点H ,点Q 在线段OD 上移动,作直线HQ ,当点Q 移动到什么位置时,O ,D 两点到直线HQ 的距离之和最大?请直接写出此时点Q 的坐标及直线HQ 的解析式. 43、(09黑龙江牡丹江)如图,
x (第29题图①)
x
ABCD 在平面直角坐标系中,AD =6,若OA 、OB 的
2
长是关于x 的一元二次方程x -7x +12=0的两个根,且OA >OB .
(1)求sin ∠ABC 的值. (2)若E 为x 轴上的点,且S △AOE
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=,求经过D 、E 两点的直线的解析式,并判3
断△AOE 与△DAO 是否相似?
(3)若点M 在平面直角坐标系内,则在直线AB 上是否存在点F ,使以A 、C 、F M 为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出F 点的坐标;若不存在,请说明理由. 44、(山东省泰州市) 29.如图①,Rt △ABC 中,∠B =90,∠CAB =30.它的顶点A 的坐标为(10,0) ,顶点B 的坐标为(52) 出发,沿y 轴,AB =10,点P 从点A 出发,沿A →B →C 的方向匀速运动,同时点Q 从点D (0,正方向以相同速度运动,当点P 到达点C 时,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒. (1)求∠BAO 的度数.
(2)当点P 在AB 上运动时,△OPQ 的面积S (平方单位)与时间t (秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),求点P 的运动速度.
(3)求(2)中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标.
(4)如果点P ,Q 保持(2)中的速度不变,那么点P 沿AB 边运动时,∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而增大;沿着BC 边运动时,∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小,当点P 沿这两边运动时,使∠OPQ =90的点P 有几个?请说明理由.
45、如图,已知二次函数y =ax 2-2ax +3(a
且OB =3OA ,一次函数y =kx +b 的图像经过点A 、点B .
(1)求一次函数的解析式;
(2)求顶点P 的坐标;
(3)平移直线AB 使其过点P ,如果点M 在平移后的直线上,
且tan ∠OAM =3,求点M 的坐标. 2
(4)向下平移直线AB ,交y 轴与点H ,与抛物线的对称轴交点G ,在平移的过程中, AHGB 是否可以是菱形,若可
以求出平移后的解析式,若不行,试说明理由。
46、已知二次函数y=-123x +x +4的图象与y 轴交于点A ,与x 轴 42
交于B 、C 两点,其对称轴与x 轴交于点D ,连接AC .
(1)点A 的坐标为_______ ,点C 的坐标为_______ ;
(2)线段AC 上是否存在点E ,使得△EDC 为等腰三角形? 若存在,求出所有符合条件的
点E 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA 、PC ,若所得△PAC 的面积为S ,
则S 取何值时,相应的点P 有且只有2个?
247、关于x 的一元二次方程x -4x +c =0有实数根,且c 为正整数.
(1)求c 的值;
(2)若此方程的两根均为整数,在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线y =x 2-4x +c 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 左侧),与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点,且四边形OBPC 为直角梯形,求PC 的长;
(3)将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移,设顶点D 的坐标为(m , n ), 当抛物线与(2)中的直角梯形OBPC 只有两个交点,且一个交点在PC 边上时,直接写出m 的取值范围.
48、点P 为抛物线y =x 2-2mx +m 2(m 为常数,m >0) 上任一点,将抛物线绕顶点G
逆时针旋转90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方),点Q 为
点P 旋转后的对应点.
(1)当m =2,点P 横坐标为4时,求Q 点的坐标;
(2)设点Q (a , b ) ,用含m 、b 的代数式表示a ;
(3) 如图,点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上,点C 为OD 的中点,QO 平分∠AQC ,AQ =2QC ,当QD =m 时,求m 的值.
49、(南开中学2009年5月中考模拟)如图1,矩形OABC 的顶点O 为原点,点E 在AB 上,把∆CBE 沿CE 折叠,使点B 落在OA 边上的点D 处,点A 、D 坐标分别为(10,0)和(6,0),抛物线y =
(1)求C 、B 两点的坐标及该抛物线的解析式;
(2)如图2,长、宽一定的矩形PQRS 的宽PQ =1,点P 沿(1)中的抛物线滑动,在滑动过程中PQ //x 轴,且RS 在PQ 的下方,当P 点横坐标为-1时,点S 距离x 轴
比为2:3时,求点P 的坐标;
12x +bx +c 过点C 、B . 511个单位,当矩形PQRS 在滑动过程中被x 轴分成上下两部分的面积..5
(3)如图3,动点M 、N 同时从点O 出发,点M 以每秒3个单位长度的速度沿
折线ODC 按O →D →C 的路线运动,点N 以每秒8个单位长度的速度沿折
线OCD 按O →C →D 的路线运动,当M 、N 两点相遇时,它们都停止运
动.设M 、N 同时从点
O 出发t 秒时,∆OMN
的面积为S .①求出S 与
t 的函数关系式,并写出
②设S 0是t 的取值范围:
①中函数S 的最大值,那
么S 0
50、如图,在Rt △ABO 中,OB=8,tan∠OBA=3. 若以O 为坐标原点,OA 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐4
标系,点C 在x 轴负半轴上,且OB =4OC. 若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C .
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设该二次函数的图象的顶点为P ,求四边形OAPB 的面积;
(3)有两动点M,N 同时从点O 出发,其中点M 以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB 按O →A →B 的路线运动,点N
以每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动,当M 、N 两点相遇时,它们都停止运动. 设M 、N 同时从点O 出发t 秒时,△OMN 的面积为S .
①请求出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;
②判断在①的过程中,t 为何值时,△OMN 的面积最大?
51、如图,已知抛物线y =a x 2+b x +c 经过O(0,0),A(4,0),B(3,)
三点,连接AB ,过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.
(1) 求这条抛物线的函数关系式.
(2) 两个动点P 、Q 分别从O 、A 同时出发, 以每秒1个单位长度
的速度运动. 其中,点P 沿着线段0A 向A 点运动,点Q 沿着线段AB 向
B 点运动. 设这两个动点运动的时间为t (秒) (0<t ≤2) ,△PQA 的面
积记为S.
① 求S 与t 的函数关系式;
② 当t 为何值时,S 有最大值,最大值是多少?并指出此时△PQA
的形状;
(3)是否存在这样的t 值,使得△PQA 是直角三角形? 若存在,请直接写出此时P 、Q 两点
的坐标;若不存在,请说明理由.
52、[2009年海淀区二模]24、如图,已知抛物线y =(3-m ) x 2+2(m -3) x +4m -m 2的顶点A 在双曲线y =3上,直线y =mx +b 经过点A ,与y 轴交于点B ,与x 轴交于点C. x
(1)确定直线AB 的解析式;
(2)将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒,与x 轴交于点D ,与y 轴交于点E ,求sin ∠BDE 的值.
(3)过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ,点M 在直线BG 上,且到抛物线的对称轴的距 离
为6,设点N 在直线BG 上,请直接写出使得∠AMB +∠ANB =45︒的点N 的坐标.
53、[2009年大兴二模]25. 已知, 抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (-3, 0) , B (1, 0) , C (0, ) ,此抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;(2)把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180,得到四边形AEBC . ①求E 点的坐标;
②试
判断四边形AEBC 的形状,并说明理由.
(3)试探求:在直线BC 上是否存在一点P ,使得△PAD 的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.
54、如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a >0) 交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点左侧),交y 轴于点C 。已知B (8,0),a n t ∠A B C ,△ABC 的面积为8. =1
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若动直线EF (EF//x轴)从点C 开始,以每秒1个长度单位的速度沿y 轴负方向平移,且交y 轴、线段BC 于E 、
F 两点,动点P 同时从点B 出发,在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动。联结FP ,设运动时间t
EF ⋅OP 秒。当t 为何值时,的值最小,求出最大值; (3) 在满足(2)的条件下,是否存在t 的值,使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似。若存在,试求出t 的值;
若不存在,请说明理由。
y
55、(2010年重庆) 今年我国多个省市遭受严重干旱.受旱灾的影响,4月份,我市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周
进入5月,/千克下降至第2周的
2.4 元/千克, 且y 与周数x 的变化情况满足二次函数y =-12x +bx +c . 20
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式,并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式;
(2)若4月份此种蔬菜的进价m (元/千克)与周数x 所满足的函数关系为m =
千克)与周数x 所满足的函数关系为m =-1x +1. 2,5月份的进价m (元/41x +2.试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最5
大?且最大利润分别是多少?
(3)若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜.从5月的第3周起,由于受暴雨的影响,此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少a %,政府为稳定蔬菜价格,从外地调运2吨此种蔬菜,刚好满足本地市民的需要,且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0. 8a %.若在这一举措下,此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平,请你参考以下数据,通过计算估算出a 的整数值.