等差数列及其前n项和随堂练习(含答案)

等差数列及其前n 项和

(时间：45分钟 分值：100分)

一、选择题

1

1. [2013·鸡西质检]已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝S ＝a ，则S 40＝( )

223A. 290 C. 410 答案：C

1140×391

解析：S 2＝a 3，∴2a 1＋d ＝a 1＋2d ，∴d ＝，∴S 40＝40××＝410.

22222. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( ) A. 24 C. 60 答案：B

⎧⎧⎪a 5＝a 1＋4d ＝8⎪a 1＝0

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎨，解得⎨，则

⎪S 3＝3a 1＋3d ＝6⎪⎩⎩d ＝2

B. 390 D. 430

B. 48 D. 72

S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48，选B.

3. [2013·江西六校联考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A. 72 C. 54 答案：A

解析：∵a 4＝18－a 5，∴a 4＋a 5＝18， (a 1＋a 8)×8(a 4＋a 5)×8

S 8＝＝＝4(a 4＋a 5) ＝72.

22

4. [2013·安徽淮北模拟]若等差数列{a n }的公差d

A. 5 C. 5或6 答案：C

解析：∵a 1＋a 11＝0，∴a 1＋a 1＋10d ＝0， 即a 1＝－5d . ∴a n ＝a 1＋(n －1) d ＝(n －6) d . 由a n ≥0得(n －6) d ≥0，∵d 0，a 6＝0.

所以前5项或前6项的和最大．

B. 6 D. 6或7 B. 68 D. 90

S S 5. [2013·金版原创]在等差数列{a n }中，a 1＝－2012，其前n 项和为S n ，若2，

1210则S 2012的值等于 ( )

A. －2011 C. －2010 答案：B

S 解析：根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项

n S S ＝a 1＝－2012，公差d ＝1，故2012＋(2012－1) ×1＝－1，所以S 2012＝－2012. 12012

6. [2012·浙江高考]设S n 是公差为d (d ≠0) 的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )

A. 若d

C. 若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D. 若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案：C

解析：本题考查等差数列的通项、前n 项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．

法一：特值验证排除．选项C 显然是错的，举出反例：－1,0,1,2,3，…满足数列{S n }是递增数列，但是S n >0不恒成立．

法二：由于S n ＝na 1＋

n (n －1)d 2d

＝n ＋(a 1－) n ，根据二次函数的图象与性质知当d

B. －2012 D. －2013

时，数列{S n }有最大项，即选项A 正确；同理选项B 也是正确的；而若数列{S n }是递增数列，那么d >0，但对任意的n ∈N *，S n >0不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的；故应选C.

二、填空题

7. [2013·济南模拟]若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 4＝________. 答案：7

5(a 1＋a 5)

解析：依题意得S 5＝5a 3＝25，故a 3＝5，数列{a n }的公差d ＝a 3－a 2＝2，所

2以a 4＝a 3＋d ＝7.

a 8. [2013·天津模考]已知数列{a n }为等差数列，若

a 6

则使S n >0的n 的最大值为________．

答案：11

11(a 1＋a 11)a 解析：∵0，a 70，

a 6212(a 1＋a 12)

S 12＝6(a 6＋a 7)0的n 的最大值为11.

2

9．[2013·洛阳统考]在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且S 2011＝2011，a 1007＝－3，则S 2012＝________.

答案：－2012 ∵S 2011＝2011， ∴

(a 1＋a 2011)×2011

2011.

2

∴a 1＋a 2011＝2. 又∵a 1＋a 2011＝2a 1006， ∴a 1006＝1. 又∵a 1007＝－3，

(a 1＋a 2012)×2012(a 1006＋a 1007)×2012

∴S 2012＝22＝

(1－3)×2012

2012.

2

三、解答题

10. 数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负． (1)求数列的公差d ； (2)求前n 项和S n 的最大值； (3)当S n >0时，求n 的最大值．

解：(1)由已知a 6＝a 1＋5d ＝23＋5d >0，a 7＝a 1＋6d ＝23＋6d

解得：－

56又d ∈Z ，∴d ＝－4.

(2)∵d 0，a 7

∴当n ＝6时，S n 取得最大值， 6×5

S 6＝6×23＋×(－4) ＝78.

2

n (n －1)

(3)S n ＝23n ＋×(－4)>0，整理得：

225

n (50－4n )>0，∴0

2所求n 的最大值为12.

2

11. [2013·衡水月考]已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a n ＋n

－4.

(1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式．

2(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 1－2a 1－3＝0，

解得a 1＝3(a 1＝－1舍去) ． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，

2两式相减得2a n ＝a 2n －a n －1＋1， 2即a 2n －2a n ＋1＝a n －1，

也即(a n －1) 2＝a 2n －1，

因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1， 而a 1＝3，

所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此{a n }为等差数列．

(2)解：由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1) ＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.

212. [2013·江南十校联考]若数列{a n }满足：a 1＝，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1) ＝2.

3(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；

11115

(2)求使＋…＋n .

a 1a 2a 3a n 2解：(1)由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1) ＝2可得：

22

a n ＋1－2a n ＋a n －1(a n ＋1－a n ) －(a n －a n －1)

33

42

∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝为公差的等差数列．

33422

(2)由(1)知a n ＋1－a n (n －1) ＝(n ＋1) ，

333

21

于是累加求和得：a n ＝a 1＋(2＋3＋…＋n ) ＝n (n ＋1) ，

33111

∴3() ， a n n n ＋1

111135∴＋＋…＋3－，∴n >5， a 1a 2a 3a n n ＋12

∴最小的正整数n 为6.