基于Haar小波的尺度函数与小波构造

2006年3月

第21卷第2期

渭南师范学院学报

Journal o f Weinan T eacher s Co llege M ar ch 2006Vo l. 21 No. 2

基于H aar 小波的尺度函数与小波构造

张同琦

(渭南师范学院数学系, 陕西渭南714000)

摘 要:以H aar 小波和B-样条函数为基础, 利用函数卷积构造了一类尺度函数与小波, 得到了尺度函数与对应小波两尺度符号的条件, 并通过构造实例加以说明.

关键词:H aar 小波; B-样条函数; 尺度函数与小波

中图分类号:O 174. 2 文献标识码:A 文章编号:1009) 5128(2006) 02-0011-02收稿日期:2005-05-11

基金项目:渭南师范学院科研基金资助项目(04Y KF 009)

作者简介:张同琦(1964-) , 男, 陕西富平人, 渭南师范学院数学系副教授, 主要从事小波分析理论与应用的研究.

0 引言及记号

尺度函数与小波的构造已有许多种方法[1~4], 但由已有尺度函数与小波构造新的尺度函数与小波, 目前没有文献进行讨论, 本文利用多分辨尺度函数与小波的卷积得到一类新的尺度函数与小波.

定义1 f (x ) 在全实轴上的F ourier 变换为f ^(X ) ==

1]i X t

e f (X ) d X . 2P -]

Q e

-]

]

-i X t

f (t ) dt , f ^(X ) 的F our ier 逆变换为f ^-1(X )

定义2 f (x ) , g(x ) 定义在全实轴上, 则f (x ) 与g(x ) 的卷积为 f (x ) *g(x ) =定义3 定义4

Q f (x -t ) g(t ) dt.

若函数U (x ) 满足

Q U (x ) dx =

-]

]-]j I Z

]

0, 则称U (x ) 为小波函数.

一个多分辨是L 2(R) 中的一个闭子空间序列{V j }j I Z 且满足如下条件:

(1) V j

(2) j =L 2(R ) ; (3) H V j ={0}; (4) f (x ) I V j a ]f (2x ) I V j+1, j I Z;

j I Z

(5) V 0中存在一个函数U (x ) , 使得U (x ) 的整数平移{U (x -k ) |k I Z}构成V 0的一个Riesz 基, 相应地, 称U (x ) 为尺度函数.

(x ) 与7(x ) 的两尺度关系为:显然, 在多分辨分析{V j }j I Z 中, 给定序列{p n }{q n }I l 2, 则U U (x ) =

E p

n

n

U (2x -n) ; 7(x ) =

12

E q

n

n

U (2x -n).

1

2

引入序列{p n }{qn }I l 2, 符号P(z) = ^U (X ) =P (z ) U ^(

E p

n

n

z n 及Q(z) =

E q z

n n

n

. 则两尺度关系的Fourier 变换为:

X X

) ; 7^(X ) =Q(z ) ^U ().

22

1 x I [0, 1]0

其它

为H aar 尺度函数.

现令 U (x ) =U m (x ) =B m -1(x ) *U H (x ) , 其中U H (x ) =命题1 证明

若U H (x ) 为H aar 尺度函数, 则U m (x ) =B m -1(x ) *U H (x ) 为一尺度函数. 令V k m =clos L 2(R)

k/2k z >, U U m, k , n (x ) =2m (2x -n).

2

clo s L 2(R) (G V m k ) =L (R)

由样条的逼近理论, K I Z

K I Z

H V m k ={0}

且对于f (x ) =f (2x ) =

n=]

E c

]

k , n

k

U V k m (2x -n) I

]

有

]

c

]

k, n

U m (22x -n) =

k

c

k , n

U m (2k+1x -n) I V k+1

#12# 张同琦:基于Haa r 小波的尺度函数与小波构造 第21卷

f (x +k ) =

2

n=]

E

]

c k, n U ) -n) =m (2(x +2k

k

n=]

E c

]

k , n +1

k

U V k m (2x -n) I

又由于m (X ) =1

1-e -i X m sin X /2m

=e -im X /21) 2i X sin (X /2+k P ) m

2

m (X +2k P ) =e -im(X /2+k P ) 1

由文献[1]可知A m =

k=-]

E

]

|U m (P +2k P ) |

F

k =-]

E

]

|U m (X +2k P ) |

2

F 1

所以 U m (x ) 构成V 0一个Riesz 基.

m (x ) =B m -1(x ) *U H (x ) 是多分辨分析{V j }J I Z 中的尺度函数. 由此可知U (x ) =U

1

1 0F x

2

对于7m (x ) =B m -1*7H (x )

其中7H (x ) =

-1

1

F x

0 其它

若7(x ) 为H aar 小波函数, 则7m (x ) =B m -1(x ) *7H (x ) 一定为小波函数. 由于

Q =

Q 7

-]10

]

7m (x ) dx =

H

(t ) (

Q

]

Q

]

-]

B m -1(x ) *7

H

(x ) dx =

Q Q B

-]

]1

m-1

(x -t) 7H (t) dt dx

-]

B m -1(x -t ) dx ) dt =

Q 7

1

H

(t) dt =0

所以7m (x ) =B m -1(x ) *7H (x ) 为小波函数.

1 主要定理及证明

定理1 若P (z ) 、Q(z ) 为U m (x ) =B m -1(x ) *U H (x ) , 7m (x ) =B m -1(x ) *7H (x ) 的两尺度符号, 则当P(z ) 、Q(z ) 满足(1-z ) P(z ) =(1+z ) Q(z ) 时, U m (x ) 为小波7m (x ) 所对应的尺度函数.

证明

*

(x ) 则令7(x ) 所对应的尺度函数为U

*

(x ) = U

E P

n

n, m

*

U (2x -n) ; 7m (x ) =

E q

n

n, m

U *(2x -n) z n 及Q(z ) =

1

引入序列{p n, m }{q n, m }I l 1的符号P(z ) =^*(变换为:U ^*(X ) =P(z) U

X

) ; 7^2

H

*m

1E p

n

n, m

E q

n

n, m

z n . 则两尺度关系的F our ier

(X ) =Q(z) U ^*(

X

) . 2

X X *

) =Q(z ) ^U () 22

^m-1(X ) 7^由于 7^m (X ) =B (X ) =B ^m -1(X ) Q H (z ) ^U H (

X ) ***

而^U (X ) =P (z ) ^U (X ) =1+z Q(z ) ^U (X ) =B ^m-1(X ) P H (z ) ^U H (

21-z 22

=B ^m -1(X ) ^U H (X )

*

所以U (x ) =B m -1(x ) *U H (x ) =U m (x ) , U m (x ) 为小波7m (x ) 所对应的尺度函数.

定理2 U m (x ) =

若{p n, m }{q n, m }I l 1为两尺度序列, U m (x ) 为小波7m (x ) 所对应的尺度函数当且仅当p n, m =U m (2x -n) ; 7m (x ) =

-m +1n -m +1

2-m +1C n (C n , 其中m (n =0, 1, 2, , , m ) , q n, m =2m -1-C m -1) (n =1, 2, 3, , , m -1) , q 0, m =q m, m =2

E p

n, m

E q

n

n, m

U m (2x -n) .

证明 由于U m (x ) =B m -1(x ) *U H (x ) , 7m (x ) =B m -1(x ) *7H (x )

U ^m (X ) =(p n, m

1-e -X m (1-z 2) m -1(1-z ) 2

) , 7^m (X ) =(i X ) 1X

=2-m +1C n 7m (X ) =q z n ^U m () , 所以m (n =0, 1, 2, , , m) , ^n n, m E

E q

n

n, m

z n =2-m +1

-m +1

-m

E (C

n n

m -1

n m -1n +1

z n -C n ) m -1z

即 q n, m =2

E (C

n

1-m +1

-C n-m -1) , (n =1, 2, 3, , , m -1) , q 0, m =q m, m =2

因此P (z ) =2

(1+z ) m , Q(z ) =2-m (1+z ) m -1(1-z ).

2 构造尺度函数与小波实例

, 73(*) , 3) =B 2U () )

#40#

李云飞, 等:嵌入式系统的存储器测试 第21卷

用于累加测试的数据值如表2中前两列所示. 第三列表示的是在第二步测试时使用的求反后的数

据. 第二步测试代表了一个递减测试. 还有很多其它可能的数据选择, 但是累加数据模式已经很充分了, 并且也容易计算.

3 结语

文章中所描述的存储器测试操作不可避免地具有破坏性, 在测试过程中必然会覆盖它原先的内容. 因为重写只读存储器的内容通常来说是不可行的, 故上述测试通常只适用于随机存储器的测试. 但是当混合存储器的内容不重要时, 且当它们处于产品的开发阶段时, 这些算法也可以用于此类设备的测试.

参考文献:

[1]许海燕, 付炎. 嵌入式系统技术与应用[M ].北京:机械工业出版社, 2002. [2]张大波. 嵌入式系统原理、设计与应用[M ].北京:机械工业出版社, 2004.

[3][美]A rnold Berg er 著. 吕骏译. 嵌入式系统设计[M ]. 北京:电子工业出版社, 2002.

[责任编辑 牛怀岗]

Testing For Embedded Memory

LI Yun -fei

1, 2

, LI De -shui

1

(1Depar tment of Computer Eng ineering , W einan T eachers College, Weinan 714000, China; 2Scho ol of T eleco mmunications Eng ineer ing X idian U niv ersity , X i . an 710070, China)

Abstract:T his paper thinks that the memor y of embedded sy st em in electro nic equipment ma y cause so me pr oblems in three aspects. So we should test it to find w her e the pr oblems ex ist fro m those w ay s such as data bus, address bus and mem -o ry dev ice.

Key words:embedded sy stem; memor y; address bus; data bus; co ntr ol bus (上接第12页) U 3(x ) =

E p

k

3, k

U 3(2x -k) ; 73(x ) =

1

, q =-43, 2

E q

k

3, k

U 3(2x -k ).

1

, p 3, 1=4

3

, p 3, 2=4

3

, p 3, 3=4

1; 4

此时 q 3, 0=Q(z ) =

1

, q =43, 111, q 3, 3=-; p 3, 0=

44

1

(1+z -z 2-z 3) , P (z ) =81

(1+3z -3z 2+z 3) 8

参考文献:

[1]程正兴. 小波分析算法与应用[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 1998. [2]崔锦泰, 著. 程正兴, 译. 小波分析导论[M ].西安:西安交通大学出版社, 1997.

[3]Cha rles K Chui . Wav elets:a T uto ria l in T heor y and Applications[M ].N ew Y or k:A cademic P ress, Inc. 1992. [4]L okenath Debnath. Wav elet T r ansfo rms and T heir A pplications[M ]. Bir khauser Bo ston, 2002.

[责任编辑 牛怀岗]

Construct a Class of Scaling Functions

and Associated Wavelets Based on Haar Wavelet

ZH ANG Tong -qi

(D epar tment o f M athemat ics, Weinan T eachers College, Weinan 714000, China)

Abstract:Based on H ar r wavelet and B -spline functio ns, w e construct a class o f scaling functions and associated w avelets by the co nv olution of functio ns and obtain the relat ions betw een symbol o f scaling functions and that of associated wav elets. Ex amples are g iv en to ex plain the method.