3自由度并联机器人的运动学与动力学分析
第45卷第8期 2009年8月
机 械 工 程 学 报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vol.45 No.8 Aug. 2009
DOI：10.3901/JME.2009.08.011
3自由度并联机器人的运动学与动力学分析
刘善增1, 2 余跃庆1 佀国宁1 杨建新1 苏丽颖1
(1. 北京工业大学机械工程与应用电子技术学院 北京 100124；
2. 中国矿业大学机电学院 徐州 221116)
摘要：对一种空间3自由度并联机器人(3-RRS并联机器人)进行运动学和动力学分析。此并联机器人的机构由一个动平台和一个静平台通过3个同样的转动副—转动副—球面副的支链组成。完全描述此并联机器人动平台的位置和姿态需要6个变量，即平台上一参考点的3个位移和3个转角。由于此并联机器人拥有2个转动自由度和1个移动自由度，所以，在动平台的6个位姿变量中只有3个变量是独立的。首先，推导此种并联机器人动平台的6个位姿参数之间的约束关系，给出这些变量之间的解析表达式。然后，基于Lagrange方程建立此并联机器人的动力学模型。在此基础上，通过算例分析驱动构件角速度、驱动力/力矩和能耗的变化规律。这些内容为进一步研究此种空间并联机器人的动态性能、机构优化设计和系统控制等都有非常重要的意义。 关键词：并联机器人 运动学 动力学 Lagrange方程 位姿 中图分类号：TH112 TP24
*
Kinematic and Dynamic Analysis of a Three-degree-of-freedom
Parallel Manipulator
LIU Shanzeng1, 2 YU Yueqing1 SI Guoning1 YANG Jianxin1 SU Liying1
(1. College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology,
Beijing University of Technology, Beijing 100124;
2. School of Mechanical and Electrical Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116)
Abstract：parallel manipulator). The architecture of the mechanism is comprised of a moving platform attached to a fixed platform through three identical revolute-revolute-spherical jointed serial linkages. A complete description of the position and orientation of the moving platform with respect to the reference frame requires six variables, i.e., the three Cartesian coordinates of a reference point on the moving platform and three angles. However, since the parallel manipulator has two degrees of orientation freedom and one degree of translatory freedom, which implies that only three variables can be specified independently. Firstly, the constraint equations describing the inter-relationship between the six motion coordinates of the moving platform are derived. Closed form solutions to the constraint equations are found which provide the constrained variables as functions of the unconstrained (specified) variables. Some significant conclusions are drawn from the closed form solutions. Then, the dynamic equations of the parallel manipulator are presented on the basis of Lagrange equation. Based on the dynamic model, the angular velocities, the driving force or torque and consumed energy of the actuators are analyzed through an example. The analysis provides necessary information for dynamic performance analysis, optimal design and control of the parallel mechanism.
Key words：Parallel manipulator Kinematics Dynamics Lagrange equation Position and orientation
0 前言
并联机器人结构的特殊性，使它具有串联机器* 国家自然科学基金(50575002, 60705036, 50875002)、北京市教委科技发展计划(KM[1**********]3)和北京市自然科学基金(3062004) 资助项目。20080823收到初稿，20090201收到修改稿
人所不具有的优点，这引起了国际学术界的广泛关注。大多数6-DOF并联机器人以Stewart平台结构为基础，然而，在许多场合应用的机器人只需要部分自由度(2～5自由度)就可以满足使用要求。所以，近年来少自由度并联机器人，尤其是3自由度并联机构成为了机器人技术研究的新热点。3自由度并联机器人与6自由度并联机器人相比具有如下优
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点：可以满足大多数工业操作的需要，机构的复杂度和成本较低，运动学和动力学模型较简单，控制较容易。因此，3自由度并联机器人具有广阔的应用前景。如1983年，HUNT[1]提出的3-RPS机构，由于它能实现两个转动和一个移动而得到广泛的应用。LEE等[2-3]对3-RPS机构作了运动学和动力学分析，并将此机构直接作为了3自由度机器人操作器的主臂。GOSSELIN等[4]分析了平面3自由度并联机器人运动学最优设计问题。FANG等[5-6]研究了3-RPS并联机构的微分运动学问题，并采用螺旋理论分析了3-RPS、3-RRS和3-TPT等并联机构的瞬时运动特性。FANG等[7]研究了基于3-RSR并联机器人对称结构的3自由度机构的位置显示解析正解。李剑锋[8]基于系统微分运动关系，分析了3-RPS、3-RRS、3-RSR等并联机构的运动学和动力学问题。CARRETERO等[9]分析了3-PRS并联机器人的运动学问题，并利用非线性优化方法对系统的有关参数进行了优化分析。WANG等[10]通过添加配重和弹簧研究了3-RRS并联机器人的静平衡问题。然而，由于少自由度并联机构的种类和数目很多，对少自由度并联机构运动学和动力学特性的认识还很不足。
本文基于一种空间3自由度并联机器人(3-RRS并联机器人)的运动学特性，分析了此并联机构的约束方程与位姿关系，给出了6个位姿变量之间的显示表达式，并利用Lagrange方程推导了3-RRS并联机器人的动力学方程，进而对此并联机器人的动力学特性进行了分析。这些研究内容对深刻认识并联机器人的动态特性具有重要意义，对研究其他少自由度并联机器人的运动学和动力学问题也具有重要的参考价值。
并联机器人的运动学分析
一种空间3自由度并联机器人的结构简图，如图1所示。它由一个动平台P1P2P3，三条支链BiCiPi(i=1, 2, 3)和一个静平台(基座)B1B2B3组成。其中，动平台通过球面副(S副)与各支链连接，静平台通过转动副(R副)与各支链连接，且Bi处转动副的轴线与Ci(i=1, 2, 3)处转动副的轴线对应平行。分别建立与动平台固结的局部(动)坐标系Pxyz和系统(固定)坐标系OXYZ，如图1所示，坐标系的原点P和O分别位于动平台和静平台的几何中心，轴z和Z分别垂直于动、静平台向上，轴x、y与X、Y分别平行和垂直于上、下平台的边P2P3与B2B3。局部定坐标系Bixiyizi (i=1, 2, 3)的xi轴与Bi处转动副轴线一致，zi垂直于静平台B1B2B3向上，yi轴同时垂直于xi和zi轴。
图1 3-RRS并联机器人示意图
设此3-RRS并联机器人的动平台和静平台均为等边三角形，并且动、静平台的几何中心到各个顶点的距离分别为lppi
=r，lOBi=R(i=1, 2, 3)。那么，在
系统坐标系OXYZ下，静平台上转动副Bi(i=1, 2, 3)处的坐标
⎛⎜−
⎞
⎞⎛2R⎟R⎜2⎟ B⎜0⎞
⎜⎜⎟⎟⎜⎟⎟⎜R⎟
1=⎜⎟
B
2=⎜1⎟ B3=⎜⎝0⎟⎠⎜−R1⎟ (1)
⎜2⎟⎜−⎜⎟
⎜2R⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎝0⎟
⎠⎜⎝0⎟⎠同理，在局部(动)坐标系Pxyz下，动平台上球
面副Pi(i=1, 2, 3)处的坐标
⎛⎜r⎞
⎟⎛r⎞⎟⎛0⎞
⎜2⎟⎜⎜2⎟ p⎜r⎟
⎜⎟⎜⎟1=⎜⎜⎟
p2=⎜−1⎟
p3=⎜1⎟ (2)
⎝0⎟
⎠⎜⎜2r⎟⎜−2r⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟
⎝0⎟⎠⎜⎟⎝0⎟⎠
设从局部动坐标系Pxyz到系统(固定)坐标系OXYZ的变换矩阵
⎛⎜nioiaiXp⎞ T=⎜
njoja⎟jYp⎜⎟⎜na (3) kokkZp⎟⎝0001⎟⎠
式中，nm、om、am(m=i, j, k)分别表示坐标系Pxyz中x、y和z轴的三个单位主矢相对于坐标系OXYZ的方向余弦，(Xp Yp Zp)T是P点在系统坐标系OXYZ下的位置坐标。
那么，在系统坐标系OXYZ下，动平台上球铰中心处Pi(i=1, 2, 3)点的坐标可以表示为
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13
⎛Pi⎞⎛p⎞另外两个参量可以任意选择。但系统的3个欧拉角
=T⎜i⎟ (4) ⎜⎟
⎝1⎠XYZ⎝1⎠xyz
式中，Pi和pi分别表示动平台P1P2P3上球铰中心处
点Pi(i=1, 2, 3) 在系统坐标系OXYZ和局部动坐标
系Pxyz中的位置矢量。
由于此并联机构中的三个支链B1C1P1、B2C2P2
和B3C3P3均分别受到两个相互平行的转动副约束，
所以，此并联机器人动平台P1P2P3上球铰中心处
P1、P2 和P3点的运动轨迹只能分别位于三个垂直
平面内，由此导出系统的三个约束方程为
X=0
Y=3
X (5b)
Y=−3X (5c) 联合式(2)～(5)，可以得到 oir+Xp=0 (6)
2Ypjr−ojr)=2Xpir−oir (7)
jr−ojr+2Yp)
=oirir−2Xp (8) 把式(6)～(8)联立并作进一步化简，可得到机构的约束方程为 ⎧⎪
Xp=−oir ⎪⎨Y=r⎪p2(oj−ni) (9) ⎪⎩oi=nj取Z-Y-X型欧拉角(α, β, γ)表示动平台P1P2P3的姿态[11]
，则式(3)可以表示为 ⎛⎜cosαcosβ
T1T3Xp⎞T=⎜sinαcosβT⎟
2T4Yp⎜⎟⎜−sinβcosβsinγcosβcosγZ (10) p⎟
⎝
0001⎟
⎠式中 T1=cosαsinβsinγ−sinαcosγ
T2=sinαsinβsinγ+cosαcosγ
T3=cosαsinβcosγ+sinαsinγ T4=sinαsinβcosγ−cosαsinγ 联立式(9)、(10)，可以得到 ⎧⎪Xp=−rsinαcosβ ⎪⎪⎨Yrp=(sinαsinβsinγ+cosαcosγ− (11) ⎪2
⎪cosαcosβ)⎪⎩α=arctan(sinβsinγ/(cosβ+cosγ)) 分析式(11)，可以得出如下结论。
(1) Zp
是唯一的完全独立的变量，
它与其他五个参量Xp、Yp、α、β、γ无关。
(2) 机构具有3自由度，
Zp为完全独立的参量，α、β、γ中只有两个可以自由选择。当选定欧拉角α、β、γ中的任意两个时，如β、γ，坐标Xp、Yp将被唯一确定。也就是说，对此机构有3个参量可以任意选定，但其中必须包括Zp，另外两个参量可以任意选取。 (3) 当β=0或γ=0或β=0，γ=0时，则α=0；当β≠0且γ≠0时，则α≠0；当α=0时，β和γ两者中至少有一个为零。 (4) 当α=0或β=90º时，Xp=0。 设3-RRS并联机构中构件BiCi和构件CiPi的长度分别为li1和li2(i=1, 2, 3)，与yi轴的夹角分别为θi1和θi2(i=1, 2, 3)；坐标轴OY与yi轴的夹角为ψi(i=1, 2, 3)；构件BiCi
和构件CiPi之间的夹角为φi (i=1, 2,
3)，即θi2=θi1+φi，如图1。当已知机构的基本尺寸
和系统动平台的6个位置和姿态参量Xp、Yp、Zp、α、β、γ时，就可以通过机构的位置分析，得到构件BiCi
和构件CiPi的位置参数φi和θi1(i=1, 2, 3)的表达式为
⎧⎪ϕ⎛2222⎞i= ⎪⎪
⎨⎪ (12) ⎪θi1=⎪⎩⎝i3i1
⎠式中 ari1=2⎡⎣2cosαcosβsin2ψi−(T1+sinαcosβ)× sin2ψi+2T2cos2ψi−2⎤⎦+Ypcosψi−Xpsinψi
ai2=r(cosαsinγ+sinβsinψi)+Zp ki1=−2li1(li1+li2cosϕi)
ki2=−2li1li2sinϕi k2222
i3=ai1+ai12+li1−li2 i=1,2,3 并联机器人的动力学分析
设3-RRS并联机构中轴线OX与OBi的夹角为
θ0i(i=1, 2, 3)。动平台上点Pi(i=1, 2, 3)在局部坐标系Pxyz中的坐标设为pi=(xpi ypi 0)T。则，根据点
Pi(i=1, 2, 3)在坐标系OXYZ中的不同表示对应相等，可以得到式(13)(i=1, 2, 3) ⎧⎪(R+li1cosθi1+li2cosθi2)cosθ0i=xPicosαcosβ+⎪yPi(cosαsinβsinγ−sinαcosγ)+X⎪P⎨(R+li1cosθi1+li2cosθi2)sinθ0i=xPisinαcosβ+⎪
⎪yPi(sinαsinβsinγ+cosαcosγ)+YP
⎪⎩li1sinθi1+li2sinθi2=−xPisinβ+yPicosβsinγ+Z
P(13)
在系统坐标系OXYZ下，设支链BiCiPi(i=1, 2, 3)
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中构件BiCi均质且质心坐标为(xi1c yi1c zi1c)T，构件CiPi均质且质心坐标为(xi2c yi2c zi2c)T，则有
⎧x11c=0 ⎪
32⎪y11c=R+1l11cosθ11
(14) V=∑∑mijgzijc+m0gZp (21) ⎨2
i=1j=1⎪1
⎪z11c=l11sinθ11
把式(14)～(19)分别对时间t求导，并代入式(20)，
⎩2
化简得
x=0⎧12c
1ˆ 2ˆ 2ˆ 2
ˆθ θ + ⎪ =TJ11θ11+J22θ21+J33θ31+J12112112⎪y12c=R+l11cosθ11+l12cosθ12
(15) ⎨2ˆθ θ +Jˆθ θ (22) J[1**********]1⎪1322222
⎤ ijc ijc ijcT=∑∑⎡mij(x+y+z+ )+Jijθ ij
⎣⎦2i=1j=11T
m0vTpvp+ωpIpωp (20) 2
()
()
⎪⎩z1
12c=l11sinθ11+2l12sinθ12
⎧⎪x⎛+1⎞21c=⎪
⎜⎝R2l21cosθ21⎟⎠cosθ02
⎪⎨⎪
y⎛1⎞21c=⎜⎝R+2l21cosθ21⎟⎠sinθ02 (16) ⎪⎪⎩z121c=2
l21sinθ21⎧⎪x⎛1⎞
22c=⎜R+l21cosθ21+2l22cosθ22⎪⎝⎟⎠cosθ02
⎪⎨⎛1⎞⎪y22c=⎜⎝R+l21cosθ21+2l22cosθ22⎟⎠sinθ02 (17) ⎪⎪1⎩z22c=l21sinθ21+2
l22sinθ22⎧⎪x31c=⎛R+1l31cosθ⎞31cosθ⎪⎜⎝2⎟⎠03 ⎪⎨⎪y⎛⎜⎝R+12l⎞31c=31cosθ31⎟⎠sinθ03 (18)
⎪⎪⎩z=1
31c2
l31sinθ31
⎧⎪x=⎛1⎞
32c⎪⎜⎝R+l31cosθ31+2l32cosθ32⎟⎠cosθ03 ⎪⎨1⎞⎪y32c=⎛⎜⎝R+l31cosθ31+2l32cosθ32⎟⎠sinθ03 (19) ⎪⎪1⎩z32c=l31sinθ31+2l32sinθ32设构件BiCi和CiPi(i=1,2,3)的质心速度分别为
vx i1cy i1cz i1c)T和vi2=(x i2cy i2cz
Ti1=(i2c)，绕质心的转动惯量分别记为Ji1和Ji2；动平台P1P2P3相对
于Pxyz系的惯性矩阵为Ip(主转动惯量分别为Jx、Jy、Jz)，动平台的速度和角速度分别表示为
vp=(X p Y pZ p)T，ωp=(γ β α )T。取平面OXY为重力的零势能面位置，重力加速度为g，不计构
件弹性和摩擦。则系统的动能T和势能V可分别表示为
Jˆ11=J11+J12A21+J22B21+J32C21+14m22l222B21
+1()
m222
411+m32l32C1+m12sin2θ11l11+2
m⎛⎝l1⎞12⎜11cosθ11+2l12cosθ12A21⎟⎠+m0D1+
m0E221+m0F1+JxG21+JyH21+J2zI1 Jˆ=J+JA2+JB2+JC[1**********]2+14m21l22221
+ 14(m22+m222222l22B232l32C2+m12l12A2cos2θ12)+ m222⎡⎣l21+l21l22B2cos(θ22−θ21)⎤⎦
+mD202+ mE2G22202+m0F22+Jx2+JyH2+JzI2 Jˆ12=J12A1A2+J22B1B2+J32C1C2+14m32l232C1C2
14m(212A2l12A21cosθ12+2l11l12cosθ11cosθ12)
+14mBl2221[22B2+2l21l22cos(θ22−θ21)]+m0D1D2+m0E1E2+m0F1F2+JxG1G2+JyH1H2+JzI1I2
Jˆ=J12A1A3+J22B1B3+J32C1C3+14m22l21322B1B3+14mA(2123l12A1cos2θ12+2l11l12cosθ11cosθ12)
+14
m232C1[l32C3+2l31l32cos(θ32−θ31)]+m0D1D3+m0E1E3+m0F1F3+JxG1G3+JyH1H3+JzI1I3Jˆ23=J12A2A3+J22B2B3+J32C2C3
+14m[l222B322B2+2l21l22cos(θ22−cosθ21)]+14m232C2[l32C3+2l31l32cos(θ32−θ31)]+ 14
ml21212A2A3cos2θ12+m0F2F3+m0D2D3+m0E2E3+JxG2G3+JyH2H3+JzI2I3
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ˆ=J+JA2+JB2+JC2+1ml2+J[**************]31
E=∫
tf
⎛3
⎞
⎜∑|τiθi1|⎟dt (24) 4
1
24
(mB22222
222l22
3+m32l32C3+m12l12A3cosθ12)+ m232⎡⎣l31+l31l32C3cos(θ32−θ31)⎤⎦+m2
0D3+
m20E3
+m2222
0F3+JxG3+JyH3+JzI3A∂θ12∂θ
∂θi=
∂θ Bi=22 C32i=
i1∂θi1∂θi1D∂Xp∂Yppi=∂θ Ei=
i1
∂θ F∂Zi=
i1
∂θ
i1
Gi=
∂γ∂θ H=∂β I∂α
ii= i=1, 2, 3 i1∂θi1∂θi1
式中，Ai～Ii的具体表达式可通过式(13)分别对系统
广义坐标θ11、θ21、θ31求导并联立求解得到。参量Ĵ11、Ĵ22、Ĵ33、Ĵ12、Ĵ13、Ĵ23为机构位形的函数。
将式(21)、(22)代入Lagrange方程 d⎛dt⎜∂T⎞∂T+∂V
=τ⎝∂θ⎟−
i i=1, 2, 3 i1⎠∂θi1∂θi1并化简，得
⎧+Jˆ⎪Jˆ2∂Jˆ⎪
11θ 11ˆ12θ 21+Jˆ13θ 1∂J1131+
2∂θ 11+11θ 11θ 21+11∂θ21⎪⎪⎛∂Jˆ12⎪⎜−1∂Jˆ22⎞ 2+⎛⎜∂Jˆ
ˆ⎜⎟θ13−1∂J33⎞⎟θ⎪
⎝∂θ212∂θ11⎟⎠21⎜ 2⎝∂θ31
2∂θ11⎟⎠31+
⎪⎪∂Jˆ11θ ⎛∂Jˆ12∂Jˆ13∂Jˆ23⎞ θ +⎪∂11θ31+⎜31⎜⎝∂θ+−⎟31∂θ21∂θ11⎟θ∂V2131∂θ
=τ111⎪⎠
⎪⎪Jˆ12θ ∂Jˆ121∂Jˆ11⎞211
+Jˆ22θ 21+Jˆ23θ 31+⎛⎜⎪
⎜−⎝∂θ⎟θ 11+112∂θ21⎟⎠⎪⎪ˆ⎨1∂J22θ 2⎛∂Jˆ231∂Jˆ33⎞2∂Jˆ⎪2∂θ21+⎜−θ +22 11θ 21+21⎜⎝∂θ⎟312∂θ21⎟31∂θ11⎪⎠⎪⎛∂Jˆ12ˆˆˆ
⎪⎪⎜⎜⎝∂θ−∂J13+∂
J23⎞⎟θ θ +∂J22 θ +∂V31∂θ21∂θ11⎟⎠1131∂θ213131∂θ=τ221⎪⎪ˆ ⎪J13θ11+Jˆ23θ 21+Jˆ33θ +⎛⎜∂Jˆ
13−1∂Jˆ11⎞31⎜∂θ⎟⎟θ 211+⎪
⎝112∂θ31⎠⎪⎛⎜∂ˆ⎪J23−1∂Jˆ22⎞⎟θ 2⎛∂Jˆ∂Jˆ∂Jˆ⎞21+⎜−12+13+23⎟θ 11θ 21+⎪⎜⎝∂θ21
2∂θ31⎟⎠⎜⎝∂θ31∂θ21∂θ11⎟⎠⎪⎪1∂Jˆ33θ 2∂Jˆ33∂Jˆ33∂V⎪⎩
2∂θ31+θ 11θ 31+31∂θθ 21θ 31+=τ3
11∂θ21∂θ31(23) 式(23)中的τ1、τ2、τ3为相应于系统广义坐标θ11、θ21和θ31的系统广义力。
由分析知，3-RRS并联机器人系统的驱动能耗可以表示为
t0
⎝i=1⎠
式中，t0、tf分别为3-RRS并联机器人系统运动起始
和终止时刻。
并联机器人算例分析
系统参数：机构构件均质为钢，密度ρ=7 800 kg/m3；构件长度li1=li2=0.16 m(i=1, 2, 3)，矩形截面，厚度h=0.010 m，宽b=0.010 m；动平台质量m0=0.25
kg，
Jx=0.017 4 kg·m2，Jy=0.000 45 kg·m2，Jz= 0.017 9 kg·m2，r=0.10 m，R=0.12 m，t0=0 s，tf =10 s。
操作任务：系统的运动规律为
⎧⎪β=5πs(t)⎪
180 ⎪
⎨γ=
25πs(t) (25) ⎪180⎪⎪⎩
Z32
p=0.10s(t)+0.02s(t)+0.10式中 s(t)=t1t−
sin2πt
t0 ≤ t ≤ tf (26) f2πtf对于系统给定的运动规律，通过系统运动学反
解，可以得到此并联机构中各个构件的位置运动变化规律。图2中给出了此3-RRS并联机器人中驱动构件BiCi(i=1,2,3)运动角速度的变化曲线。
图2 驱动构件角速度变化曲线图
对于系统给定的运动规律，此3-RRS并联机器人动平台的位姿和运动速度的变化规律情况，如图3、4所示。图3a表示了系统动平台的位置坐标Xp、Yp、Zp的变化规律曲线，这里，位置坐标Xp的最小值为–1.93×10–3 m，位置坐标Yp的最大值为3.56×10–5 m。图3b给出了动平台线速度的变化曲
线，其中，线速度X p的最小值为–5.40×10–3 m/s，线速度Y p
的最大值为1.28×10–5 m/s。图4中给出并联机器人动平台的姿态变化曲线图。图4a
给出了系统动平台的三个姿态欧拉角α、β、γ大小的变化情况。图4b显示了系统动平台的3个姿态欧
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拉角α、β、γ速度大小的变化曲线。这里，角速度α
的最大值为0.005 4 rad/s，角速度β
的最大值为0.019 4 rad/s，角速度γ 的最大值为0.096 9 rad/s。
图3 动平台线位移和速度变化曲线图
图4 动平台姿态变化曲线图
对于给定的运动规律，系统中各个主动构件驱动力矩的变化曲线，如图5所示。显然，在系统运动的整个过程中，机构中各个驱动构件驱动力矩大小的变化非常显著，数据分析见下表。如驱动构件B1C1的驱动力矩τ1的最大值为0.471 6 N·m，最小值为0.317 4 N·m，平均值为0.410 6 N·m。完成给定的操作任务，由式(24)可以求出此并联机器人的系统总能耗为0.783 7 J，驱动构件B1C1、B2C2和B3C3处的能耗分别为0.288 8 J、0.238 1 J和0.256 8 J。
图5 驱动力矩变化曲线图
表 驱动力矩数据 N·m
类别
驱动力矩
τ1 τ2 τ3 最大值 0.471 6 0.488 6 0.612 4 最小值 0.317 4 0.446 9 0.471 4 平均值
0.410 6
0.472 3
0.537 6
4 结论
(1) Zp是唯一的完全独立的变量，它与其他五个参量Xp、Yp、α、β、γ无关。
(2) 机构有3个参数可以任意选定，但其中必须包括Zp，另外两个参数可以任意选取。
(3) 当β=0或γ=0或β=0且γ=0时，则α=0；当β≠0且γ≠0时，则α≠0；当α=0时，β和γ两者中至少有一个为零。
(4) 当α=0或β=90º时，Xp=0。
本文通过利用Lagrange方程建立了3-RRS并联机器人的动力学模型，给出了系统位姿、驱动构件运动曲线图，分析了系统驱动力/力矩和能耗的变化规律。这些内容为进一步研究3-RRS并联机器人的动态性能、机构优化设计和系统控制规律的实现等都有非常重要的意义。
参 考 文 献
[1] HUNT K H. Structural kinematic of in-parallel-actuated
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2009年8月 刘善增等：3自由度并联机器人的运动学与动力学分析
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作者简介：刘善增，男，1977年出生，博士研究生。主要研究方向为并联机器人等。
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结构环境移动机器人。
E-mall：[email protected]
孙立宁，男，1964年出生，博士研究生导师。主要研究方向为机器人技术及机电一体化。
杜志江，男，1972年出生，博士研究生导师。主要研究方向为医疗及特种机器人。
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作者简介：王伟东，男，1978年出生，博士研究生。主要研究方向为非