高中数学课课练必修4(答案)2009

三角函数参考答案

§1.1 任意角

1. B 2. B 3. B 4. B 5. -5⨯360︒+315︒ 6. 148︒，-212︒ 7. -720︒ 8. 第一或第三象限的角 9. 解：∵-1840︒=-6⨯360︒+320︒ ∴ S ={αα=k ⋅360︒+320︒, k ∈Z } ∵ α∈S 且α∈[-720︒, 360︒) ∴ 当k =-2时，α=(-2) ⨯360︒+320︒=-400︒；当k =-1时，α=(-1) ⨯360︒+320︒=-40︒ 当k =0时，α=0⨯360︒+320︒=320︒ ∴ 共有三个，分别是-400︒, -40︒, 320︒. 10. (1) {θθ=k ⋅360︒, k ∈Z }

(2) {θ=k ⋅360︒+180︒, k ∈Z } (4) {θθ=k ⋅360︒π+270︒, k ∈Z } (6) {θθ=k ⋅180︒+90︒, k ∈Z } (8) {θθ=k ⋅180︒+45︒, k ∈Z }

(3) {θθ=k ⋅360︒+90︒, k ∈Z } (5) {θθ=k ⋅180︒, k ∈Z } (7) {θθ=k ⋅90︒, k ∈Z } (9) {θθ=k ⋅180︒+135︒, k ∈Z }

§1.2 弧 度

2ππ

1.C 2.B 3.C 4.C 5. (1)π (2)- (3) 6. (1)-210︒ (2) 108︒ (3)75︒ 7. 100cm

8512

8. (1) 终边落在OA 上的角的集合为{αα=2k π+3π, k ∈Z }；终边落在OB 上的角的集合为{ββ=2k π-π, k ∈Z }；

46

(2) {α2k π-π≤α≤2k π+3π, k ∈Z }

64

9. 解：依题意可设7θ=2k π+θ, k ∈Z . ∴θ=, 0

33333

∠AOB =1弧度，AB =2，取AB 的中点为M . 10. 解：

1. 在Rt ∆OMB 中，OB =r =1， ∴ l =r ⋅∠AOB =1⋅1=1 ∴ S 扇形=1l ⋅r =1⋅1⋅1=

22sin 1sin 12sin 21sin 1sin 1sin 1

§1.3 任意角的三角函数（1）

1. D 2. D 3. C 4. B 5. 0 6. {-1, 3} 7. {θ2k π

22

8. 第四象限 9. （1）y =±6; （2

）sin α= ；tan α=±2 10. (1)正； （2）负.

§1.4 任意角的三角函数（2）

1.C 2.D 3.C 4.C 5. sin α=MP , tan α=A 'T ' 6. （1） 7．{x |x ∈R 且x ≠, k ∈Z }

2

8. 解： θ是第二象限角 ∴00 同理，-

22

故sin(cosθ) -cos(sinθ)

(1)

{x 7π

(3)

{x k π-π

24

π

⎧

cos x >⎧⎪2cos x +>0⎪⎪⇒⎨10.

解：⎨, 故f (x ) 的定义域为：

⎪⎪sin x >⎩2sin x +0

⎪⎩ {x 2k π-π

3443

§1.5 同角三角函数关系

15 6. 7.

162

28. 解：(1) 1+sin 2α=3sin α⋅cos α∴sin 2α+cos 2α+sin 2α=3sin α⋅cos α 1. A 2. A 3.B 4. D 5.

2sin 2α-3sin α⋅cos α+cos 2α=0 * cos 2α≠0(若cos α=0，则方程不成立。)

∴ 在*式两边同时除以cos 2α得2tan 2α-3tan α+1=0，(2tanα-1)(tanα-1) =0 ∴ tan α=1或tan α=1；

2

1-3

=-5；当tan α=1时，原式=1-3=-1. (2) sin α-3cos α=tan α-3 ∴ 当tan α=1时，原式=1+1321+1sin +cos tan +1

9. 解：由已知及sin 2α+cos 2α=1可得：() 2+() 2=1⇒k =1或k =-7，当k =1时，cos α=0, tan α无意义，

k -3k -3

舍去；当k =-7时，sin α=3, cos α=4⇒1=4.

55tan 3

10. 解：（1） sin α+cos α=7 ∴1+2sin αcos α=49 ∴sin αcos α=-60

16916913

（2） 0︒0 sin αcos α=-60

∴sin α-cos α>

0 ∴sin α-cos α==17

13

⎧sin α+cos α=7⎧sin α=12⎪⎪1313（3）⎨⇒⎨∴tan α=sin α=-12

⎪sin α-cos α=17⎪cos α=-5

1313⎩⎩

（4）sin 4α-cos 4α=(sin2α+cos 2α)(sin2α-cos 2α) =(sinα+cos α)(sinα-cos α) =7⨯17=119

1313169

（5）sin 4α+cos 4α=(sin2α+cos 2α) 2-2sin 2αcos 2α=1-1⨯(-120) 2=21361.

§1.6 诱导公式（1）

1. B 2. B 3. B 4. D 5. -1 6. 1

7.

8. 9. m +1 1-c o -s x () 1-c o x s =-f (x ) 故f (x ) 为奇函数. =

n

tan(-x ) -sin(-x ) -tan x +sin x tan x -sin x

(2) x ≠0且x ≠k π+π, k ∈Z ∴h (-x ) ====h (x ) 故h (x ) 为偶函数.

-x -x x

⎧1-sin x >0

∴-1

1+sin x >0⎩

10. 解：（1） sin x ≠0∴x ≠k π, k ∈Z ∴f (-x ) =

∴u (-x ) =lg[1-sin(-x )]-lg[1+sin(-x )]=lg(1+sin x ) -lg(1-sin x ) =-[lg(1-sin x ) -lg(1+sin x )]=-u (x ) , ∴u (x ) 为奇函数.

§1.7 诱导公式（2）

11. B 2. A 3. A 4. B 5. -0.8 6. -9 7. -1

8. sin α=cos α=-

；tan α=1634-cos θcos θ11229. 解：原式=+=+===6

cos θ

-cos θ-1-cos θcos θ+cos θ

1+cos θ

1-cos θ

sin 2θ

⎝⎭

2

10.

解：由条件，得⎧αβαβ

(1)

(1)2+(2)2得sin 2α+3cos 2α=2, ∴sin 2α=1. 又 α∈(-π, π) ，

(2)

∴α=π或α=-π，将α=π代入（2）

得c o s β. 又β∈(0,π), ∴β=π, 代入（1）可知符合. 将α=-π代入（2）

得cos β. 又β∈(0,π), ∴β=π, 代入（1）可知不符合. 综上可知，存在α=π，β=π满足条件.

§1.8 三角函数的周期性

1. C 2. D 3. B 4. B 5. 1 6. 4π 7. 6 8. 解： 函数f (x ) 的最小正周期为3π，

∴f (-15π) =f (-3π-9π) =f (-9π) =f (-3π-3π) =f (-3π) =f (-3π+3π) =f (3π) =sin 3π.

[1**********]9. 解：k >0时，T =20π，依题意得 T ≤1，即20π≤1，可得 k ≥20π，所以k 的最小正整数值为63.

k k

10. 证明：（1） f (x +2) =f [(x +1) +1]=-f (x +1) =f (x ) ，∴f (x ) 是周期函数，且2是它的一个周期；

（2） f (x +4) =f [(x +2) +2]=-=-=f (x ) ，∴f (x ) 是周期函数，且4是它的一个周期. f (x +2) -1

§1.9 三角函数的图象与性质（1）

1. D 2. C 3. D 4. D 5. x =2k π, k ∈Z ，1; 2k π+π, k ∈Z , 3 6. {x 2k π+π

2

7. (1,3) 8. （略）

9. 解：当x ∈[0, ) 时，y =tan x ⋅cos x =sin x ; 当x ∈(, π) 时，y =-tan x ⋅cos x =-sin x ; 22

当x ∈[π, ) 时，y =tan x ⋅cos x =sin x . 简图如右图所示.

2

⎧2a +b =3

10. 解：①若b >0时，⎨，解得a =b =1. 此时g (x ) =-4sin . 又 -1≤sin ≤1，

22⎩2a -b =1 所以g (x ) max =4，此时x =4k π+3π(k ∈Z ) ；g (x ) min =-4，此时x =4k π+π(k ∈Z ) .

⎧2a -b =3⎧a =1

解得⎨ ②若b

⎩2a +b =1⎩b =-1 所以g (x ) max =4，此时x =4k π+π(k ∈Z ) ；g (x ) min =-4，此时x =4k π-π(k ∈Z ) .

§1.10 三角函数的图象与性质（2）

1. C 2. C 3. B 4. C 5. [1,4] 6. [2k π-π, 2k π+π](k ∈Z ) 7. [2k π-4π, 2k π+π](k ∈Z )

∴A +B >即A >-B ， A , B 是锐角∆ABC 的两内角，8. 解：又正弦函数在(0,) 上是增函数，余弦函数在(0,)

2222

上是减函数，且0cos B , cos A

2222

所以点P 在第二象限. 9. 解：（1）[2k π-5π, 2k π-π](k ∈Z )

44

（2）y =-sin(2x -π) ，即y '=sin(2x -π) 的递增区间为 2k π-π≤2x -π≤2k π+π, k ∈Z

44242

即2k π-π≤2x ≤2k π+3π k π-π≤x ≤k π+3π, 故所求的递减区间为[k π-π, k π+3π](k ∈Z )

448888

10. 提示：将f (x ) =cos 2x -2sin x =1-sin 2x -2sin x 转化为关于sin x 的二次函数，用换元法转化为二次函数在闭区 间[-1，1]求最值问题. 当x =2k π-π(k ∈Z )时，y max =2； 当x =2k π+π(k ∈Z )时，y min =-2.

§1.11 三角函数的图象与性质（3）

1. C 2. C 3. D 4. C 5. (-1, 1) 6. (-, 0)(k ∈Z ) 7. (4)

46

8. x ∈[1, ) [k π, k π+)(k ∈N *) 9. (2k π-2π, 2k π+4π)(k ∈Z )

42233

10. 解：若ω使函数在(-, ) 上递减，则ω1时，图象将缩小周期，故-1≤ω

22

(ωx +φ)的图象（1） §1.12 函数y =A s i n

1. B 2. C 3. B 4. B 5. y =-cos x 6. y =c o s 2x 7. 左 ,

49

8. 振幅A=2 周期T=4π 初相=π （图略）

4

9. 将正弦曲线上的所有点向右平移π个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的1倍，再将所有点的纵坐标伸长到

原来的3倍，即得到y =3sin(2x -π) 的图象.

6

10. （1）ω=2, ϕ=π；（2）对称轴方程为x =k π+π(k ∈Z ) ，对称中心坐标为(k π-π, 0) (k ∈Z ) .

π

(ωx +φ)的图象（2） §1.13 函数y =A s i n

1. A 2. D 3. C 4. A 5. 6. 左 , 7. (1) (2) (3) 8. y =3sin (x +1) 883

9. （1）y =3sin 6x + （2）x =1k π-2π(k ∈Z )

669

10. 解：（1） x =π是函数y =f (x ) 的图象的对称轴，∴sin(2⨯π+ϕ) =±1, ∴π+ϕ=k π+π, k ∈Z

-π

4

（2）由（1）知ϕ=-3，因此y =sin(2x -3) . 由题意得2k π-≤2x -3≤2k π+, k ∈Z

44242

∴k π+≤x ≤k π+5, k ∈Z . 所以函数y =sin(2x -3) 的单调增区间为[k +, k +5],

k ∈Z .

488 （3）由y =sin(2x -) 知 ()

故函数y =f (x ) 在区间[0,π]上的图象如右图.

§1.14 三角函数的应用

1. A 2. A 3. A 提示：由表知(3,15.1) (15,14.9) 是两个相邻的峰点，则T =15-3=12，可排除C ，D ，将t =3代 入A ，B 知A 正确. 4. A 解答：y =2sin(ωx +θ) 为偶函数，且0

s x , y ∈-[2，故, y =2与y =2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π⇒ω=2，选A. y =2c o ω

6. 0 提示：原式=f (2006)+f (2007)+f (2004)+f (2005)=-sin π-sin π+sin π+sin π=0.

7. 1

5.

8. 解：设函数解析式为V =A sin(ωt +ϕ) ，由图象知电压的最大值为536伏，周期T =0.02（秒），频率f =1=1=50

T 0.02

（周/秒），则ω==100π，又ϕ=0，所以所求函数的解析式为V =536sin100πt , t ∈[0,+∞) .

T

9. 解：由题意

A =28[x -(⇒a =23, A =5 ∴y =23+5c {a a +-A =186

6 ) ] 当x =10时，y =20.5；

答：10月份的平均气温为20.5︒C .

10. 解：由题意知sin y -cos 2x =(sinx -1) 2-11， sin y =1-sin x 且-1≤sin y ≤1, ∴-2≤sin x ≤1，

∴当sin x =-时，(siny -cos 2x ) max =，当sin x =时，(siny -cos 2x ) min =-.

12239

三角函数单元测试

⎧2tan x x ∈(, π) ⎪21. D 2. D 3. B 4. C 5. A 6. C 7. D 8. D 提示：由已知y =⎨

3⎪2sin x x ∈[π, )

⎩2

9. B 提示：由题意至少出现50次最大值，即至少需用491周期，∴491⋅T =197⋅2≤1⇒ω≥197π.

4442

10. D 提示：由f (x ) =f (π-x ) 知f (x ) 关于x =对称，f (x ) 在[-, ]上单调递增，∴x >时，f (x ) 单调递减，

2222

) f . (2 ∴f (3)

11. x x ∈R 且x ≠k +, k ∈Z 12. y =1sin 2x -=-1cos2x 13. -9 14. ①③

3422216

{}()

15. 解：（1）由sin x +cos x =平方得2sin x ⋅cos x =-，又(sinx -cos x ) 2=1-2sin x cos x =，又 -

252525 ∴sin x 0∴sin x -cos x

5

2

2sin x cos x +2sin x =2sin x (sinx +cos x ) =2sin x cos x (sinx +cos x ) =-24. （2）

1-tan x cos x -sin x 1751-cos x

16. （1

）y =πx +π) ；（2）增区间[16k -6,16k +2](k ∈Z ) ，减区间[16k +2, 16k +10](k ∈Z ) .

84

17. 解： f (x ) =-(sinx -1) 2+a +1，令t =sin x ，则f (t ) =-(t -1) 2+a +1, t ∈[-1, 1]，∴t =-1时，f (x ) max =a -2

⎧a ≥3⎪a -2≥111 t =时，f (x ) min =a +，由题意知⎨∴，∴3≤a ≤4.

a ≤424a +≤⎪⎩44

{

18. 解：（1） f (x ) max =2, A >0∴A =1，又 其图象相邻两对称轴间距离为2，ω>0，∴1⋅2π=2, ω=π，

(x +ϕ，又2) f (x ) 过(1,2) 点，∴cos(+2ϕ) =-1, ∴+2ϕ=2k π+π, k ∈Z ⇒ϕ=k π+, k ∈Z ∴f (x ) =1-c 2224

0

∴ϕ=.

4

（2） ϕ=∴f (x ) =1+sin x ∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4, 又 f (x ) 的周期为4，2008=4⨯502，

42 ∴f (1)+f (2)+ +f (2008)=4⨯502=2008.

平面向量参考答案

§2.1 向量的概念及表示

1. C 2. A 3. C 4. B ； 5. ③⑤； 6. 以点P 为圆心；1为半径是圆；

7. 过点P 平行于向量a 的一条直线；

8. AB =BC =CD , DC =CB =BA , AC =BD , DB =CA . 9. 西偏北50︒方向，距离200海里。

10. (1) 与AB 相等的向量共有3个，它们是：OC , FO , ED . (2) 长度为1的向量共有24个.

§2.2 向量的加法

1. B 2. B 3. A 4. D； 5. ①④； 6. 2 ； 7. 点O;

8.

9.

1

AQ c

==，10. 解：（1

；（2）以AP , AQ 为邻边作矩形APRQ ，则AR =AP +AQ ， tan ∠PAR =PR =

且tan ∠BAD =tan ∠C =AB =c , ∴∠PAR =∠BAD , ∴AP 与AD 的方向相同，得证.

1. C 2. D 3. C 4. B 5. BE 6. [3,13] 7. 0 ；

8. C地在A 地北偏东45︒方向，距离A 地1400km. 9. (1) 60︒； ⑵30︒

10. 证明：设四边形ABCD 的对角线AC 与DE 的交点为O ，OA =a ，OB =b ，则OC =-a ，OD =-b ，

∵AB =OB -OA =b -a ，DC =OC -OD =(-a ) -(-b ) =b -a ，∴AB =DC ，即ABCD 是平行四边形.

§2.3 向量的减法

§2.4 向量的数乘

1. D 2. C 3. D 4. D； 5. ①②③； 6. λ+μ=1； 7. λ=-2；

1

8. 证： BN =BD ∴ND =2BN 又 平行四边形ABCD , M 是AB 的中点∴DC =-2BM

3

NC =ND +DC =2BN -2BM =2(BN -BM ) =2MN

∴由共线向量定理，NC 与MN 共线，且NC 与MN 有公共点N ∴M , N , C 三点共线

9. 解：AD =AB +BC +CD =2e 1+ke 2-e 1-3e 2+2e 1-e 2=3e 1+(k -4) e 2，由A , B , D 三点共线，则有：AD =λAB ，

3e 1+(k -4) e 2=λ(2e 1+ke 2) ，⇒3=2λ，k -4=λk ，解得：λ=3，k =-8.

uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r

10. 解: AO =1AB +AC =m AM +n AN . Q M , O , N 三点共线，∴m +n =1, 即m +n =2.

22222

()

§2.5 平面向量的基本定理

1 1 1

k =±11. C 2. B 3. B 4. A；5. -a +b ； 6. ； 7. a -b ；

622

8. c =a -2b . 提示：令c =ma +nb ，再用待定系数法解决.

'''9. 证明：∵OA =(OA +OB ) ，OB =(OB +OC ) ，OC =(OC +OA ) ， 222

''' ∴OA +OB +OC =(OA +OB ) +(OB +OC ) +(OC +OA ) =OA +OB +OC

222

10. 解：（1）OC =OA +AC =OA +BA =OA +OA -OB =2a -b

1 1 5

DC =DB +BC =OB +2BA =b +2(a -b ) =2a -b ；

（2）OE =λOA ，DE =OE -OD =λOA -2OB =λa -2b

33

由D , E , C 三点共线，设DE =kDC ，λa -b =k (2a -b ) ， 解得：λ=.

335

§2.6 向量的坐标运算

3

1. A 2. B 3. A 4. D； 5. (-1, -) ； 6. a =(2,1)；b =(-3, 4) ； 7. -4；

2

8. 解：ma +nb =(2m , 3m ) +(-n , 2n ) =(2m -n , 3m +2n ) ，a -2b =(2,3) -(-2, 4) =(4,-1)

m a +n 与b a -2b 共线，∴-(2m -n ) -4(3m +2n ) =0⇒14m +7n =0∴=-.

n 2

9. 解：设B (x , y ) ，则AB =(x -1, y +2) ，依题意有：(x -1) 2+(y +2) 2=52，3(x -1) -2(y +2) =0

x =5x =-3

解得：或 ， 点B 的坐标为B (5,4) 或B (-3, -8)

y =-8y =4

又AB 与a =(2,3) 同向，故舍去B (-3, -8) ，即B 点的坐标为(5,4) .

10. 解：（1）设点B 为(x 1, y 1) ， AB =(4,3), A (-1, -2), ∴(x 1+1, y 1+2) =(4,3)

x +1=4x =3

∴1⇒1∴B 为(3,1) ，同理可得D 为(-4, -3) ，∴BD 中点M 的坐标为(-1, -1) ；

y 1+2=3y 1=1

{{

{{

（2）由题意得PB =(1, 1-y ), BD =(-7, -4) ，又PB =λBD ,

-7λ=1

∴(1, 1-y ) =λ(-7, -4) ⇒

-4λ=1-y

{

⎧λ=-1⎪ ∴⎨

3⎪y =⎩7

§2.7 平面向量的数量积（1）

1

； 2 2 2 2

8. 解：

|3a +2b -6c |2=9a +4b +36c +12a ⋅b -36a ⋅c -24b ⋅c ， |a |=|b |=1, |c |

又 a ⊥b , 〈a , c 〉=45︒, 〈b , c 〉=45︒，

∴a ⋅b =0, a ⋅c 1, b ⋅c 1，

2

∴|3a +2b -6c |=85-60=25, ∴|3a +2b -6c |=5.

2 2

9. 解：(2a +b ) ⋅(a -b ) =-4，2a -a ⋅b -b =-4，8-2⋅4⋅cos θ-16=-4， cos θ=-, ∴θ=120︒.

2

10. (1) 证明：a ⋅c =b ⋅c =-，(a -b ) ⋅c =a ⋅c -b ⋅c =0，⇒(a -b ) ⊥c ；

2

(2) 解：a ⋅b =a ⋅c =b ⋅c =-，|ka +b +c |>1，

2

1，1， 1. B 2. A 3. B 4. B； 5.

-, -；3 6. ①③； 7.

1，⇒|k -1|>1，当k ≥1时，k >2；或k 2}.

§2.8 平面向量的数量积（2）

1. A 2. C 3. C 4. C； 5. -6； 6. (-10, -30) ，(0,0) ； 7. ；

2

8. 解：ka -b =(k +3, 2k -1) ，a +kb =(1-3k , 2+k ) ， ∵(ka -b ) ⊥(a +kb ) ∴(k +3)(1-3k ) +(2k -1)(2+k ) =

0，解得：k .

x 2+y 2=9

9. 解：（1）设a =(x , y ) ，依题意有

2x +3y =0

{

⎧⎧x x =⎪⎪

即a

解得⎨⎨=或a =(;

⎪y =⎪y ⎩

⎩ x 2+y 2=9

（2）设a =(x , y ) ，依题意有

3x -2y =0

{

⎧⎧x ⎪⎪x

解得⎨或⎨

即a =或a =(.

⎪y =⎪y =⎩

⎩

10. 证明：（1）略；

2 2 2 2

（2） |ka +b |2=k 2a +2ka ⋅b +b , |a -kb |2=a -2ka ⋅b +k 2b ，又 |ka +b |=|a -kb |，

2 2 2 2 2 22222

∴k a +2ka ⋅b +b =a -2ka ⋅b +k b ⇒(k -1) a +4ka ⋅b +(1-k ) b =0

又|a |=|b |=1, ∴4ka ⋅b =0, k ≠0, ∴a ⋅b =0, ∴a ⊥b .

§2.9 向量的应用

1. B 2. C 3. B 4. C 5. 5； 6. λ

r 2r r r r

8. 解: 由方程有实根 得 △=a -4a ⋅b ≥0 且 a =2b ≠0,

r 2r 2

∴4b -8b cos θ≥0 ∴cos θ≤1 且 θ∈[0，π] ∴θ∈⎡π，π⎤

⎢3⎥⎣⎦2

9. 证明： a ⋅b =b ⋅c ⇒(a -c ) ⋅b =0⇒(a -c ) ⊥b ，

c ⋅d =d ⋅a ⇒(a -) c ⋅d 0=⇒(a -) c ⊥d

∴b //d ，同理可得a //c ，ABCD 是平行四边形，且a =-c ，

又(a -c ) ⋅b =0⇒2a ⋅b =0⇒a ⊥b ，故ABCD 是矩形.

10. 解：设风速为AC ，车速为BC =a 时，感受风速为AC +CB =AB ，

车速为DC =2a 时，感受风速为AC +CD =AD ， 依题意有：AB ⊥BC ，∠ADB =45︒，DB =BC ，

∴AD =AC ，∠BCA =45︒

，AC ，

B

C

实际风速v ，风向为西北风（北偏西45︒）.

平面向量测试题

1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. A 7. D 8. D 9. A 10. C

11. (8,0) 12. (b -a ) 13. [0, 1] 14. -1

4

15. 证明：AB =a +5b ，AD =2a +10b ，AD =2AB ，AD 与AB 共线， ∴A , B , C 三点共线.

16. 解：如图所示，以OC 为对角线，OA , OB 方向作平行四边形ODCE . 由已知∠COD =30︒, ∠COE =90︒

uuu r

uuu r uuu r OC

=4; 在Rt ∆

OCD 中，Q OC =∴OD =cos30︒

u r uuu r uuu r uu r uu u r uu u r 在Rt ∆OCE 中，OE =OC ⋅tan30︒=2, OD =4OA , OE =2OB , u u u r u u u r u u u r u u 又OC =OD +OE =4OA +2OB . ∴λ=4, μ=2, λ+μ=6.

17. 解：设a =OA , b =OB ，由已知得a =b , a ⊥b ， ∴与向量a , b 夹角相等的向量c 在∠AOB 的平分线上，

=±(, -) 且与a +b 共线， a +b =(4,-3) ， ∴与a +b 共线的单位向量为±55|a +b |

) 3. ) ∴c =(, 或5555

18. 解：（1）若点A ，B ，C 不能构成三角形，则这三点共线.

A B =(3, 1) , A C =(-2m , -1, m 从而有3(1-m ) =2-m ⇒m =1,

2

∴m =1时，点A ，B ，C 不能构成三角形.

2

(2) ①若∠A 为直角，则AB ⊥AC ，∴3(2-m ) +(1-m ) =0⇒m =7

4

②若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，又BC =(-1-m , -m ) ， ∴3(-1-m ) +(-m ) =0⇒m =-3

4

③若∠C 为直角，则BC ⊥AC ，∴(2-m )(-1-m ) +(1-m )(-m ) =0⇒m =.

综上所述，当m =7或m =-

3或m =时，∆ABC 为直角三角形.

44

三角恒等变换答案

§3.1 两角和与差的余弦

1

; 6. - ; 7. ;

654

8. 解：(1) cos(α+β) =cos α⋅cos β-sin α⋅sin β, α, β均为锐角，∴0

1. B 2. D 3. C 4. D

5.

cos β=, , ∴s αi n

∴sin β=

2

∴c o s α(+β=

02

π (2) cos(α+β) 且 0

49. 解：cos (β-α) =cos (α-β) =-cos [(+α) +(-β)] 0

332336

∴-π

又sin (2-β) =5, ∴cos (2-β) =12，

313313

∴cos (β-α) =-[cos (π+α) ⋅cos (2π-β) -sin (π+α) ⋅sin (2π-β)]=-[-3⋅12-4⋅5]=56

119

10. 解: cos2α=cos[(α+β) +(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β) -sin(α+β)sin(α-β) =-，

169

cos2β=cos[(α+β)(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β) +sin(α+β)sin(α-β) =-1

ππ3π3π

c o αs §3.2 两角和与差的正弦

1. B 2. B 3. C 4. D 5. 9 ; 6. n 8. 解: sin(α+β)sin(β-α) =m , ∴(s i α

c o βs +

s i n β

; 7. [－1，4] ; s i n αc αo s βs i n β) (s i α-n c o s βαc =m o , s

sin 2β⋅cos 2α-sin 2α⋅cos 2β=m , (1-cos 2β)cos 2α-(1-cos 2α)cos 2β=m ,

cos 2α-cos 2βcos 2α-cos 2β+cos 2αcos 2β=m , ∴cos 2α-cos 2β=m .

2=s i αn [+(β+) α-(β=) ]αs +i n β(α) -c o βs +(α) +c βo s (α9. 解: s i n α, -βπ3π33π3π

12534

cos(α-β) =, ∴s i n α(-β=) , s i n α(+β=) -, ∴c o s α(+β=) -,

131355

[1**********]

∴sin2α=(-) ⨯+(-) ⨯=-+(-) =-.

[1**********]5

10. 解：（1

） |a -b | 2 2 2 2

∴a -2a ⋅b +b =4，又a =(cos α, sin α), b =(cos β, sin β), ∴a =b =1

4

2-3

∴a ⋅b ==， 故cos (α-β) =cos α⋅cos β+sin α⋅sin β=a ⋅b =3.

25 （2） -

22

∴0

513

∴cos β=，

13

∴sin α=[(α-β) +β]= =33.

65

§3.3 两角和与差的正弦、余弦

56

1. D 2. D 3. A 4. A 5. 4k π-(k ∈Z ) ; 6. ; 7. m －1

365

111

8. 解: sin α-sin β=-, ∴(sinα-sin β) 2=, ∴sin 2α-2sin αsin β+sin 2β= ①

399111

又 cos α-cos β=, ∴(cosα-cos β) 2=, ∴cos 2α-2cos αcos β+cos 2β= ②

244

131359

①＋②得: 1-2(sinαsin β+cos αcos β) +1=, 2-2cos(α-β) =, ∴cos(α-β) =.

363672

11+=9. 解:

2222sin πcos x -cos πsin x sin πcos x +cos πsin x 3333

11x +sin x +x -sin x

=

3122cos x -sin x

44

2

4cos x -3cos x -1=0, (4cosx +1)(cosx -1) =0,

, =

1

故 cos x =-或

cos x =1.

4

10. 解：（1）m ⋅n =2sin B =|m |⋅|n |⋅cos π

, ∴2sin B ，即4sin 2B =2-2cos B ⇒cos B =

-1，

3

∴B =. B ∈(0, π),

3

（2）由（1）知A +C =π，∴sin A +sin C =sin A +sin (-A ) =sin A

A -1sin A

32

=sin A A =sin (A +)

2

3

0

sin (A +) ≤1，即sin A +sin C ∈(1].

33333

§3.4 两角和与差的正切

1. C 2. A 3. B 4. B 5.

6.

3; 7. －4 ,

22

8. 解：由已知得tan β=1-tan α=tan (π-α) ， α, β均为锐角，∴π-α, β∈(-π, π) 且tan x 在(-π, π) 上是

∴tan (α+β) =1. 单调函数，∴β=-α，即α+β=,

44

9. 解：（1

）由已知条件及三角函数的定义可知cos α

，cos β α, β均为锐角，

tan α+tan β ∴sin αsin β，∴tan α=7, tan β=， ∴tan (α+β) ==-3. 21-tan tan -3+1=-1， 又 0

22απ10. 解: α+2β=π, ∴α=π-2β,

tan tan β=2

∴tan(-β)tan β=23323

⋅t a n β=3解得: tan β=

1或tan β=2. π2ππα 若tan β=1, β是锐角, ∴β=, α=π-=;

若tan β=2, tan =1, 43262

α为锐角, ∴0

2

t a n 422

6不满足题意. 3 所以存在锐角α, β, 使题意中的两个条件同时成立, 且有α=

π, πβ=. 4

§3.5 二倍角的三角函数

24, 6. ; 7. -7 7

18. 解: ∵在锐角△ABC

中，A +B +C =π, sin A ∴ cos A = 3B +C sin 2

B +C A +sin 2A =1-cos(B +C ) +1-cos A =1+cos A +1-cos A 又 tan 2+sin 2=22cos 2B +C 21+cos(B +C ) 21-cos A 2

2

B +C A 7 ∴ tan 2+sin 2=. 223

cos 2-sin 2cos +sin 1+tan ===tan (+) 9. 解：y ==1-sin x (cos x -sin x ) 2cos x -sin x 1-tan x 42 当+∈(k π-, k π+), k ∈Z 时，y 为增函数，故所求单调递增区间为：(2k π-, 2k π+), k ∈Z . 4222221. D 2. B 3. D 4. B

5. 10. 解：(1) 由cos x ≠0，得x ≠k π+π, k ∈Z ， 所以f (x ) 的定义域为{x |x ≠k π+π, k ∈Z }. 22

(2) 因为tan α=-4，且a 是第四象限的角，所以sin α=-4, cos α=3， 355

2 于是f (α) =2cos α-2sin αcos α=2(cosα-sin α) =14. cos 5

§3.6 几个三角恒等式

11. C 2. A 3. A 4. B 5. ; 6. ; 7. 0 28

'''' 8. 解：原式='-'=cos67︒30cos22︒30cos67︒30⋅cos22︒30sin 45︒ ==2sin 45︒=2 (cos90︒+cos45︒) A 119. 解: sin B sin C =cos 2⇒-[cos(B +C ) -cos(B -C )]=(1+cos A ) , 整理得: cos(B -C ) =1, 222

-π

- 11 -

-，化简有：cos A +cos C =-A ⋅cos C

10. 解：由已知可得B =60︒

，∴+=cos A cos C

⇒2cos A +C ⋅cos A

-C =cos (A +C ) +cos(A -C )]

，由于cos (A +C ) =-1, ∴cos A +C =1，

∴cos A -C cos(A -C ) ，将cos

(A -

C ) =2cos 2-

1代入上式得2+2cos -0 2

2 ⇒(2cos A -C (A -C +3) =0, A -C +3≠0, ∴cos A -C .

三角恒等变换单元测试题

1. A 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D

8. B

9. D 10. B

111. 1; 12. -; 13. 5, -5; 14. 0 2

2π11, 215. 解: sin(+α) =, α∴(s i αn +c αo s =, α=, ∴sin α+cos α=943327π7 ∴1+2sin αcos α=, ∴

2sin αcos α=-,

α∈(, π

), ∴sin α>0且2sin αcos α=-

9944α-c o αs

o i s , =s s , s i n

∴c o α3

sin α1+tan α=sin α+cos α==; (1) =1-tan α1-sin cos α-sin α-4cos α31+

(2) cos(α-) +sin2α=cos(α-+) +2sin αcos α=cos[-+

(+α)]+2sin αcos α 42424

π174

=s i +α) +. ]2

αs i n αc s -4399

51+cos2x 16. 解: （1） f (x )

=5sin x cos x -2x =sin2x -

2251π =sin2x x =5(sin2x x ) =5sin(2x -) 223

2π ∴T ==π. 2

ππ3π5π11π5π11π （2）递减区间为2k π+≤2x -≤2k π+, ⇒2k π+≤2x ≤2k π+⇒k π+≤x ≤k π+232661212

5π

11π 故递减区间为[k π+, k π+

](k ∈Z ) ; 1212

（3）将y =5sin 2x 的图象上的所有点向右平移π个单位，y =5sin(2x -π) =5sin[2(x -

π)]. 366

17. 解：（1）由cos α=1, 0

α=； 21- （2）由0

∴cos β=cos[α-

(α-β)]=cos α⋅cos (α-β) +sin α⋅sin(α-β) =1, ∴β=

. 23 18. 解： m +n =(cos θ-sin θcos θ+sin θ) ，

∴|m +n |

由已知|m +n |得cos (θ+π) =7，又cos (θ+π) =2cos 2(θ+π) -1, ∴cos 2(θ+π) =16， 又 π

- 12 - πππππ

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高中数学4

课课练 单元测试★参考答案

（2009年2月）

远方出版社