函数在生活中的应用
生活中的函数的观察与研究
武山二中
指导教师:周维强
课题组长:康淑明
课题组成员:王晨霞、赵小刚、裴正杰
开题报告
一、选题背景
日新月异的崭新世界在告诉我们一个现实:知识本身的获得已经不是最重要的了,重要的是如何去获得知识,如何通过学习到的知识解决实际问题并将其应用到更广的范围。《生活中的函数的观察与研究》主要是突出学生的主体地位,学生学习观察生活,师生共同研究探讨,学生收集资料,使学生获得成功,获得满足,为研究性学习进入数学教学做一点有益的探索。
二、研究目的
我们这个星球,宛如飘浮在浩瀚宇宙中的一方岛屿,从茫茫中来,又向茫茫中去。生息在这一星球上的生命,经历了数亿年的繁衍和进化,终于在创世纪的今天,造就了人类的高度智慧和文明。
这个世界的一切量,都跟随着时间纳变化而变化。时间是员原始的自行变化的量,其他量则是因变量。一般地说,如果在某一变化过程中有两个变量x ,y ,对于变量x 在研究范围内的每一个确定的值.变量y 都有唯一确定的值和它对应,那么变量n 就称为自变量,而变量y 则称为因变量,或变量x 的函数.记为:y =f(x)。
而有了函数,我们就可以用它来计算和观察分析这些量。看它的变化规律。继而把它运用到实际生活中,造福人类。函数的意义就在此。
三、研究方案
1. 将研究课题分为几个方向,各自搜集资料,主要方向为: 函数的历史; 函数在生活中的应用。
2. 要求:
在指导老师的协调指导下,通过调查研究,小组合作共同完成一份探究性学习的报告。
3. 研究方法
图书馆资料查阅;生活中数据收集。
4. 研究成果:研究论文
5. 研究步骤:
(1)时间安排:2011.6. ——2011.7
(2)参与学生:高一(2)班部分学生
(3)指导教师:数学老师
三.函数的运用:
研究性学习所做的工作
(1)教师确定研究性学习的方向,生活实践中存在着各种各样问题,有一些是可以用函数知识来分析和解决的,找出它的解析式,这个函数的值是否存在最大或最小值?并且指出变量的意义。
(2)学生收集资料:
①教科书、辅导书、网络
②信息中心、图书馆
③教师、家长社会科研机构专家及社会各方面的专业人才
(3)整理资料:分析函数类型,对性质共同的函数类型进行探讨。
(4)交流汇报:教师主持交流汇报,及时给予学生思考的问题拓展、深化。
一.函数的历史:
函数一语,起用于公元1692年,最早见自德国数学家莱布尼兹的著作。记号f (x )则是由瑞士数学家欧拉于公元I724年首次使用的。上面我们所讲的函数定义,属于德国数学家黎曼(Riemann,1826~1866)。 我国引进函数概念,始于1859年,首见于清代数学家李善兰(1811~1882)的译作。
二.函数的意义:
在现实社会中,函数的运用相当广泛。而且由于函数的出现,也有了许多有关函数的故事。下面是其中的一个故事《折纸的科学》:
虽说我们中国人对五角星怀有特殊的感情。但人类对五角星的喜爱,却没有明显的疆界!早在公元前的古希腊,人们使深为五角星的魅力所吸引。右
图是那时毕达哥拉斯学派的信徒们,作为俱乐部成员徽章的图案。
图中的象征性数字,及如同现代立交桥那般的立体线条,使人们
似乎感觉到一种无穷的运动,周期为5,循环反复,永不休止!
折纸的艺术,貌似简单,内里往往包含着
深刻的科学道理。折纸的方法也远不是单一的。就以折正五角星来
说,人们完全不必用繁杂的折叠手续!
实际上只要打一个普通的结也就足够了
可能读者中会有人以为,折纸只能折出
直线的图形,因为折痕无论如何只能是
直的。其实.这是一种误解!足够多的
直的折痕,有时也能围出优美的曲线。
请你用纸剪出一个矩形纸片ABCD 。如同右图那样折叠,使每次
拆后A 点都落在CD 边上。无数的折痕会像右图那样围出一条
曲线。这样的曲线,在几何学上称为折痕的包洛。包洛曲线是一
段抛物线弧。
当你抛掷石子的时候,你会看到石子在空中划出一条美丽的弧线。这条弧线是由于石子同时受地心引力和惯性运动两者作用的结果。假定你抛掷石子时与水乎成α角,又石子出手时速度为v 。,则在时刻t 石子运动的位置坐标(x、y) 为:
消去时间t 后,将得到一个关于x 的二次函数。因此,二次函数的图像,我们也称为抛物线。有趣的是,当我们抛掷的初速度不变,而仅仅改变抛掷角时,将会得到如同下图那样一系列的抛物线,这无数抛物线的包络,也形成一条抛物线,物理学上称为“安全抛物线”
。假如
读者有机会欣赏喷水池中喷射出的美丽水帘.那么你将领略这一想象中包络曲线的特有风采!
让我们回到折纸的课题上来,研究一下为什么前面讲到的折痕包络是一条抛物线? 如下页左图,以AD 的中点O 为原点,以OD 为Y 轴正向,建立直角坐标系。令AD =p ,则A 点的坐标为(o,) ;设A' 为CD 上的任意一点,EF 为A 折向A' 时纸上的折痕,T 在EF 上,满足TA' ⊥CD 。下面我们证明:T 点的轨迹,即为折痕的包络曲线。事实上,令T 点
的坐标为(x,y)
:
整理得。也就是说,T 点的轨迹是一段抛
物线弧。剩下的问题是,必须证明它与折痕相切。为此,令直线AA' 的斜率为k ,则k =P/XA'注意到折痕EF 为线段AA ’的垂直平分线,容易求出直线EF 的方程为
:
; 两方程联立,可得:
;
EF 与曲线而直线相切。这就证明了所求的抛物线,确实是折痕的包络。
四.后记:
只要你细心观察生活,就会发现:生活中处处有着函数。比如说电表,水表,这是比较简单的单调增函数。发工资时的交个人所得税的计算,也是一个函数,而且还是有一定定义域的,它对于不同的工资,有不同的计算方法,这样使工资高的交得多,而工资少的交得少。可以说,函数与我们的生活夕夕相关。所以,我们应该认真学好函数。
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