结构力学 第七章 结构位移计算

第七章 结构位移计算

到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。

讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该…

刚度校核

杆件结构位移计算 →

截面设计

（结构变形+刚度位移）

确定P max

又是超静定结构计算的基础（双重作用）。另外本章主要讨论各种杆件结构的位移

{

计算问题。

结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。

§7-1概述

一、

截面C 线位移：∆C 角位移：ϕC

结点的线位移： 两点（截面）相对线位移： 杆件的角位移： ϕAB 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：

1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。

结构的位移

画图：梁、刚架、桁架 （内力N 、Q 、M ——拉伸、剪切、弯曲）

截面C 线位移：∆C 。一般 分解成水平、垂直两方向：∆CV ∆CH 、 角位移：ϕC

2、位移的分类：6种

绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移：

相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移： 统称为：

广义位移：角、线位移；相对、绝对位移

Δki ：k ：产生位移的方向；i ：引起位移原因。如ΔA P 、Δat 、ΔA C 广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合

二、引起位移的原因

1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移）

2、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力非0应变→结构变形

（材料胀缩引起的位移性质同）

3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化)

刚体位移 （制造误差同） 变形位移

{

三、计算位移的目的

1）刚度验算：最大挠度的限制

（框架结构弹性层间位移限值1/450） 2）为超静定结构的弹性分析打下基础

3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施：

（起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密） 四、计算位移的有关假定 （简化计算） 1）弹性假设 2）小变形假设

建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系 3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦）

变

形体系

线性变形体系（线弹性体系）

荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消

失，无残余变形，（可用位移叠加原理） 非线形变形体系

（分段线形叠加）

{

4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）

§7-2 变形体系的虚功原理

一、 位移

实位移：外因作用下结构实际位移

虚位移：根据解题需要，虚设位移状态 （满足变形协调＋边界条件） 统称为：广义位移

二、

功：

常力的功： T ＝P ×Δ＝P ×D ×cos a （大小、方向、作用点不变） 变力的功：Ｔ＝⎰s dT ＝⎰s P ×cos （P ，d s ）×d s

力偶所做的功：

功两要素：力与位移P ：广义力（力、力偶、相对力、相对力偶）

Δ：和广义力相对应的广义位移（线、角、相对线、相对角）

注意：在定义功T 时，没有说位移Δ是由力P 引起的，可能由P 或其它原因，但P 力照样作功。

例：简支梁，两个集中力，分别作用，先后作用。

P 1 Δ21 11 功。

引出功的形式有两种：

实功：力与位移相关。 力在其本身引起的位移上所做的功。积分得：T=P×相对位移/2，恒正

虚功：力与位移无关。

力在由其它原因（别的力、温度变化……）引起的位移上所做的功，T’＝力×位移

注：①力：广义力；位移：广义位移

②虚功并非不存在之意，力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，只强调

作功的力与位移彼此独立无关：做功的位移不是由力引起的，而是由其它因素（其它力、其它外因）引起的

③作虚功的位移，并不限于荷载引起的，也可以由其它原因引起的。 ④实功恒为正，虚功可正可负

力所做的功：该力大小乘以力方向上的相应位移

2

Δ12

P 2Δ22

实功：W 1=1/2P1Δ11 实功：W 2=1/2P2Δ22 虚功：W=P1Δ12

可以看出：不论位移是否由内力引起，只要在力的作用方向上有位移，该力就对位移作

⑤两种功计算方法不同

本章讨论虚功原理，目的是为了研究结构的实际状态： 1）未知力：虚位移 2）求位移：虚力

所以作虚功时，力状态和位移状态是彼此无关的，其中任一可以虚设，但并不是随便假设。

所以对于虚功，应该强调两点：

1）假设的这种虚位移（或虚力）和所研究的实际力系（或实际位移）完全无关，可以独立地按照我们的目的而虚设；

2）假设的虚位移（或虚力）在所研究的结构上应该是可能存在的位移（或力）状态；

也就是：位移状态：应该满足结构的变形协调条件，边界条件

力状态：应该满足结构的平衡条件。

1、广义力和广义位移对应（虚功的几种形式） 2、无关

3、其他外因

4、一个实际、一个虚设、解决两类问题 5、独立按求解目的假设 6、满足相应条件

关于虚功的几点说明

三、刚体虚功原理（简单回顾一下）

对于某一刚体体系，存在一个力状态，满足静力平衡条件

同时存在一个位移状态，满足变形协调条件＋边界条件 两种状态无关 ，对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为0。 注意：力状态、位移状态可以分别是虚设的，则：虚功原理有两种形式： 虚位移原理：求力 虚力原理：求位移

1、虚位移原理，求静定结构的约束力（支反力或内力）（结合例题）

取实际力状态，解除待求约束力的约束，用约束力代替，静定结构→可变

步

（刚体体系）

骤

沿待求约束力方向虚设单位位移，以刚体体系产生的位移状态

虚位移状态 →虚功原理

{

单位位移法：在拟求未知力X 方向虚设单位位移，利用几何关系求δP 。 特点：利用几何方法求解静力平衡问题。 2、虚力原理，求刚体体系的位移（结合例题）

单位荷载法：在待求位移方向虚加一个单位荷载（两者对应，以达作虚功的目的）

特点：用静力平衡的方法来求解几何问题。推广到变形体的位移计算。 3、静定结构在支座移动时的位移计算（结合例题）

上面2的方法可以推广一下：从上节课的分析可知，静定结构在支座移动时，不产生任何内力及变形，因此结构的位移纯属刚体位移，可以利用刚体体系的虚功方程求解。 例：

四、变形体体系的虚功原理

1、弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动： 刚体体系的虚功原理不再适用，但可以将之推广：

由能量守恒：W ＋H ＝∆E H ：外部吸收的能量；W ：外力所做的功

∆E ＝T ＋U T ：动能；U ：变形能的增加(内力做功) ；E ：结构能量的改变

若加载缓慢，不考虑能量损耗：

W ＝U 外力所做的功＝结构形变能的变化=内力所做的功

变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功（外力虚功）=变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形（应变）所作的虚功（内力虚功）。

3、虚功方程

∑⎰P . d ∆=∑⎰Ndu +∑⎰Qrds +∑⎰Md ϕ 外力虚功=内力虚功

例：

实际力状态：外力：P ；

内力：N 、Q 、M 满足平衡条件

实际位移状态：位移：Δ；

变形：du rds d ϕ 满足相容条件 虚位移状态：虚位移：δ∆

虚变形：δu δηδϕ 虚力状态：虚外力：P 虚内力：N Q M Q

虚位移原理：实际力状态+虚位移状态

∑P . δ∆=∑(⎰N δu +⎰Q δη+⎰M δϕ)

虚力原理：实际位移状态+虚力状态

∑P . ∆=∑(⎰N du +⎰Q rds +⎰M d ϕ)

注： 1）

功能原理

力与位移无关

虚功原理

实 虚 实

虚力原理

也就是说：

作功的外力和内力组成力状态应满足平衡条件；位移和应变（变形）、位移状态应满足变形协调条件和边界条件。这两种状态是彼此无关的，其中一个可以虚设，计算结构位移时应取实际的位移状态，再虚设一种平衡的力状态进行求解（虚力原理）。 2）上式变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构和三维块体），我们用于一维杆件结构的变形体体系的虚功原理。

3）实际的力状态或虚设的力状态（内外力）均应满足的静力平衡条件。

4）杆件结构的每一个杆件的位移状态（实际或虚设）均应满足：①任一微段满足应变～位移关系；②边界位移满足约束边界条件。

这两个条件即为变形协调条件，如果一个杆件的位移状态满足这两个条件，则称这种状态能满足变形协调条件或称他是几何可能的位移状态。

§7-3位移计算的一 般公式（单位荷载法）

一、基本公式的推导：

例（P107页图7-5）：一刚架：在外荷载、支座位移及温度变化等作用下而发生变形→产生

位移，要求：任一点K 沿指定方向K-K 的位移分量Δka ，实际位移状态5-14a ，C a 实际的支座位移，εa 、γa 、κa ，实际的轴向应变、剪切角、曲率。

仿照刚体体系求位移方法（单位荷载法）：取实际的位移状态作为位移状态，虚设一个力状态，越简单越好，且要求和Δka 相对应，使虚功方程含Δka ，要求对Δka 作虚功，所以沿K-K 方向虚加一无量纲的单位荷载P K =1（单位荷载法），则结构在虚单位荷载作用下，支座C 产生虚反力R k ' ，R k ' ' ，产生内力N k ，Q k ，M k 组成一个平衡的力状态，和原位移状态无关（虚）。例：5-14b ）

外力虚功=P K ∆K +R 1C 1+R 2C 2+R 3C 3=1. ∆K +∑R C 内力虚功=∑

(⎰N du +⎰Q rds +⎰M d ϕ) (

)

由虚力原理建立虚力方程得：

1. ∆K +∑R C =∑⎰N du +⎰Q rds +⎰M d ϕ 因此：∆k =-∑R C +∑(⎰N du +⎰M d ϕ+⎰Q rds )

二、公式应用说明：

1、引起位移的外因可以是荷载，也可以是初应变、支座位移、温度变化、装配误差、制造误差、材料胀缩等。

2、引起位移的变形可以是弯曲变形，也可以是轴向变形或剪切变形，同时含刚体位移。 3、所能计算的位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线（角）位移，也就是广义位移。

4、杆件结构的类型可以是梁、刚架、桁架、拱或组合结构，它们可以是静定的，也可以是超静定的。

5、材料可以是弹性，也可以是非弹性的。

6、应用这个公式每次可以求一个广义位移分量。沿待求位移方向加虚单位力时指向可以任意假设，若求得的位移为正值，则表示实际位移的指向和假设单位力的指向相同。 7、所加的虚单位广义力应该和所求的广义位移对应。

1）求某点（截面）的线位移：水平、竖向、某方向、总的线位移，沿所求线位移方向加单位力。

Δ

CV

ΔCV

CV 、ΔCH →ΔC ）

（方向未知时，求Δ

2）结构上某截面C 的角位移，单位力偶。

3）杆件角位移θ

AB ，加两集中力组成的单位力偶

4）A 、B 两点沿其连线方向的相对位移ΔAB ，其连线上加两个方向相反的单位力

5）两截面相对角位移，两截面上加两方向相反的单位力偶。

θC 左右

θ

AB

6）两杆件的相对角位移

两个方向相反的单位力偶如图，每个单位力偶由两个集中力形成。 前述广义位移主要有六种形式，相应的广义力也有六种，两者一致。

§7-4 静定结构在荷载作用下的位移计算

一、一般公式

∆k =-∑R C +∑(⎰N du +⎰M d ϕ+⎰Q rds )

若引起位移的外因仅是荷载，即仅考虑荷载作用：

1）支座位移C =0，也无温度影响；

2）微段变形du ，rds ，d ϕ是由实际荷载在ds 微段引起的轴向、剪切和弯曲变形, 记为：du P ，r P ds ，d ϕP 。设N P 、Q P 、M P 分别表示实际荷载作用下结构内微段的轴力、剪力、弯矩。

对于线弹性材料，由材料力学公式知：

du P =

N P ds Q ds M ds

， γP ds =k P ， d ϕP =P EA GA EI

注：①杆件的拉伸刚度 剪切刚度 弯曲刚度

A S 2*

②k =2⎰2——剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，和截面形状有关。

I A b

矩形截面：k=1.2 圆形截面：k=10/9

工字形截面：k=A/A1，A 1（腹板面积） 薄壁圆环形截面：k=2

3）代入位移公式，得由荷载引起：

{

∆kP =∑⎰N du P +∑

⎰M d ϕ

P

+∑

⎰Q r ds

P

∆kp

k Q Q p N . N P M M P

=∑(⎰ds +⎰ds +⎰ds )

EA GA EI

这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。

单位荷载法：沿所求位移方向虚设单位荷载P =1求所求结构位移的方法

二、 公式说明

1、N 、M 、Q ：P =1引起的内力 对于静定结构均可由平衡条件求解

N P 、M P 、Q P ：实际荷载引起的内力。两组内力符号规定一致 2、EA 、EI 、GA ：抗拉、抗弯、抗剪刚度。位移与截面有关 3、⎰：杆件长度积分；∑：各杆件和积分值求和——积分法 建立内力函数时，实际状态与虚拟状态的坐标应取为一致。 4、对于不同类型的结构，上式可以简化：

1）梁、刚架：以弯曲变形为主，轴向、剪切变形很小，可以略去。（结合例题说明）

∆=∑⎰M M P

kp EI

ds 例：P112页图7-10。

2）桁架：只有轴力，且同一杆件的轴力N k 、N P 及EA 沿杆长度l 均为常数。∆N N P kp =∑⎰

EA ds =∑

N N P . l

EA

例：P113页图7-12。

3）拱：∆=∑(⎰N . N P k Q Q p M M P

kp +GA ds +⎰GA +⎰EI

ds )

一般取一项，但当拱轴线→压力线成为合理拱轴时，N 为主要时取两项。4）组合结构：

{

梁式杆，只考虑M 轴力杆，只考虑N

∆kp =

M M P N N P l

梁式杆∑⎰EI ds ＋轴力杆

∑EA 5、计算基本步骤：

（1）P ＝1；（2）N P 、M P 、Q P ；（3）N 、M 、Q ；（4）代入公式

三、公式应用：

这种直接利用公式积分求位移的方法：积分法。

注意：①各杆可根据需要取不同坐标轴，列内力表达式；

②同一杆两种状态内力表示时，坐标轴应相同； ③同一杆件，两种状态下，内力正负号规定应相同； ④须对所有杆件叠加，不能遗漏。

§7-5 图乘法

梁式杆件在荷载作用下位移计算公式：

M M P

ds EI

因为一般情况下，每杆的M k 、M P 变化规律各不相同，同一杆荷载复杂时，分好几1. ∆kp =∑⎰

段列方程，你必须每个杆取一坐标系，列弯矩方程、积分、叠加。当1）杆件较多；2）荷载较复杂时，求解起来比较困难。将内力与内力图联系起来——图乘法 一、图乘计算原理及计算公式 1、条件：①对于一段等截面直杆；

②当EI 沿长度方向不变时，（工程中梁、刚架、组合结构的杆件大多是等截

面直杆且由同一材料做成）；

③分别作出该段杆的M k 、M P 图，若其中有一个图形乃直线图形。 杆段图：

P114页图7-13。

M M P xtg αM P tg α

ds ＝∑⎰EI ∑⎰EI =∑EI ⎰xM p ds

=∑

ϖ. y c tg αtg α

xd ϖ=x =∑EI c ∑EI EI ⎰

说明：（dw= MP (x)dx；dx 很小→小矩形）=

B

tga B

x ∙dw ，几何意义：微面积dw 对y 轴的⎰A

EI

面积矩；⎰A x ∙dw ：AB 段M P 图的面积w p 对y 轴的面积矩。用x 0表示M P 面积的形心到y 轴的距离，则根据材力（理力）的分析：M P 图的面积w p 对y 轴的面积矩=MP 图的面积w p *该图形的形心到y 轴的距离x 0，也就是：⎰A x ∙dw =w p •x 0。所以：上式=

tga 11

∙w P ∙x 0=∙w P ∙x 0tga =∙w P ∙y 0k EI EI EI

B

其中y 0k 为M k 图中与M P 图的形心相对应的竖标。

当然：如果M P 图为直线图形，M k 图为直线或曲线图形，可得类似结果。

结论：对于一般EI=常数的等截面直杆，求由弯矩引起的位移时，若M k 图是直线图形：⎰

M K M P M M 11

ds =∙w P ∙y 0k ；若M P 图为直线图形：⎰K P ds =∙w K ∙y 0P ，这两EI EI EI EI

M K M P w ∙y 0

ds =Σ ⎰EI

EI

个式子就是图乘公式。

如果结构上每一个杆均可图乘，则Σ

图乘法求位移把列弯矩方程，求积分的问题→作M 图，求面积、形心、竖标的问题，

如果作M 图比较熟练，那么当1）杆件较多，2）荷载较复杂，图乘法比积分法方便、优越。

二、公式应用说明：

1、注意应用的三个条件

2M k 图和M P 图在同侧（积分值为正，所以…），（w 和y 0在杆件基线的同侧时）w 、y 0为+，否则为- 。面积、形心、竖标三者关系。 3、几种常见图形的面积和形心位置（P115页图7-14。）

a) 三角形：面积w=lh/2，形心2l/3（直角）；面积w=lh/2，形心(l+a)/3 b) 全二次抛物线（上凸）：面积w=2lh/3，形心l/2 c) 二次抛物线（上凸）：面积w=2lh/3，形心5l/8 d) 二次抛物线：面积w=lh/3，形心3l/4 e) 三次抛物线：面积w=lh/4，形心4l/5

f) n 次抛物线：面积w=lh/(n+1)，形心(n+1)l/(n+2) 抛物线顶点：顶点处的切线与基线平行。

4、图乘法的关键：求w ；形心的位置；y 0，但应注意其三个应用条件。对于简单图形，确定w 、形心的位置及y 0均比较容易；对于复杂图形，确定w 、形心的位置及y 0均比较困难，这时可将图形分成许多简单图形的叠加，分别定面积、形心和竖标，分别图乘叠加，求代数和。注意：弯矩图的叠加是竖标的叠加，而非图形的叠加。 图乘法应用时的几个具体问题。

1) 如两个弯矩图形均是直线，则标距y 0可取自其中任一图形（对应）。 2) 如一个为曲线，另一个是几段直线组成的折线，则分段叠加。 3) 两个梯形图乘（公式计算）（变化形式，有正负、异侧）

4) 均布荷载作用区段，区段叠加法、分解（对应），弯矩竖标叠加而非图形叠加。

(a+b)图乘c=a图乘c+b图乘c ，图乘法的优势：利用大家比较熟悉的内力图的作法。 下面我们再讨论两个题目：

例：

M P M 1

∆1P =

[1**********]11

(⋅l ⋅ql 2⋅⋅l +ql 2⋅l ⋅l +⋅2l ⋅ql 2⋅⋅l +⋅2l ⋅ql 2⋅l ) EI [1**********]3

=

1112EI

ql （图乘法）4

例2：P118图7-22。

例3：P117图7-21。

例4：P118图7-23。

§7-6静定结构温度变化时的位移计算

静定结构由于温度变化，不产生内力，但由于材料自由伸缩引起各微段发生变形。温度引起的位移计算的一般公式：

∆kt =∑⎰N du t +∑

⎰M d ϕt

+∑⎰Q r t

ds

式中：

1、微段ds 轴向变形du t ：P119页图7-24。

假设温度变化沿截面高度成直线变化，此时温度变化时截面仍保持为平面。 t 1、t 2：为截面上、下边缘温度变化；

t =⎛ h 2h ⎫⎝h

t 1h t t +t

1+2⎪⎭，为杆轴线处的温度变化, 若截面对称，则t =12

杆件轴线处：du ds -αt h ⎛h

2h ⎫t =αt 1ds +(αt 21ds ) 1h =α ⎝h

t 1+1h t 2⎪⎭ds =αtds

2、微段ds 弯曲转角d ϕt ：

d ϕt 2ds -αt 1ds

(t 2-t 1)

α∆tds

t =

αh

=

αh

=

h

∆t =t 2-t 1

3、微段ds 剪切变形r t ：

r t =0，由于对于杆件结构，温度变化不引起剪切变形 4、代入公式：

∆kt =∑⎰N αtds +∑

⎰M

α∆tds

h

=∑αt ⎰N ds +∑α∆t ⎰M ds

h

轴向变形+弯曲变形 =∑αt ⎰N ds +∑α∆t

h

⎰M ds 若为等截面杆

=∑αt ωN +∑

α∆t

h

ωM ωN 、ωM ：分别为N 、M 图形的面积。

5) 公式应用注意说明：

①正负号规定：由于公式右边为内力所作的变形虚功，故当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其积为正，相反时为负。一般规定： t 以升温为正； 轴力N ：以拉力为正；

弯矩M ：以弯曲变形与∆t 引起的变形一致为正 ②对于具体结构公式可以简化：

梁、刚架：一般略去轴向变形的影响。∆α∆t

kt =∑h

ωM

桁架：∆kt =∑αt ωN =∑N αtl 组合结构：综合考虑梁式杆、轴力杆

③当桁架由于制造误差，其杆件长度与设计长度不符时，所引起的位移计算：

∆km =∑N . ∆l

式中，∆l 为各杆长度的误差，升长为正，缩短为负；N 以拉力为正。 6、计算步骤：

（1）P ＝1；（2）绘N 、M 图，计算图形面积；（3）计算杆轴线处温度变化 （4）代入公式

例：P120页图7-25

§7-7静定结构支座移动时的位移计算

静定结构由于支座移动引起的位移计算属于刚体体系问题。 一、一般公式： 由单位荷载法公式：

∆k =-∑R C +∑(⎰N du +⎰M d ϕ+⎰Q rds )

若只考虑支座移动影响，则公式简化为： ∆kc =-∑R C P121页图7-26 式中：R ：虚拟状态下的支座反力；

C ：实际位移

正负号规定：若R 与实际支座位移c 方向一致时，其积为正，相反时为负。二、求解步骤：

（1）P ＝1；（2）R ；（3）代入公式

例：P121页图7-27

§7-8 线弹性结构的互等定理

线性变形体系有四个互等定理，这些互等定理在求位移和超静定结构的内力时是十分有用的。互等定理的应用条件是：

1）材料处于弹性阶段，ζ、ε成正比 2）结构变形很小，不影响力的作用

线性变形体系 }

一、 功的互等定理

例：同一种结构的两种受力状态：状态1、2。P122页图7-28

①取状态1上的力系为作功的力系，取状态2上的位移作为虚位移，则

W 12=U 12=∑⎰M 1d ϕ2+∑⎰N 1du 2+∑⎰Q 1r 2ds

（状态1的外力在状态2位移上的虚功=状态1上各微段内力在状态2变形上所做虚功） =∑⎰M 1

M 2ds N ds kQ

+∑⎰N 12+∑⎰Q 12 EI EA GA

②取状态2上的力系为作功的力系，取状态1上的位移作为虚位移，则

W 21=U 21=∑⎰M 2d ϕ1+∑⎰N 2du 1+∑⎰Q 2r 1ds

（状态2的外力在状态1位移上的虚功=状态2上各微段内力在状态1变形上所做虚功） =∑⎰M 2③W 12=W 21

结论：在一线性变形体系中，状态Ⅰ的外力由于状态Ⅱ的位移所作的虚功=状态Ⅱ的外力由于状态Ⅰ的位移所作的虚功。同一位置的广义力和广义位移应该对应。 注：现在讨论这两个力按不同的次序先后作用于这一结构上时所作的功：

先P 1、后P 2；先P 2、后P 1。这两种加载情况，外力先后次序虽不同，但最后的荷载及变形情况是相同的，则两者加载情况所作的总功应相等。也就是：外力所作的功和加载次序无关。

M 1ds N ds kQ

+∑⎰N 21+∑⎰Q 21 EI EA GA

二、 位移互等定理

P123页图7-29、30

两种状态，只作用一广义力：W 12=P 1. ∆12

W 21=P 2. ∆21

由功的互等定理：

∆12∆21

，即： =

P 2P 1

δ12=δ21（单位力P 2=1引起的P 1作用点沿P 1方向的位移=单位力P 1=1引起的P 2作用点沿

P 2方向的位移）

结论：在一线性变形体系中，单位力P 2=1引起的P 1作用点沿P 1方向的位移（在数值上）=单位力P 1=1引起的P 2作用点沿P 2方向的位移 应用：力法计算超静定结构时使用。

例：

三、 反力互等定理 P123页图7-31

同一体系中任意两个约束1、2：

状态1：支座1发生单位位移Δ1=1，在支座2产生反力r 21 状态2：支座2发生单位位移Δ2=1，在支座1产生反力r 12 根据功的互等定理： r21Δ2= r12Δ1

r 21= r12

结论：对于一线性变形体系，支座1由于支座2的单位位移所引起的反力r 21等于支座2由于支座1的单位位移所引起的反力r 21。 应用：位移法计算超静定结构

（两种状态中，同一支座的反力、位移应对应）

四、 反力位移互等定理

P123页图7-32

同一体系中任意两个状态：

状态1：支座1发生单位位移Δ1=1，在2处产生位移 21 状态2：2处作用单位力P 2=1，在支座1处产生反力r 12’ 根据功的互等定理：W 21=r12’×1+1×δ21’

W 12=0

因此： r12’=-δ21’

结论：对于一线性变形体系，由于单位荷载P 2=1所引起的结构某一支座1处的反力r 12’=因支座1发生与反力方向相一致的单位位移时所引起的单位荷载作用处（2处）的位移，但符号相反

应用：混合法计算超静定结构。

注：后三个互等定理均是功的互等定理的特例。