求解函数值域方法综述
例８
如图２，ＭＮ为
Ａ
由菇是正实数，知Ａ＝（一１６０ｙ）２－４
ｘ９×
海岸线，一人划船在海中的Ａ处，他距海岸最近点Ｂ的距离为２ｋｍ，设此人划船的速度是每小时４
Ｍ
睑．
Ｂ
（１００—４００广）≥ｏ．
Ｎ
ＤＣ
解此不等式，取ｙ＞－－孟，即），秭。２ｉＪ－６，ｆ戚。＝
３
６
图２
３
ｋｍ，步行速度为每小时５ｋｍ，此人欲以最短的时间到达距离最近点Ｂ为６ｋｍ的海岸Ｃ处，那么他所需的最短时间是多少？登岸的点Ｄ距离最近点Ｂ的距离是多少？
解析：本应用题寻求所需的函数关系是解题的关键，有了它问题便可迎刃而解．
作ＡＢ＿ＬＭＮ于Ｂ，则ＡＢ＝２ｋｉｎ．设ＢＤ＝茗，
而＋了２于
把），＝私人９ｘ２—１６０ｙｘ＋１００—４００２＇２＝ｏ
中，求得菇＝÷ｋｍ检验合题意
因此，他所需最短时间为１．５小时，登岸的点＿Ｄ距点Ｂ为ｉＯ
ｋｍ．
则ＡＤ＝以２＋４，ｃＤ＝６吨时间ｔ
总之，在高三数学复习中，要十分重视函数内容的复习，要达此要求，通过习题既要夯实函数内涵概念与性质的全面复习，还要从高考要求出发，密切关注函数试题结构的变化，注意数学知识穿插，自觉行成运用函数观点，以提高自身的数学素质与能力．
＝÷厅可＋孚
令，，＝÷√；‘百一号，得，，＋詈＝
÷√陌，两端平方得９ｘ２—１６０ｙｘ＋１００—
４００ｙ２＝０．
●王辉
求解函数值域方法综述
求解函数值域有许多方法，如果认真的对它们进行研究，将会有利于开发学生的学习视野，以便培养学生的发散思维，达到举一反三、触类旁通的目的．笔者经过仔细地探究，归纳出了十九种求解函数值域的方法，现综述如下，供
所以Ｙ∈（一∞，３］．二、利用函数单调性求值域
例２
：一下１（４Ｆ司２＋萼一５＋４再ｉ
＝一÷（ｖ／西－４ｘ‘一１）２＋３≤３．
师生们参考
一、分离变量配方求值域
例１
求函数Ｙ＝厕一石百的值域
求函数Ｙ＝２ｘ一５＋川５—４ｘ的值
解：），＝√石＋２一＾，石＋１
域
解：ｙ＝２ｘ一５＋√／西－４ｘ。
２了云茏｛了云亓，而厕，ｏ确定义域内均为增函数，所以厢＋０砷定义域
・７・
万方数据
茗≥一１内亦为增函数，则原函数在［一１，＋００）上是减函数，且，，＞０，故原函数的值域为ＹＥ
（０，１］．
三、利用有界性求值域
例３求函数，，＝ｌｇ（１－２ｃｏｓｘ）的值战
解：因为一１≤ＣＯＳＸ≤１，所以０＜１—２ｃｏｓｘ≤３，Ｉｓ（１—２ＣＯＳＸ）≤１９３．
所以ＹＥ（一∞，１９３］．四、逆解法求值域
例４求函数ｙ＝口ａ一＋似ｂｘ（口＞ｂ＞０，一１≤戈
≤１）的值域
黜钆
解：由原式得茹＝磊手岩，于是一ｌ≤
所以，所求的值域为：￡专≤，，≤｝薯，ｅｐ
ｙ
ｒ口一ｂ口＋ｂ１
∈Ｌｉ万，ｉ万Ｊ‘
五、判别式法求值域
例５
求函数，，＝警的值域
解：变形原函数得：Ｙ＋ｙｘ２＝１＋４菇＋菇２ｊ（１－ｙ）ｘ２＋４ｘ＋１－ｙ＝０．
因为茹ＥＲ，所以△＝１６—４（１一，，）２≥０号（Ｉ一），）２≤４．
所以－２≤，，一ｌ≤２毒一１≤，，≤３．故所求值
域为Ｙ“一１，３］．
六、利用基本不等式求值域
例６求函数Ｙ＝菇２＋旦（菇＞Ｏ）的值域．解：因为茹＞ｏ，所以Ｙ：一茹２＋！＋生≥
３河＝６拒ｊ），≥６扭茗＝缸时取等号）．故所
求值域为Ｙ“６扭，＋∞）．
七、换元法求值域
例７求函数Ｙ＝石＋以一髫的值域．
解：由茹≥０且２一菇≥０知０≤菇≤２，可设菇
＝２ｃｏｓ２ａ，ａ∈［ｏ，罢］，贝Ⅱ有Ｙ＝Ａｅｏｓａ＋ｑ臣＂ｓｉｎａ
・８・
万方数据
＝２ｓｉｎ（ａ＋石，ＩＴ
Ｊ且百，ｆｉ－＜ａ＋寻≤挈，故所求值域
为［以，２］．
八、倒代法求值域
例８求函数Ｙ＝石＋√ｌ一戈的值域．
解：由题令＇４ｘ－＝ｙｓｉｎ２０，历＝ｙｃｏｓ２良
所以广２丽１则ｙ２ｓｉｎ４０＋ｙ２ｃｏｓ４０＝１．
２而１
，
所以１≤广≤２，Ｙ＞ｏ．
所以１≤），≤在，即ＹＥ［１，柜］．九、构造对偶式求值域
例９求函数Ｙ＝石＋／ｌ一戈的值域．
解：设Ｙ。＝石一“Ｆｉ，则Ｙ。在［ｏ，１］上为
增函数．
所以一１≤，，ｌ≤１，０≤衍≤１．又因为Ｚ＋广
＝２，所以１≤），２≤２．
又Ｙ＞ｏ，所以１≤ｙ≤厄，即ＹＥ［１，同．
十、利用反函数求值域
例１０求函数），２ｆ≥的值域・
解：因为原函数的反函数为Ｙ２
ｌ０９３
ｆ乏，
定义域为０＜茄＜１．
故原函数的值域为０＜），＜１，即ＹＥ（Ｏ，１）．十一、数形结合法求值域
例１１
解：将原式变为：，，＝五著等篡‰，此
求函数，，＝面詈熹的值战
ｆｕ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ（１ＨＩ≤√２且ｌ‘≠一１）
ｊ
１
ｌ移＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ（Ｉｖｌ≤下１）即在“２＝２（ｔ，＋÷）上．
此抛物线开口向上，顶点为（０，—了１）．易
式可看作是点Ａ（一ｌ，Ｏ）与动点Ｐ（ｓｉｎｘ＋ｃｏ舛，ｓｉｎｘｃｏｓｘ）连线的斜率，而动点Ｐ在抛物线
求得：
贝４：１＋ｚ２＝２＋２ｉ毒Ｉｚｌ＋勉Ｉ＝２√２，Ｉ石１
ｌ＝
一丢（厄＋１）≤，，≤寻（厄一１），即，，∈［－寻（厄＋１），寻（厄一１）］．
√（１一茹）２＋１，
Ｉ屯Ｉ＝￣／（１＋戈）２＋１．
十二、利用定比分点求值域
例１２求函数ｙ＝彳车笋的值城
解：变形函数为，，＝掣，在数轴上
因为点Ｐ在点Ａ、Ｂ之间，所以一ｌ＜，，＜１，
即ｙＥ（一１，１）．
十三、最值法求值域
例１３
求，，＝ｓｉｎ２茹＋４ｃｏｓ．鬈＋１的值域．
解：变形函数得：
ｙ＝一ＣＯＳ２茹＋４ｃｏｓ舅＋２
＝一（ＣＯＳ２Ｘ一４ＣＯＳＸ）＋２＝一（ＣＯＳＸ一２）２＋６．
所以ＣＯＳＸ＝一ｌ时，，，血＝一３；ｃｏｓｘ＝１时，所以，函数值域为一３≤，，≤５，
Ｅ［一３，５］．
＋四、用图象法求值域
对于分段函数我们可以采用作图的方法很例１４求函数
ｒ２一ｘ（ｘ＞１）
以茗）＝｛１（一ｌ≤菇≤１）的值城
【２＋髫（茹＜一１）
解：分别作出每个分函数的图象得图１．故由图可知原函数的。ｙ
值域为，，≤ｌ，即，，Ｅ（一∞，１
１］
／－‘＿、一
十五、复数法求值域
．／ｏ
例１５
已知茗ＥＲ。求＼ｉ
’，＝√石２—２菇＋２＋
石≮瓦诩值域．
图１
解：设彳ｌ＝（１一茗）＋ｉ，勉＝（１＋茗）＋五
万方数据
因为ＩｚｌＩ＋Ｉ恐ｌ≥‰＋乞Ｉ，所以’，≥２犯，
所以ｙ∈［２厄，＋∞）．
十六、平方法求值域
例１６
求函数Ｙ＝／ｌ—ｓｉｎｘ＋／ｌ＋ｓｉｎｘ
的值城
解：因为广＝２＋２、厅＝磊忑＝２＋２Ｊｃｏａｘｌ
且０
ｃｏｓｘ≤Ｉ。
所以２。＜ｙ２≤４．而’，＞Ｏ，所以√暑≤），≤２．故
函数的值域为［在，２］．
十七、图象变换法求值域
例１７求函数ｙ＝丢丢的值战
解：因为），＝熹丢的图象是反比例函数的
堕
图象一双曲线，它由双曲线，，＝÷向左边平
移寻个单位，再向下平移÷个单位而得到，因为它的渐近线是茹：一寻和），：一下Ｉ（图象略），故
函数的值域是，，≠一÷的一切实数，即
ｙ
ｅ（一∞，一告）ｕ（一ｉ｝，＋∞）．
十八、构造“解几”模型求值域
例１８
求函数，，＝以２＋２ｚ＋１０＋
ｖ乞２—４菇＋５的值蛸０
“ｉ虿严玎丽
解：因为，，＝／石了万—可矿了广＋
所以Ｙ可为视为菇轴上的动点Ｐ（ｘ，Ｏ）到
两点Ａ（一１，３），Ｂ（２，一１）的距离之和．由图形
知当Ｐ为船与茗轴交点时，，，曲＝Ｉ船Ｉ＝
扫了雨＝５川≥５．
所以ＹＥ［５，＋∞］．
・９・
设Ａ（一１），层（１），尸（，，）．
），一＝５．
即Ｙ快求出其值域．
十九、向量法求值域
一厶【而值域．
例１９
乒巧再
●雷淇未
解：将原函数，，＝．￣／乙弭一
已知戈∈Ｒ，求函数，，＝０万Ｚ鬲
令州菇＋÷，参加∽号，争测赢
一商＝（１，０），且赢，元为不共线向量．所以Ｉ
—Ｉ壳ＩＩ≤Ｉ
Ｉｊ壳Ｉ
ｊ壳一齐Ｉ＝１．即一１＜Ｙ＜１，所以所求
函数的值域是Ｙ∈（一１，１）．
二次函数区间最值分析
二次函数（特别是含参数的二次函数）在某区间上的最值，是高中数学中经常遇到的问题，在各类考试题中屡见不鲜．引起二次函数最值变化的是对称轴和区间．本文根据对称轴和区间的关系归类分析．
１．区间确定。对称轴位置也确定
由于对称轴和区间都是确定的，直接将函数式配方，根据对称轴和区间的关系，结合函数
所Ｉ拟髫）一＝八一１）＝竿，火髫）ｍｉⅡ＝灭雩）：一睾
八算）：￡±丛，若对任意石Ｅ［１，＋∞），
八戈）＞０恒成立，试求实数口的取值范卧
例２（２０００年上海高考题）已知函数
在区间上的单调性，便可求得最值
例１
（２０００年上海高考题）已知函数
ｘ—２＋２—ｘ＋ａ＞０恒成立等价于茗２＋２菇＋口＞０．恒
成立．
设，，２茗２＋２菇＋口，菇Ｅ［１，＋∞）．
因为对称轴算＝一１簪［１，＋∞），函数Ｙ＝石２＋２ｘ＋口在［１，＋∞）上单调递增，所以，，ｍｉｎ＝八１）＝口＋３．于是当且仅当，，响＝口＋３＞Ｏ时，八茗）＞０恒成立，故口＞－３．
２．区间确定。对称轴位置变化
由于区间是确定的。对称轴是变化的，解题时应根据对称轴在区间内及在区间的左、右两侧三种不同情况讨论，并结合函数的单调性来处理．解题时注意运用二次函数的示意图．
例３
分析：在区间［１，＋∞）上，厂（菇）＝
人菇）＝茁２＋２ｘｔａｎ０—１，髫∈［一１，√歹］，其中０∈
（一号，詈），当０＝一詈时，求函数八茗）的最大
值和最小值
分析：当ｐ＝。詈时，
火石）：茹２一筝～
＝（Ｘ－－譬）２一手
因为菇∈［一ｌ，石］，对称轴菇：譬Ｅ［一ｌ，
同，
．１０．
已知函数八茗）＝一茗２＋２０ｘ＋口一ｌ
（茗∈［０，１］）的最大值为ｌ，求口的值．
万方数据
求解函数值域方法综述
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
王辉
陕西省咸阳市南郊高级中学,712046数理化学习(高一二版)SHULIHUA XUEXI2003(12)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_slhxx-gyeb200312002.aspx