数学建模论文--太阳影子定位的数学建模分析

赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）：参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ：

日期： 年 月 日

（此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面，注意电子版论文中不得出现此页。以上内容请仔细核对，特别是参赛队号，如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

送全国评奖统一编号（由赛区组委会填写）：

全国评阅统一编号（由全国组委会填写）：

此编号专用页仅供赛区和全国评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。注意电子版论文中不得出现此页，即电子版论文的第一页为标题和摘要页。

题 目 太阳影子定位的数学建模分析

摘要：

纵观题目，四问看似问法不同，但是内在之间存在很强的联系，首先我们根据收集的数据和大量的分析，引进许多物理量，其中包括太阳高度角（α），太阳赤纬角（δ），当地纬度（ϕ），时角（ω），经度（r ），影长（l ），一年中日期序号（n ）等，同时我们根据这些物理量之间的联系，对给定或收集的数据进行拟合，得出影子长度和各个参数之间的关系：

sin α=sin δsin ϕ+cos δcos ϕcos ω

δ=23.45sin(360*(284+n )), 365

sin αsin ϕ-sin δcosr =cos αcos ϕ,

l =a sin(α)

我们根据这些参数之间的关系，利用Matlab 软件，编写程序，从而画出了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒, 东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

在第二第三问中，我们根据第一问拟合出的函数关系，以及给定的数据从中选取了三组数据，分别是北京时间2015年4月18日，14:42、15:12、15：42，然后算出三个时间点对应的时角（ω），

时间 14:42 15:12 15:42

时角 40.5 48 55.5

又因为我们已知太阳高度角与影长的关系式l =arcsin(α) ，由附件1中给出坐标，

，求得影长l =所以可以求得α。

在14:42

时，l 1=

==1.14962583

=1.92801845

=1.50148162 α1=sin l 1=0.9126 在15:12

时，l 2== α2=sin l 2=-0.0459 在15:42

时，l 3==

α3=sin l 3=0.9976

又已知sin α=sin αsin ϕ+sin δcos ϕcos w 可求得当地纬度ϕ，根据经度和维sin αsin ϕ-sin δ度之间的函数关系式cosr =即可确定可能的地点。 cos αcos ϕ,

观看附件4中直杆在太阳下的影子变化的视频，我们也可以建立相似的数学模型，来确定所处的位置，唯一有点不同的就是，直杆的长度发生了变化，所以我们在这问中还引进了直杆长度和影长等各个参数之间的关系，从而来确定可能的位置。

关键字：

太阳高度角，线性拟合，建立模型，函数关系，太阳赤纬角，日期序号

问题的重述：

影子定位是当下一个热门话题，我们也曾在电影《黑武士》里看到其应用，但关于影子定位还存在很多讨论，可我们都知道太阳是由东向西移, 而影子则是由西向东移. 例如, 早晨6时, 太阳从东方升起, 一切物体的阴影都倒向西方；到中午12时, 太阳位于正南, 影子便指向北方；到下午6时, 太阳到正西, 影子则指向东方. 因此, 可用太阳和物体的阴影概略地测定方向。

俗话说：“立竿见影”, 用一根标杆（直杆）, 使其与地面垂直, 把一块石子放在标杆影子的顶点A 处；约10分钟, 标杆影子的顶点移动到B 处时再放一块石子, 将A 、B 两点连成一条直线, 这条直线的指向是东西方向, 与AB 线垂直的方向则是南北方向, 向太阳的一端是南方, 相反方向是北方。

依此法测定方向, 插杆越高、越细、越垂直于地面、影子移动的距离越长, 测出的方向就越准. 特别是中午12时前后. 如11时半和12时半这两个时间的影子长度几乎相等, 顶点的连线刚好指向东西方向, 连线的垂直线也能较准确地指出南北方向。

在本次数学建模中我们有以下几个问题需要解决：

1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒, 东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

问题的分析：

本文要求建立影子长度和各个参数变化规律的模型，并给出一些数据，包括坐标和时间，从而来确定所处的位子或是时间，所以我们就应该引进一些参数，来解决这些问题，其中包括：

太阳高度角简称太阳高度(其实是角度) 对于地球上的某个地点，太阳高度是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。太阳高度是决定地球表面获得太阳热能数量的最重要的因素。我们用α来表示这个角度，它在数值上等于太阳在天球地平坐标系中的地平高度。 太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬以δ表示，观测地地理纬度用φ表示，地方时(时角) 以t 表示，有太阳高度角的计算公式： sin α＝sin φ sin δ＋sin φ cos δ cost 日升日落，同一地点一天内太阳高度角是不断变化的。日出日落时角度都为零度，正午时太阳高度角最大。 正午时时角为0，以上公式可以简化为： sin α＝sin φ sin δ＋sin φ cos δ 其中，α表示正午太阳高度角。 由两

角和与差的三角函数公式，可得 sin α＝cos(φ－δ)

观测点纬度δ°， 如果θ与δ在同一半球，则“纬度差”为|θ-δ|（θ减δ差的绝对值） 如果θ与δ在异半球，则“纬度差”为θ＋δ 说起来好像很麻烦，其实只要脑袋里有个地球的模型就简单了 比如太阳直射点是北纬10°，观测点是北纬30°，纬度差当然是20° 如果太阳直射点是南纬10°，观测点是北纬30°，纬度差当然是40° 事实上，计算“正午太阳高度角”，根本就不要考虑“正午”这个因素 只要用90°减去观测点与太阳直射点的纬度差，得出的就是正午太阳高度角。 只需记住一个公式正午太阳高度角＝90°－该地与太阳直射点纬度差，由于太阳赤纬角在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知的，所以它（ED ）也可以用与式（1）相类似的表达式表述，即： ED=0.3723＋23.2567sin θ＋0.1149sin2θ－0.1712sin3θ－0.758cos θ＋0.3656cos 2θ＋0.0201cos3θ。春分秋分时δ=0，夏至日是δ=23.5，冬至时δ=-23.5，w 为时角，是用角度表示时间，每15度为1个小时，而且正午时，w=0,上午,w>0,下午w

符号约定：

太阳高度角（α）

太阳赤纬角（δ）

当地纬度（ϕ）

时角（ω）

经度（r ）

影长（l ）

一年中日期序号（n ）

模型的假设：

1. 假设在前三问中，直杆的高度都是三米。

2. 假设给定数据中，x 和y 的坐标所对应的是地球上的经度和纬度。

3. 把太阳的坐标系从地平坐标系换到第一赤道坐标系。

4. 假设太阳光是平行光线。

5. 假设一年中不同时间里的同一天的同一时间影子角度变化可以忽略。

模型的建立和求解：

第一问模型的建立和求解：

太阳是距离地球最近的恒星，相比于其他行星或卫星，太阳的光照强，面积大，因此对太阳光产生的影子应用也很广泛，在第一问中我们可以根据太阳的运动规律和当地地理位置及时间，地道太阳角度信息。

太阳高度角简称太阳高度(其实是角度) 对于地球上的某个地点，太阳高度是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。太阳高度是决定地球表面获得太阳热能数量的最重要的因素。我们用α来表示这个角度，它在数值上等于太阳在天球地平坐标系中的地平高度。 太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬以δ表示，观测地地理纬度用φ表示，地方时(时角) 以t 表示，有

太阳高度角的计算公式： sin α＝sin φ sin δ＋sin φ cos δ cost 日升日落，同一地点一天内太阳高度角是不断变化的。日出日落时角度都为零度，正午时太阳高度角最大。 正午时时角为0，以上公式可以简化为： sin α＝sin φ sin δ＋sin φ cos δ 其中，α表示正午太阳高度角。 由两角和与差的三角函数公式，可得 sin α＝cos(φ－δ)

因此， 对于北半球而言，α＝90°－(φ－δ) ； 对于南半球而方，α＝90°－(δ－φ) 。 还是举个例子来推导，假设春分日（秋分日也可，太阳直射点在赤道） 某时刻太阳直射(0°，120°e) 这一点，120°e 经线上各点都是正午 这点离太阳直射点的纬度距离是0度（因为就是自己） 此时，（0°，120°e ）的太阳高度角就是90°（因为直射它） 另外一个观测点，（1°n ，120°e ）与太阳直射点的纬度差为1度 此时，这一点的太阳高度角为89°（涉及立体几何计算，此处就不详细推导了），（1°s ，120°e ）与太阳直射点的纬度差也是1度 因此，当地的太阳高度角也是89°！ 同一时刻，下列各观测点，报告的太阳高度角度数如下： 南北纬2度（与太阳直射点相距2纬度）：88°（＝90°－2°） 南北纬3度（与太阳直射点相距3纬度）：87°（＝90°－3°） 南北纬10度（与太阳直射点相距10纬度）：80°（＝90°－10°） 南北纬30度（与太阳直射点相距30纬度）：60°（＝90°－30°） 南北纬80度（与太阳直射点相距80纬度）：10°（＝90°－80°） 南北纬90度（与太阳直射点相距90纬度）：0°（＝90°－90°） 但是，这个“纬度差”的计算可是有讲究的： 设太阳直射点纬度为θ°，观测点纬度δ° 如果θ与δ在同一半球，则“纬度差”为|θ-δ|（θ减δ差的绝对值） 如果θ与δ在异半球，则“纬度差”为θ＋δ 说起来好像很麻烦，其实只要脑袋里有个地球的模型就简单了 比如太阳直射点是北纬10°，观测点是北纬30°，纬度差当然是20° 如果太阳直射点是南纬10°，观测点是北纬30°，纬度差当然是40° 事实上，计算“正午太阳高度角”，根本就不要考虑“正午”这个因素 只要用90°减去观测点与太阳直射点的纬度差，得出的就是正午太阳高度角。 只需记住一个公式正午太阳高度角＝90°－该地与太阳直射点纬度差，由于太阳赤纬角在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知的，所以它（ED ）也可以用与式

（1）相类似的表达式表述，即： ED=0.3723＋23.2567sin θ＋0.1149sin2θ－0.1712sin3θ－0.758cos θ＋0.3656cos 2θ＋0.0201cos3θ（5） 式中θ称日角，即 θ=2πt ／365.2422（2）这里t 又由两部分组成，即 t=N－N0 （3） 式中N 为积日，所谓积日，就是日期在年内的顺序号，例如，1月1日其积日为1，平年12月 31日的积日为365，闰年则为366，等等。 N0=79.6764＋0.2422×（年份－1985）－INT 〔（年份－1985）／4〕这代表太阳直射点这个角就是太阳高度角 =地平面 正午太阳高度角: 某一地区的正午太阳高度角的大小，决定了该地的太阳辐射量的多少，那么，一个地区的正午太阳高度角是否可计算出来呢？ 我们已经知道，地球绕太阳公转，由于地轴的倾斜，地轴与轨道平面始终保持着大概66`34'的夹角，这样，才引起太阳直射点在南北纬23`26’之间往返移动，并决定了太阳可能直射的范围：春，秋分日，太阳直射赤道---即直射点的纬度为0`；冬至日，太阳直射南回归线--即直射点的纬度为23`26’S ；夏至日，太阳直射北回归线--即直射点的纬度为23`26’N 。如果某地的纬度已经知道，依据下面的公式就可以计算出此地的正午太阳高度角的大小： H=90`-纬差（纬差是指某地的地理纬度与当日直射点所在纬度之间的差值） 例如：A 地的纬度为40`N，求A 地夏至日的正午太阳高度。 夏至日太阳直射的纬度为23`26’N ，与A 地的纬度差=40`-23`26’=16`34’，那么H=90`-16`34’=73`26’。 如果求A 地冬至日的正午太阳高度。冬至日太阳直射的纬度为23`26’S ，与A 地的纬度差=40`+23`26’=63`26’，那么H=90`-63`26’=26`34’。

那么太阳在天球坐标系中的位置可以用高度角α和方位角γ来确定，计算公式如下：

sin α=sin δsin ϕ+cos δcos ϕcos ω

360δ=23.45sin(*(284+n )), 365

sin αsin ϕ-sin δcosr =， cos αcos ϕ

其中，ϕ为当地维度，δ为太阳的赤纬角。春分秋分时δ=0，夏至日是δ=23.5，冬至时δ=-23.5，w 为时角，是用角度表示时间，每15度为1个小时，而且正午时，w=0,上午,w>0,下午w

因此我们可以编出程序，利用Matlab 做出图像，如下：

clc;

clear;

as=0.39795*cos(0.98563*(295-173));

a=asin(as)

b=0.7302;

t=9:0.01:15;

w=pi/12*(t-12);

c=sin(b)*sin(a)+cos(b)*cos(a)*cos(w);

l=asin(c);

plot(t,l);%太阳高度角；

s=3./tan(l);

plot(t,s)

从而应用我们建立的模型，画出了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒, 东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

第二问模型的建立与求解

根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

根据第一问中的数学模型，我们可知：

l =arcsin(α)

其中n 为一年中的日期序号，所以在给定的附件1中，给定时间为2015年4月18日，则所对应的n 为108，从而可得δ=-4.985599。

又因为时角, 从南点向西起算, 分为360度,24时. 是第一赤道坐标系的重要组成部分。

所以当时角小于180度时, 天体在子午线西方, 当时角大于180度时, 天体在子午线之东，

一个天体的时角C, 天体的赤纬A, 与当地的地理纬度B 和天顶距Z 有如下关系：

cosZ=sinBcosA+coaBsinAcosC.

变换得, 天体升起时的时角为：

cosC=-tgAtgB.

时角在天文学中有广泛运用.

时角是以正午12点为0度开始算，每一小时为15度。即14点和10点分别为30度和-30度。 方位角才是以正南为0度，向西为正。

我们选出附件1中，表里给出的3组数据，分别是北京时间2015年4月18日，14:42、15:12、15：42，从而算出三个时间点对应的时角（ω）。

时间 14:42 15:12 15:42

时角（度） 40.5 48 55.5

又因为我们已知太阳高度角与影长的关系式l =arcsin(α) ，由附件1中给出坐标，我们选定其中14:42,15:12,15:42

对应的坐标，求得影长l =

在14:42

时，l 1=

sin α=sin δsin ϕ+cos δcos ϕcos ω 360δ=23.45sin(*(284+n )), 365 所以可以求得α。 ==1.14962583

=1.92801845

=1.50148162 α1=sin l 1=0.9126 在15:12

时，l 2== α2=sin l 2=-0.0459 在15:42

时，l 3==

α3=sin l 3=0.9976

又已知sin α=sin αsin ϕ+sin δcos ϕcos w 可求得当地纬度ϕ，即可确定可能的地点。根据 时角与时间的对应关系可求出北京时间14:42,15:12,15:42这三个时刻对应的时角分别40.5o ,48o ,55.5o 。

第三问模型的假设与求解：

由附件2所给数据可求出不同时刻所对应的影长，根据可求出太阳高度角，设附件2和附件3影子顶点所对应的日期分别为, , 当地纬度分别为，，由第二问可知当地纬度是关于日期n 的函数。由附件2,3所给的时刻可确定相应的时角，从已给数据中分别选取两组数据代入公式sin α=sin αsin ϕ+sin δcos ϕcos w 中可得到含有两个未知数n 和的方程组，解方程组可得

相应的. 由此确定了当地的纬度和太阳赤纬，根据相应的公式经度也可确定即确定了拍摄地点。根据公式δ=23.45sin(360*(284+n )), 365

时间也可以得到。经线就是连通南北两极并同纬线垂直相交的线。通过观察可知，所有的经线都是半圆状，长度都相等，都指示南北方向。地球上的零度经线叫做本初子午线。从本初子午线向东、向西各分为180°，以东的180°属于东经，习惯上用“E ”做代号；以西180°属于西经，习惯上用“W ”作代号，而各国共同商定，以通过英国伦敦格林尼治天文台原址的经线作为0度经线。 纬线就是在地球上顺着东西方向，环绕地球一周的圆圈。通过观察可知，所有的纬线都是圆，可称为纬线圈，纬线圈的长度有短有长，赤道最长，往两极逐渐缩短，最后成一点，纬线都指示东西方向。赤道是地球上最长的纬线，长约4万千米，它与两极之间的距离相等，把地球分为南北两半球，赤道是地球上的零度纬线，赤道以北的纬度叫北纬，习惯上用“N ”作代号，赤道经南的纬度叫南纬，习惯上用“S ”作代号。北纬、南纬各有90度，北极和南极分别是90°N 和90°S 。

一、纬度测量的理论依据

方法一：利用二分二至日正午的太阳高度角

我们已经知道，地球绕太阳公转，由于地轴倾斜，地轴与公转轨道平面始终保持66°34′的夹角，这样才引起太阳直射点在南北纬23°26′之间往返移动，并决定了太阳光可直射的范围：春、秋分日（北半球）太阳直射赤道——直射点的纬度为0°。冬至日（北半球）太阳直射南回归线——即直射点的纬度为23°26′S 。夏至日（北半球）太阳直射北回归线——即直射点的纬度为23°26′N 。

如果我们知道某地的二分二至日正午太阳的高度角的大小，依据下面这个公式就可以计算出此地的纬度大小。

正午太阳高度的计算公式为：H=90°－|φ－δ|

式中H 为正午太阳高度，φ为当地地理纬度，δ为太阳直射点的纬度，在测量时，当地地处北半球，在夏至日时，δ取正、冬至日时取负。

例如：在冬至日测北半球某地的正午太阳高度为35°26′，求当地的地理纬度。

H=90°－│φ－(－23°26′) │=35°34′ ∴φ=31°

在春、秋日时, δ=0°, 夏至日δ=23°26′N ，冬至日时δ=23°26′S ，所以在二分二至时测得当地正午太阳高度，就可计算出当地的地理纬度。

方法二：测量北极星的仰角。

因为地球在自转和公转的同时，地轴总是指向北极星附近，一般来说，这是不会改变的，当地地处北半球，理论上在晴朗的夜晚可以观察到北极星。

设D 为地球北半球任意一点，N 为北极点，BC 为赤道面，北极星在BN 的延长线上。 ∵AB ⊥BC

∴∠BAD+∠C=90°

∵AC 是圆B 的切线

∴∠C+∠DBC=90°

∴∠BAD=∠DBC

∵AB ∥ED

∴∠BAD=∠α∴∠α＝∠β

这就是说，北半球某地的地理纬度等于当地观测北极星仰角的度数。

二、经度测量的理论依据。

由于地球自西向东自转，在同纬度地区，相对位置偏东的地点，要比位置偏西的地点先看到日出，这样时刻就有了早迟之分。显然偏东地区的时刻要早一些。因经度而不同的时刻，统称为地方时，经度每隔15°，地方时相差一小时；经度每隔1°，地方时相差4分钟；经度每隔1′，地方时相差4秒钟，经度上的微小差别，都能造成相应的地方时差。

例如：某地地方时比东八区区时早20分钟，求该地的地理经度。

此地比东八区早20分钟，即此地东经120°以东20/4度，即该地是东经125°。

当地采用北京时间，所谓北京时间，是我国为了便于不同地区的联系和协调，全国目前采用了北京所在东八区的区时，即东经120°的地方时。知道 当地的地方时与北京时间的时差，就可以知道经度数，于是就能求出当地的地理经度。

第二部分测量器材

水平仪 直杆（1米长） 秒表 皮尺 测角器

第三部分测量步骤

一、利用正午太阳高度测纬度。

1、分别在二分二至日的晴天，找一块平地，在地中间立一直杆。利用水平仪，使直杆与水平地面垂直。

2、观测一天之中，直杆的影长，取其最短的影长，即当地正午直杆的影长，用皮尺量出此时影长的长度。

3、利用测量得的数据按照公式计算出纬度的大小。

为了使得计算出的纬度比较精确，应多测几组，取其平均数。

二、利用北极星测纬度

1、找一块平地，利用水平尺使地面较平整。

2、在晚上看到北极星的时候，用量角器测出北极星的仰角。

测出的仰角就是该地的纬度，为了使得测量出的数据比较精确，就多测几次。（因为本地区位于山区谷地，往往晴朗的夜晚看不到北极星，这只是从理论上说明测量方法）

三、利用地方时和区时之间的差值测经度。

1、用秒表设定北京时间。

2、晴天找一块平地，在地中间立一直杆，用水平尺，使其直杆与水平地面垂直。

3、观测太阳光照射出直杆的影长最短时，即当地地方时为十二点，看秒表北京时间是什么时间。

4、计算时差，得出经度数，从而得出当地经度。

当地午（地方时12点正）时的北京时间、时差、经度数、测量表。

在地上立一根杆子，不断的画出它的影子。当影子最短时，记录下此时影子的方向。这是正北方向。测量此时影子和杆子的长度，用三角函数算出太阳仰角，再考虑测量日距离春（秋）分和夏（冬）至的日期数，用三角插值算出当日太阳直射点纬度，附加后即可得出当地纬度值。因为北极星不严格在北极点，所以用测量北极星仰角得纬度会有大约半度的误差。另外，得到正北方向后，记录太阳过正南方向时的时间，因为北京时间用的是东经120度的时间，用记录的时间和12时整的时间差就可以得出经度了。

第四问模型的建立与求解：

太阳高度越大, 旗杆影子越短, 如果太阳直射旗杆所在地, 则影子缩成一个点；太阳高度越小, 旗杆影子越长. 太阳高度角越大，物体的影子越短；太阳高度角越小，物体的影子越长。我们知道，正午时刻，夏天的影子短，冬天的影子长。

北回归线以北和南回归线以南的地方, 夏天正午太阳下影子比较短, 冬天影子比较长. 其中6.23日北半球影子最短, 南半球影子最长,12.23日南半球影子最短, 北半球影子最长. 一般规律为:春天比冬天短, 夏天比春天短, 秋天比夏天长, 冬天比秋天长.

北回归线和南回归线之间的地带, 由于每年有两次太阳垂直射的机会(在回归线上一年就一次即:北回归线6.23, 南回归线12.23) 因此在太阳在垂直照射的这天影子最短(没有). 一般规律为:若在北半球从冬天开始随着回春, 影子开始变短(此时影子指向北面), 直到太阳垂直照射没有影子, 然后太阳直射点继续北上, 影子少有变长(此时影子指向南面), 直到6.23达到指向南面的影子最长点, 然后太阳直射点又南下, 影子开始变短, 经历第二次太阳垂直照射, 没有影子, 太阳继续南下, 影子再次指向北面, 开始入秋, 影子越来越长, 直到冬天影子最长(12.23).南半球情况相似, 不再复述。

模型的评价：

优点：

对已知地点和不同时刻太阳影子的长度求对应时间这一模型写的很清楚；关键词选的还比较好。总的来说此摘要还比较好。从数据中筛选出具有代表性的合理数据，融合地理方面相关知识及核心思想，给出科学直观的显示结果。在模型建立上，简化了无用的模型公式，尽量贴近数学建模“用最简单的方法解决最难问题“的思想。

缺点：

第四问固定的直杆长度，应用数学模型找出可能的拍摄地点这一问题模型建立的并不太确切，都是总结题目的要求的话语，尤其已知特定时间的影长变化找可能的拍摄地点这一模型上，只是简单的说标准化，并没有建立准确的模型（但这显然题目已经说了，没有什么改进），在对前两问模型的建立及解决这一块做的比较好，但是没有很好的突出。

问题分析评价：

优点：就为何要“均匀性”分析的比较详细。

缺点：是不是思考的角度出现了偏差。应该要思考的是如何解决这一问题，是方法，是思路；而不是为什么要解决，不是效果。

模型一的建立于求解评价：

优点：1、比较清晰，一目了然，无论在模型的表达，还是在之后的对算法的框图描述都比较清晰。

2、在以方差为均匀性指标时，最后通过结果验证了它与结果相符，再阐述一下，觉得起了画龙点睛的作用。 缺点：就表述什么上，都做的比较好，可能模型比较平凡吧，一般大家都这样考虑，没有什么特色。

11

参考文献

[1]http://www.docin.com/p-557446355.html

http://wenku.baidu.com/view/25374d2c0722192e4536f629.html

[2]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003

[3]杨启帆，方道元，数学建模，浙江：浙江大学出版社，2003年

12

13