某校初三年级数学选拔提高卷
某校初三数学选拔提高模拟试卷
2015.7
一. 单项选择题（共30分，每小题3分）
11
=2，则a2+2的值为 aa
A、2 B、4 C、0 D、-4
1. 若a+
2. 近似数576059.5精确到万位，用科学计数法表示 A. 5.7×105 B. 5.8×105 C. 6.0×105 D. 6.0×106 3. 化简 （a＞0，b＜0，c＞0） A.
ac
bc
ac
bc
B. b C. -b D. -aa
4.教练要了解该运动员的成绩是否稳定，因此对他10次成绩测试进行统计分析，则教练要知道的是该运动员10次测试成绩的 A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
5. 如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为
A．2π B．3π C．4π D．6π 6. 已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上. 若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则 A. 1+tan∠ADB= B. 2BC=5CF
C. ∠AEB+22°=∠DEF
D. 4cos∠AGB=
7. 从正五边形的五个顶点中，任意取四个顶点连成四边形，对于事件M，“这个四边形是等腰梯形.”下列推断正确的是
A. 事件M是必然事件
B. 事件M是不可能事件 C. 事件M发生的概率是 D.
事件M发生的概率是5
5
1
2
8. 将一正方体纸盒沿如图所示的线剪开，则其平面展开图的形状为
9. 在△ABC中，∠A= 60°，BC=a，AC=b, AB=c，AP是BC边上的中线，则AP的长是 A. B. C. D. 2222
1
1
1
1
⎧a-1(a≤b)
⎪
10. 定义新运算：a⊕b=⎨a，则函数y=3⊕x的图象大致是
-(a>b且b≠0)⎪⎩b
A．
B．
C． D．
二. 填空题（共18分，每小题3分）
11.分解因式：2x-8xy+8y=__________.
12.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需要购买 吨. 13. 分式x−5x+aa＜6时，使分式无意义的值一共有 个. 14. 一个不透明的小正方体的6个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6， 任意两个相对面上所写的两个数字之和为7. 将这样的几个小正 方体按照相接触的两个面上的数字之和为8摆放成一个几何体， 这个几何体的三视图如右图所示，已知图中所标注的是部分面
俯视图
15. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且CE=CF，GC∥AE分别交
主视图
★
x−3
2
2
6 2
左视图
上所见的数字，则★所代表的数是 .
AD、AF于G、H，若∠BAE= 25°，∠BCD=130°，则∠. 16. 对于每个正整数n，抛物线y=x2-
2n+1n(n+1)
x+
1n(n+1)
与x轴交于An，Bn两点，
若AnBn表示这两点间的距离，则AnBn n的代数式表示）；
A1B1+A2B2++A201B1的值为．
三. 解答题（共30分，每小题5分）
17. 已知a=（-3-1 ，b= 2cos45°+1，c=（2010-1）0，d=｜1- e= 列式表示五个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差，然后计算结果.
1
18. 化简求值：8x2-5x（4y-x）+4x（-4x-），其中x=-1，y=3.
2
5
19. 解方程：
2（x+8）≤10-4（x-3）; 20. 解不等式组
21. 已知关于x的一元二次方程x2-2ax+b2=0的两个实数根差的绝对值是8，且a、b为面积
41
3
x−2
-
4 x−1
1x−4
-
2x−3
.
x−13
3x−12
≤-1.
等于12 的等腰三角形的腰长与底边长，求这个三角形的内切圆面积.
22. 从某年6月起，某列车平均提速 v 千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶S 千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？（S、v表示已知数据）
四. 解答题（共20分，每小题5分）
23. 在公路边上紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，其中BC∥AD. 斜坡AB长22米. 坡角∠BAD= 68°，经有关人员勘测，当坡角不超过50°时，可保留山体不滑坡。
（1）为保留安全，当地政府计划改造该土坡. 改造时保持坡角A不动，坡顶B沿BC削到点F处，求BF至少是多少米？（精确到0.1米）
（2）如果此坡长50米，一个施工队每小时可运土151 m3，这些土至少运多少小时？ （精确到1小时）（参考数据：sin68°= 0.9277， cos68°= 0.3746，tan68°=2.451， sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，tan50°=1.1918）
（1）甲组数据的众数是 分，乙组数据的中位数是
分；
（2）若甲组数据的平均数是a，乙组数据的平均数是b，则a与b的大小关系是 ； （3）如果将甲、乙两组数据合并成一组数据后，按照组距4分分组，可以分成如下5组：73.5~77.5，77.5~81.5，81.5~85.5，85.5~89.5， 89.5~95.5，那么其中85.5~89.5这一组的频数是 ，频率是 .
25. 如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=222： （1）求⊙O的半径R； （2）点F在⊙O上（
是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、
旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合，在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比。
26. 类比学习：
有这样一个命题：设x、y、z都是小于1的正数，求证：x（1-y）+ y（1-z）+ z（1-x）＜1． 小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC，并分别在其边上截取AD=x，BE=z，CF=y，设△ADF、△CEF和△BDE的面积分别为S1、S2、S3，
则 S1=
1（x1-y）sin60o， 21S2=（y1-z）sin60o，
21S3=（z1-x）sin60o．
2
由 S1+S2+S3＜S∆ABC，
B
得
111（x1-y）sin60o+（y1-z）sin60o+（z1-x）sin60o
222所以 x（1-y）+ y（1-z）+ z（1-x）＜1． 类比实践：
已知正数a、b、c、d，x、y、z、t满足a+x=b+y=c+z=d+t=k． 求证：ay＋bz＋ct＋dx＜2k．
五. 解答题（共22分，第27、28题每题7分，第29题8分） 27. 已知抛物线C1：y=ax2-2amx+am2+2m+1，（a＞0，m＞1）抛物线C2的对称轴是y轴，顶
点为点B，且抛物线C1和C2关于P（1，3）成中心对称． （1）用m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标； （2）求m的值和抛物线C2的解析式（含有字母a）；
（3）设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值． 28. 如图1，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF
的中点.
（1）求证：△DMN是等边三角形；
（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P. 连结DP、DQ.
①依题意在图2补全图形； ②求证：DP＝DQ.
2
图1 图2
29. 如图1，对于平面上不大于90︒的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内
部或边界上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则称PE+PF为点P相对于 ∠MON的“点角距离”，记为d(P,∠MON)．
如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于∠xOy，点P为第一象限内或两条坐标轴正 半轴上的动点，且满足d(P,∠xOy)=5，点P运动形成的图形记为图形G． （1）满足条件的其中一个点P的坐标是，图形G与坐标轴围成图形的面积
等于 ； （2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知B(3,4)，M(4,1)，求d(M,∠AOB)的值；
（3）如果抛物线y=-x2+bx+c经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间 的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当d(Q,∠AOB)取最大值时，点Q 的坐标．
12
某校初三年级数学选拔提高卷
数学试卷答案及评分参考
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
三. 解答题（本题共30分，每小题5分）
17. 解：a=-3 b= +1 c=1 d= -1 e=2 „„„„„„„„„„„„„„2分 由题意：（-3+2+1）-（ ）（ -1）„„„„„„„„„„„„„„3分 原式= 0-1=-1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
2
18.解：原式=-3x-30xy„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 当x=-1，y=3时
原式= -3+90=87„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 19.解：
3 x−1 −4（x−2） x−1 （x−2）3x−3−4x+8
＝
x−3−2（x−4） x−3 （x−4）
x−1 （x−2）
−x+5
＝ ＝
x−3−2x+8
x−3 （x−4）
−x+5
1分 2分
x−1 （x−2）x−3 （x−4）
i）当5-x≠0时，解得x= 2.5 „„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 ii）当5-x=0时，解得x=5„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 经检验：x=2.5或x=5是原方程的解.„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 20. 解①：x≤1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 解②：x≥1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 综上所述：不等式组的解集为x=1„„„„„„„„„„„„„„5分 *本题如果没有分类讨论，扣除3分.
21. 解：如图，AB=AC=a，BC=b，AE⊥BC，FD⊥AB，圆F是△ABC的内切圆， ∴BE=BC=b，AE=∵x1+x2=2a，x1x2=b2，
=
；„„„„„„„„„„„„1分
又∵|x1-x2|=8，
∴（x1+x2）2-4x1x2=64，即4a2-b2=64；„„„„„„„„„„2分 ∵a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长， ∴S△=b××=12，
与4a2-b2=64联立方程解得，b=6，a=5；„„„„„„„„„4分 设内切圆半径为x，则 EF=DF=x，
∴BE=BD=3，AD=AB-BD=5-3=2，AD2+DF2=AF2=（AE-EF）2， ∴22+x2=（4-x）2，解得x=；
∴三角形的内切圆面积=π×（）2=．„„„„„„„„„„„„„„„„5分 22. 解：设提速前这次列车的平均速度为x千米/时，
依题意得．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 方程两边同时乘以x（x+v），整理得
50x=sv，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 解这个方程，得 x=
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
时，x（x+v）≠0，x=
是原分式方程的解．„„4分
检验：由于v，s都是正数，x=答：提速前列车的平均速度为
千米/时。„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
四. 解答题（本题共20分，每小题5分）
23.解：（1） 由已知BE＝AB·sin 68°＝22×0.9272≈20.40 m……………………………1分 作FG⊥AD，G为垂足，连FA，则FG＝BE. ∵AG＝tan50°1.191817.12
∴AE=AB·cos68°＝22×0.3746＝8.24；„„„„„„„„„„„„2分 ∴BF= AG—AE＝8.88≈8.9 m„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （2）由已知 S△ABF＝28.9×20.4＝90.78m2„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 该区域一共有：50×90.78＝4539m3的土.
∴至少需要的时间t＝4539÷151≈30（小时）„„„„„„„„„„„„5分 24. （1）86；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
83；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 （2）a＞b„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （3）5„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 45分 25． （1）
1
1FG
20.40
OB⊥AT，且AE⊥CE
∴在∆CAE和∆COB中，∠AEC=∠CBO=90
而∠BCO=∠ACE
∴∠COB=∠A=30；„„„„„„„„„„„„„„„„1分
AE=
∠A=30
∴EC=3 连结OM
在∆MOB中，OM=
R，MB=
∴OB=
MN
=2
2
而在∆
COB中，BO==
∴OC=
= 又OC+EC=OM=R
3
∴R= 整理得R+18R-115=0„„„„„„„2分 (R+23)(R-5)=0
∴R=-23(不符合题意，舍去)，或R=5
则R=5„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （2）在EF同一侧，∆COB经过平移、旋转和相似变换后
这样的三角形有6个，如图，每小图2个 „„„„„„4分 顶点在圆上的三角形如图所示，
延长EO交O于D，连结DF
2
EF=5，直径ED=10，可得∠FDE=30
∴FD=
C∆EFD=5+10+=15+ 由(1)
可得C∆COB=3
∴
C∆EFD==5„„„„„„„„5分 C∆OBCAa
yS1
bD
S4
zcS3C
26. 证明：如图，作边长为k的正方形ABCD． 并分别在各边上截取：
AE=a，DH=b,CG=c,BF=d,„„„„„„„1分 ∵ a+x=b+y=c+z=d+t=k，
∴ BE=x，AH=y,DG=z，CF=t.
„„„„„„„
2分
ExS
2Bd
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°, ∴ S1=
1111
ay，S2=dx，S3=ct，S4=bz． „„„„3分 2222
∵ S1+S2+S3+S4
1111
ay+dx+ct+bz
∴ ay+bz+ct+dx
27. （1）由于抛物线C1：y=ax2-2amx+am2+2m+1=a（x-m）2+2m+1，
故抛物线C1的顶点A（m，2m+1）．„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 （2）分别过A、P作y轴的垂线，设垂足为F、E； ∵A、B关于P点呈中心对称， ∴AB=2BP；
∴PE是△ABF的中位线，即AF=2PE=2， 故m=2，A（2，5）；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 设直线AP的解析式为y=kx+b，则有：
，
解得，
∴直线AP：y=2x+1，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 故B（0，1）；
由于抛物线C1和C2关于P（1，3）成中心对称，且顶点B（0，1），则：
抛物线C2：y=-ax2+1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （3）设C（x，0），已知A（2，5），B（0，1）； AB2=（2-0）2+（5-1）2=20， AC2=（2-x）2+52=x2-4x+29， BC2=（0-x）2+1=x2+1；
若△ABC为等腰三角形，则有： ①AB=AC，由于AB=2
，而A（2，5），因此AC≥5，故AB＜AC，此种不成立；„5分
②AB=BC，则AB2=BC2，有： x2+1=20，解得x=±
（负值舍去）；
；„„„„„„„„„„6分
将x=代入抛物线C2的解析式中，得：-19a+1=0，即a=
③AC=BC，则AC2=BC2，有： x2-4x+29=x2+1，解得x=7；
将x=7代入抛物线C2的解析式中，得：-49a+1=0，即a=故△ABC为等腰三角形时，a的值为
28. 证明：（1）取AC的中点G，连接NG、DG.
∴DG＝
或
．
；„„„„„„„„„„7分
1
BC，DG∥BC；△NGC是等边三角形. 2
∴NG = NC，DG = CM. „„„„„„„„1分 ∵∠1 + ∠2 = 180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º. ∵∠2 + ∠3 = 240º， ∴∠NGD =∠3.
∴△NGD≌△NCM . „„„„„„„„2分
∴ND = NM ，∠GND =∠CNM. ∴∠DNM =∠GNC = 60º.
∴△DMN是等边三角形. „„„„„„„„„„„„„„3分 （2）①补全图形„„„„„„„„„„„„4分 ②连接QN、PM.
∴QN
=
1
CE= PM. Rt△CPE中，PM =EM， 2
∴∠4= ∠5. „„„„„„„„„„5分 ∵MN∥EF，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ∥CE，∴∠
7= ∠4. ∴∠6= ∠8.
∴∠QND= ∠PMD.∴△QND≌△PMD. „„6分 ∴DQ= DP. „„„„„„„„„„„„„„„7分
29. 解：（1）满足条件的其中一个点P的坐标是(5,0)；„„„„„„„„„„„„„ 1分
（说明：点P(x,y)的坐标满足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可）
图形G与坐标轴围成图形的面积等于
25
．„„„„„„„„„„„„„2分 （2）如图1，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB
于点D，作BK⊥x轴于点K． 由点B的坐标为B(3,4)，可求得直线OB对应的函数关系式为y=
4
x． 3
∴ 点D的坐标为D(,1)，DM=4-∴ OB=5，sin∠AOB=
3
4313=． 44
BK4
=， OB5
4
sin∠MDE=sin∠AOB=．
5
13413∴ ME=DM⋅sin∠MDE=⨯=．„„„„„„„„„„3
455
1318
∴ d(M,∠AOB)=ME+MF=+1=．„„„„„„„„„„4分
55
（3）∵ 抛物线y=-
12
x+bx+c经过A(5,0)，B(3,4)两点， 2
12⎧
⎧b=2,0=-⨯5+5b+c,⎪⎪⎪2∴ ⎨解得⎨5 c=.1⎪⎪4=-⨯32+3b+c.2⎩⎪2⎩
∴ 抛物线对应的函数关系式为y=-
125
x+2x+．„„„„„„„„„5分 22
如图2，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N．
设点Q的坐标为Q(m,n)，其中3≤m≤5， 则QH=n=-m2+2m+
12
5．2
4． 5
33
∴ 点N的坐标为N(n,n)，NQ=m-n．
44
43
∴ QG=NQ⋅sin∠QNG=(m-n)
54
43
=m-n． 55434∴ d(Q,∠AOB)=QG+QH=m-n+n=
5555
42125=m+(-m+2m+) 552218
=-m2+m+1
55121
=-(m-4)2+．„„„„„„„„„„„„„„6分
55
21
∴ 当m=4（在3≤m≤5范围内）时，d(Q,∠AOB)取得最大值．„7分
5
5
此时点Q的坐标为(4,)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
2
同（2）得 sin∠QNG=sin∠AOB=