第四章 框架内力计算

第四章 框架内力计算

4.1、恒载作用下的框架内力

4.1.1 弯矩分配系数：

由于该框架为对称结构，取框架的一般进行简化计算，如图4-1。

图 4-1 横向框架承担的恒载及节点不平衡弯矩

（a ）恒载；（b ）恒载产生的不平衡弯矩

节点A 1: S A 1A 0=4i A 1A 0=4⨯0.388=1.552 S A 1B 1=4i A 1B 1=4⨯1.333=

5.332

S A 1A 2=4i A 1A 2=4⨯0.676=2.704 (相对刚度见表3-1)

∑S =4(0.388+1.333+0.676) =9.588

A

μS A 1A 0=

A 1A 0S =1.552

4(0.388+1.333+0.676) =0.162 A

μA 1B 1=

S A 1B 1S =5.3324(0.388+1.333+0.676)

=0.556 A

μA 1A 2=

S A 1A 2S =2.704

4(0.388+1.333+0.676) =0.282 A

节点B 1: S B 1D 1=i B 1D 1=2⨯1.182=2.364

∑S =4(0.388+1.333+0.676) +2⨯1.182=11.952

A

μB 1A 1=

5.33211.952=0.446 μ2.704

B 1B 2=11.952=0.226

μ2.3641.552

B 1D 1=11.952=0.198 μB 1B 0=11.952

=0.130

节点A 2:μA 2A 1=μA 2A 3=

2.704

4(0.676+1.333+0.676)

=0.252

μ1.333⨯4

A 2B 2=

4(0.676+1.333+0.676)

=0.496

节点B 1.333⨯4

2:μB 2A 2=

4(0.676+1.333+0.676) +2⨯1.182

=0.409

μ0.676⨯4

B 2B 1=μB 2B 3=

4(0.676+1.333+0.676) +2⨯1.182

=0.206

μ1.182⨯2

B 2D 2=

4(0.676+1.333+0.676) +2⨯1.182=0.180

节点A 1.333⨯4

4:μA 4B 4=

4(1.333+0.676)

=0.664

μ0.676⨯4

A 4A 3=

4(1.333+0.676)

=0.336

节点B 1.333⨯4

4:μB 4A 4=

4(1.333+0.676) +1.182⨯2

=0.513

μB 4B 3=μB 4D 4=

0.676⨯4

=0.260

4(1.333+0.676) +1.182⨯21.182⨯2

=0.227

4(1.333+0.676) +1.182⨯2

A 3、B 3与相应的A 2、B 2相同。 4.1.2、杆件固端弯矩

计算杆件固端弯矩是应带符号，杆端弯矩一律以顺时针方向为正，如图4-2。

1、横梁固端弯矩： 图 4-2 杆端及节点弯矩正方向 （1） 顶层横梁：

自重作用： M A 4B 4=-M

B 4A 4

=1-/12q 2l

1k N 9. 1m ⋅5 2

1/12⨯4. 0⨯827. =5- =-

M B 4D 4=-1/3ql 2=-1/3⨯2.69⨯1.252=-1.401k N ⋅m M D 4B 4=1/2M

B 4D 4

=-0. 7k 0N 1⋅m

板传来的恒载作用： M A 4B 4=-M

B 4A 4

2

=1-/12q 2l (1-1/a 22l /+3a 3l /

)

2

=-1/12⨯19. 4⨯827. 5-(⨯1⋅m 80. 057222+/37. 532=/-7. k 5N )

M B 4D 4=-5/96ql 2=-5/96⨯10.93⨯2.52=-3.558k N ⋅m M D 4B 4=-1/32ql 2=-1/32⨯10.93⨯2.52=-2.135k N ⋅m （2） 二～四层横梁：

自重作用：

M A 1B 1=-M B 1A 1=-1/12ql 2=-1/12⨯4.08⨯7.52=-19.125k N ⋅m M B 1D 1=-1/3ql 2=-1/3⨯2.69⨯1.252=-1.401k N ⋅m

M M D 1B 1=1/2

B 1D 1

⋅m =-0. 7k 0N 1

填充墙的恒载作用：

M A 1B 1=-M B 1A 1=-1/12ql 2=-1/12⨯13⨯7.52=-60.938k N ⋅m 板传来的恒载作用： M A 1B 1=-M

B 1A 1

=1-/12q 2l (1-22a

2

l /+3a 3/l )

3

222+/7. 53

22

=-1/12⨯14. 7⨯687. -5(⨯1N ⋅) m 60. 6922=-/7. k 5

M B 1D 1=-5/96ql 2=-5/96⨯7.98⨯2.52=-2.598k N ⋅m M D 1B 1=-1/32ql 2=-1/32⨯7.98⨯2.52=-1.559k N ⋅m 2、纵梁引起柱端附加弯矩：

顶层外纵梁 M A 4=-M D 4=58.17⨯0.075=4.37kN ⋅m （逆时针为正） 顶层中纵梁 M B 4=-M C 4=-48.06⨯0.075=-3.6kN ⋅m 楼层外纵梁 M A 1=-M D 1=50.36⨯0.075=3.78kN ⋅m 楼层中纵梁 M B 4=-M C 4=-75.76⨯0.075=-5.68kN ⋅m 4.1.3、节点不平衡弯矩

横向框架的节点的不平衡弯矩为通过该节点的各杆件（不包括纵向框架梁）在节点处的固端弯矩与通过该节点的纵梁引起柱端横向附加弯矩之和，根据平衡原则，节点弯矩的正方向与杆端弯矩方向相反，一律以逆时针方向为正，如图4-2。

节点A 4的不平衡弯矩：

M A 4B 4+M A 4纵梁=-190125-80.057+4.37=-94.81kN ⋅m

横向框架的节点不平衡弯矩见图4-1。 4.1.4、内力计算

根据对称原则，只计算AB 、BC 跨。在进行弯矩分配时，应将节点不平衡弯矩反号后再进行杆件弯矩分配。

节点弯矩是相交于该节点杆件的近端弯矩，同事也使各杆件的远端产生弯矩，近端产生的弯矩通过节点弯矩分配确定，远端产生的弯矩由传递系数C 确定，传递系数与杆件远端的约束形式有关。

恒载弯矩分配过程如图4-3，恒载作用下弯矩见图4-4，梁剪力、主轴力见图4-5。

节点分配顺序：（A 4、B 3、A 2、B 1）；（B 4、A 3、B 2、A ） 1

图 4-3 恒载弯矩分配过程

图 4-4 恒载作用下弯矩图（kN m ）

图 4-5 恒载作用下梁剪力、柱轴力（kN ）

根据所求出的梁端弯矩，再通过平衡条件，即可求出恒载作用下的梁剪力、柱轴力，结果见表4-1～4-4。

AB跨梁端剪力（KN ） 表4-1

BC跨梁端剪力（KN ） 表4-2

AB跨跨中弯矩（KN ） 表4-3

柱轴力 表4-4

4.2、活载作用下的框架内力

4.2.1、梁固端弯矩 1、顶层：

M A 4B 4=-M B 4A 4=-1/12ql 2(1-1/2a 2/l 2+a 3/l 3)

223

=-1/12⨯2. ⨯827. 5-(1⨯22/+7. 5

3

⋅11. 512=/-7. k 5N ) m

M B 4D 4=-5/96ql 2=-5/96⨯1.75⨯2.52=-0.57kN ⋅m M D 4B 4=-1/32ql 2=-1/32⨯1.75⨯2.52=-0.34kN ⋅m 2、二～四层横梁：

M A 1B 1=-M A 1B 1=-1/12ql 2(1-1/2a 2/l 2+a 3/l 3)

22 =-1/12⨯8⨯7. 5-(1⨯222/7. +35

3

k N 32. 882/=7. -5) ⋅m

M B 1D 1=-5/96ql 2=-5/96⨯6.25⨯2.52=-2.03kN ⋅m M D 1B 1=-1/32ql 2=-1/32⨯6.25⨯2.52=-1.22kN ⋅m 4.2.2、纵梁偏心引起柱端附加弯矩

顶层外纵梁 M A 4=-M D 4=2.80⨯0.075=0.21kN ⋅m 顶层中纵梁 M B 4=-M C 4=-5.21⨯0.075=-0.39kN ⋅m 楼层外纵梁 M A 1=-M D 1=8⨯0.075=0.6kN ⋅m 楼层中纵梁 M B 4=-M C 4=-16.59⨯0.075=-1.24kN ⋅m 4.2.3、本工程考虑的活载不利组合 本工程活载为满跨布置，见图4-6。 4.2.4、各节点不平衡弯矩

M A 4=M A 4B 4+M A 4=-11.51+0.21=-11.3kN ⋅m M A 1=M A 2=M A 3=M A 1B 1+M A 1=-32.88+0.6=-32.28kN ⋅m 图 4-6 活载满跨布置 M B 4=M B 4A 4+M B 4+M B 4D 4=11.51-0.39-0.57=10.55kN ⋅m

M B 1=M B 2=M B 3=M B 1A 1+M B 1+M B 1D 1=32.88-1.24-2.03=29.61kN ⋅

m

4.2.5、内力计算：

活载弯矩分配过程如图4-7，活载作用下的梁弯矩、剪力、轴力如图4-8、4-9。

节点分配顺序：（A 4、B 3、A 2、B 1）；（B 4、A 3、B 2、A ） 1

图 4-7 满跨活载传递过程

图 4-8 满跨活载弯矩（kN m ）

图 4-9 满跨活载剪力、柱轴力（kN ）

根据所求出的梁端弯矩，再通过平衡条件，即可求出满跨活载作用下的梁剪力、柱轴力，结果见表4-5～4-8。

满跨活载作用下AB 跨梁端剪力（KN ） 表4-5

满跨活载作用下BC 跨梁端剪力（KN ） 表4-6 满跨活载作用下AB 跨跨中弯矩（KN ） 表4-7

满跨活载作用下柱轴力 表4-8 4.3、地震作用下的横向框架内力的计算

4.3.1、0.5（雪+活）重力荷载作用下横向框架的内力计算 1、横梁线荷载计算：

5⨯4顶层横梁：雪载 边跨 0. 6⨯5 中跨 0. 6⨯

0=. 5k N 1. 3m 0=. 5k N 0. 8m 1

2⨯. 5

5k 4N m / 二～四层横梁：活载 边跨 8⨯0. =50=. 5 中跨 6. 2⨯

3k N . 13m

2、纵梁引起柱端附加弯矩：

顶层外纵梁：

M A 4=-M D 4=0.5⨯0.65⨯4/2⨯4/2⨯0.075=1.3⨯0.075=0.10kN ⋅m 顶层中纵梁：

M B 4=-M C 4=-0.5⨯0.65⨯[4/2⨯4/2+(4+4-2.5) /2⨯2.5/2]⨯0.075

2. 42⨯0. 07=5-k 0N . 1m 8⋅ =-

楼层外纵梁：

M A 1=-M D 1=-0.5⨯2⨯4/2⨯4/2⨯0.075=-4⨯0.075=0.3kN ⋅m 楼层中纵梁：

M B 1=-M C 1=-0.5⨯2.5⨯[4/2⨯4/2+(4+4-2.5) /2⨯2.5/2]⨯0.075

9. 30⨯0. 07=5-k 0N . 7m 0⋅ =-

3、计算简图：见图4-10。

4、固端弯矩： 图 4-10 固端弯矩

顶层横梁：M A 4B 4=-M B 4A 4=-1/12ql 2(1-1/2a 2/l 2+a 3/l 3)

223

=-1/12⨯1. ⨯327. 5-(1⨯22/+7. 5

3

⋅5. 342=/-7. k N 5) m

M B 4D 4=-5/96ql 2=-5/96⨯0.81⨯2.52=-0.26kN ⋅m M D 4B 4=-1/32ql 2=-1/32⨯0.81⨯2.52=-0.16kN ⋅m

二～四层横梁：

M A 1B 1=-M A 1B 1=-1/12ql 2(1-1/2a 2/l 2+a 3/l 3)

22 =-1/12⨯4⨯7. 5-(1⨯222/7. +35

3

k N 16. 442/=7. -5) ⋅m

M B 1D 1=-5/96ql 2=-5/96⨯3.13⨯2.52=-1.02kN ⋅m M D 1B 1=-1/32ql 2=-1/32⨯3.13⨯2.52=-0.61kN ⋅m

5、不平衡弯矩：

M A 4=M A 4B 4+M A 4=-5.34+0.10=-5.24kN ⋅m

M A 1=M A 2=M A 3=M A 1B 1+M A 1=-16.44+0.15=-16.29kN ⋅m M B 4=M B 4A 4+M B 4+M B 4D 4=5.34-0.18-0.26=4.9kN ⋅m

M B 1=M B 2=M B 3=M B 1A 1+M B 1+M B 1D 1=16.44-0.70-0.26=15.48kN ⋅m 6、弯矩分配计算：

弯矩分配过程如图4-11，0.5（雪+活）作用下梁、柱弯矩见图4-12，梁剪力、柱轴力 见图4-13。

节点分配顺序：（A 4、B 3、A 2、B 1）；（B 4、A 3、B 2、A ） 1

图 4-11 0.5（雪+活）作用下迭代计算

图 4-12 0.5（雪+活）作用下杆端弯矩（kN m ）

图 4-13 0.5（雪+活）作用下框架剪力、柱轴力（kN ）

根据所求出的梁端弯矩，再通过平衡条件，即可求出0.5（雪+活）作用下的梁剪力、柱轴力，结果见表4-9～4-12。

0.5（雪+活）作用下AB 跨梁端剪力（KN ） 表4-9

0.5（雪+活）作用下BC 跨梁端剪力（KN ） 表4-10

0.5（雪+活）作用下AB 跨跨中弯矩（KN ） 表4-11

0.5（雪+活）作用下柱轴力 表4-12 4.3.2、地震作用下横向框架的内力计算

地震作用下框架柱剪力及柱端弯矩计算过程见表4-13、梁端弯矩计算过程见表4-14、柱剪力和轴力计算过程见表4-15、地震作用下框架弯矩见图4-14，框架梁剪力、柱轴力见图4-15。

地震作用下横向框架柱剪力及柱端弯矩 表4-13

地震作用下梁端弯矩 表4-14

地震作用下梁剪力、柱轴力 表4-14

图 4-14 地震作用框架弯矩（kN m ）

图 4-15 地震作用框架梁剪力、柱轴力（kN ）