统计学课后习题答案
第四章 统计描述
【4.1】某企业生产铝合金钢,计划年产量40万吨,实际年产量45万吨;计划降低成本5%,实际降低成本8%;计划劳动生产率提高8%,实际提高10%。试分别计算产量、成本、劳动生产率的计划完成程度。 【解】产量的计划完成程度=即产量超额完成12.5%。
成本的计划完成程=即成本超额完成3.16%。
劳动生产率计划完=
实际产量45
⨯100%=⨯100%=112.5%
计划产量40
1-实际降低百分比1-8%
⨯100%=⨯100%≈96.84%
1-计划降低百分比1-5%
1+实际提高百分比1+10%
⨯100%=⨯100%≈101.85%
1+计划提高百分比1+8%
即劳动生产率超额完成1.85%。
【4.2】某煤矿可采储量为200亿吨,计划在1991~1995年五年中开采全部储量的0.1%,在五年中,该矿实际开采原煤情况如下(单位:万吨)
试计算该煤矿原煤开采量五年计划完成程度及提前完成任务的时间。 【解】本题采用累计法:
计划期间实际完成累计数
⨯100%
(1)该煤矿原煤开采量五年计划完成=计划期间计划规定累计数
2535⨯104
=126.75% =7
2⨯10
即:该煤矿原煤开采量的五年计划超额完成26.75%。
(2)将1991年的实际开采量一直加到1995年上半年的实际开采量,结果为2000万吨,此时恰好等于五年的计划开采量,所以可知,提前半年完成计划。 【4.3】我国1991年和1994年工业总产值资料如下表:
要求:
(1)计算我国1991年和1994年轻工业总产值占工业总产值的比重,填入表中; (2)1991年、1994年轻工业与重工业之间是什么比例(用系数表示)?
(3)假如工业总产值1994年计划比1991年增长45%,实际比计划多增长百分之几? 【解】(1)
(2)是比例相对数;
13800.9
≈0.96;
14447.121670.6
1994年轻工业与重工业之间的比例=≈0.73
29682.4
1991年轻工业与重工业之间的比例=(3)
51353
-1≈25.37%
28248
(1+45%)
即,94年实际比计划增长25.37%。
【4.4】某乡三个村2000年小麦播种面积与亩产量资料如下表:
要求:(1)填上表中所缺数字;
(2)用播种面积作权数,计算三个村小麦平均亩产量; (3)用比重作权数,计算三个村小麦平均亩产量。
i
(2)x=
∑x
i=1ki=1
k
fi
=
i
∑f
700⨯120+820⨯150+650⨯130
=728.75(斤)
400
(3)
x=
∑x
i=1ki=1
k
i
fi
i
∑f
=∑xi⋅
i=1
k
fi
∑f
i=1
k
=700⨯30%+820⨯37.5%+650⨯32.5%=728.75(斤)
i
【4.5】两种不同品种的玉米分别在五块地上试种,产量资料如下:
已知生产条件相同,对这两种玉米品种进行分析比较,试计算并说明哪一种品种的亩产量更
稳定一些?
【解】平均亩产量=
总产量
田块总面积
即: 由于是总体数据,所以计算总体均值:
∴X甲=
∑mf
i
=
i
4990
=998(斤) 5
5980
≈996.67(斤) 6
X乙
计算表格
m∑=
f
i
=
i
乙品种
下面分别求两块田地亩产量的标准差:
σ甲=
∑(X
i=1
K
i
-X甲)2fiN
=
24253.25
≈69.65(斤) 5
σ乙=
∑(X
i=1
K
i
-X乙)2fiN
=
155533.33
≈161(斤)
6
要比较两种不同玉米的亩产量的代表性,需要计算离散系数:
vσ甲=
σ甲
X甲
=
69.65
≈0.07 998
vσ乙=
σ乙
X乙
=
161
≈0.16
996.67
vσ
甲
乙
【4.6】
两家企业生产相同的产品,每批产品的单位成本及产量比重资料如下: 甲企业
乙企业
试比较两个企业哪个企业的产品平均单位成本低,为什么? 【解】
X甲=
∑x
i=1ki=1
k
i
fi
i
∑f
k
i
=∑xi⋅
i=1
k
fi
∑f
i=1
k
=100⨯10%+110⨯20%+120⨯70%=116(元)
i
X乙=
∑x
i=1ki=1
fi
i
∑f
=∑xi⋅
i=1
k
fi
∑f
i=1
k
=100⨯33%+110⨯33%+120⨯34%=110.1(元)
i
X乙
∴乙企业的产品平均单位成本更低。
【4.7】某粮食储备库收购稻米的价格、数量及收购额资料如下:
要求:(1)按加权算术平均数公式计算稻米的平均收购价格;
(2)按加权调和平均数公式计算稻米的平均收购价格。
k
【解】(1)x=
∑x
i=1
ki=1
i
fi
=
i
∑f
9150
≈1.02(元) 9000
(2)xH=
∑mm∑x
=
2400+3150+36009150
=≈1.02(元)
2000+3000+40009000
【4.8】已知我国1995年—1999年末总人口及人口增长率资料:
试计算该期间我国人口平均增长率。 【解】计算过程如下:
按照平均增长率的公式可知:
平均增长率=平均发展速度-1
所以,1995年—1999年期间我国人口平均增长率=-1≈9.96‰
120486
【4.9】某单位职工按月工资额分组资料如下: 根据资料回答问题并计算: (1)它是一个什么数列? (2)计算工资额的众数和中位数;
(3)分别用职工人数和人数所占比重计算平均工资。结果一样吗? (4)分别计算工资的平均差和标准差。 【解】(1)是等距分组数列 (2)下限公式:M0≈L+
fm-fm-1
⨯d
(fm-fm-1)+(fm-fm+1)
M0≈L+
即:=5000+
fm-fm-1
⨯d
(fm-fm-1)+(fm-fm+1)
134-37
⨯1000
(134-37)+(134-30)
≈5482.59
(注:用上限公式算出的结果与上述结果相同)
n
-Sm-1
下限公式:Me≈L+⨯d
fm
n
-Sm-1Me≈L+⨯dfm118-62
⨯1000
134
≈5417.91=5000+
(注:用上限公式算出的结果与上述结果相同) (3)
x=
∑x
i=1ki=1
k
i
fi
=
i
∑f
fi
i
3500⨯25+4500⨯37+5500⨯134+6500⨯30+7500⨯10
≈5343.22(元)
236
x=
∑x
i=1ki=1
k
i
∑f
=∑xi⋅
i=1
k
fi
∑f
i=1
k
=3500⨯10.59%+4500⨯15.68%+5500⨯56.78%+6500⨯12.71%
i
+7500⨯4.24%≈5343.(元)2
两者结果一样。(忽略小数点位数的保留对结果造成的影响)
(4)平均差 Md=
∑x
i=1
k
i
-xfi
≈654.92
i
∑f
i=1K
i
k
标准差 σ=
∑(X
i=1
-X)2fiN
≈923.33
【4.10】某市甲、乙两商店把售货员按其人均年销售额分组,具体资料如下:
要求:(1)分别计算这两个商场售货员的人均销售额; (2)通过计算说明哪个商场人均销售额的代表性大?
【解】(1) X甲=
∑x
i=1
ki=1
k
i
fi
=
i
∑f
k
i
12600
=42 300
X乙=
∑x
i=1ki=1
fi
=
i
∑f
10300
=51.5 200
(2)σ甲=
∑(X
i=1
K
i
-X甲)2fiN
=
30300
≈10.05 300
σ乙=
vσ甲=
∑(X
i=1
K
i
-X乙)2fiN
=
19550
≈9.89 200
σ甲
X甲
=
10.05
≈0.24 42
vσ乙=
σ乙
X乙
乙
=
9.89
≈0.19 51.5
vσ>vσ,
甲
∴乙商场销售额的代表性大。
第五章 统计抽样
【5.1】袋中装有5只同样大小的球,编号为1,2,3,4,5,从中同时取出3只球,求取出的最大号X的分布律及其分布函数并画出其图形。
【解】先求X的分布律:由题知,X的可能取值为3,4,5,且
3
P{X=3}=1/C5=1/10,
3P{X=4}=C32/C5=3/10,23P{X=5}=C4/C5=6/10
,
45⎫⎛3
1/103/106/10⎪⎪
⎭, ∴X的分布律为:⎝
F(x)=P{X≤xi}=∑pi
由
xi≤x
得:
x
⎪1/103≤x
F(x)=⎨
⎪2/54≤x
【5.2】设X的密度函数为
⎧c(3+2x),2
f(x)=⎨
0,其它⎩
求: (1)常数c;
(2)X的分布函数F(x); (3)P{1
⎰
+∞
-∞
f(x)dx=⎰0dx+⎰c(3+2x)dx+⎰0dx=18c
-∞
2
4
24+∞
∴c=1/18
(2)当x≤2时,F(x)=
⎰
x
-∞
0dt=0;
当2
⎰
x
-∞
f(t)dt=⎰0dt+⎰
-∞2
4
2
11
(3+2t)dt=(x2+3x-10) 21818
x
当x≥4时,F(x)=
⎰
x
-∞
f(t)dt=⎰0dt+⎰
-∞
x1
(3+2t)dt+⎰
0dt=1. 2184
故分布函数
x≤2⎧0,
⎪1⎪
F(x)=⎨(x2+3x-10),2
⎪18
x≥4⎪⎩1,
(3)P{1
12
(3+3⨯3-10)-0=4/9 18
1
【5.3】随机变量X,Y相互独立,又X P(2),Y B(8,),试求E(X-2Y)和
4
D(X-2Y)。
【解】E(X-2Y)=E(X)-2E(Y)=2-2⨯2=-2
D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4⨯
3
=8 2
【5.4】一本书排版后一校时出现错误处数X服从正态分布N(200,400), 求: (1)出现错误处数不超过230的概率;
(2)出现错误处数在190~210的概率。 【解】 X N(200,400) (1)∴P(X≤230)=P(
X-200230-200
≤) 2020
3
2
=P(Z≤)=Φ()=Φ(1.5)=0.9332
32
(2) ∴P(190≤X≤210)=P(
190-200X-200210-200
≤≤)
202020
=P(-
111
≤Z≤)=2Φ()-1=2⨯0.6915-1=0.3830 222
【5.5】某地区职工家庭的人均年收入平均为12000元,标准差为2000元。若知该地区家庭的人均年收入服从正态分布,现采用重复抽样从总体中随机抽取25户进行调查,问出现样本均值等于或超过12500元的可能性有多大? 【解】 对总体而言,X N(12000,2000)
2
20002
) ∴样本均值x N(12000,25
P(x≥12500)=P(
x-1200012500-12000
≥)
400400
=P(Z≥
55)=1-P(Z
=1-Φ(1.25)=1-0.8944=0.1056
【5.6】某商场推销一种洗发水。据统计,本年度购买此种洗发水的有10万人,其中3万6千人是女性。如果按重复抽样方法,从购买者中抽出100人进行调查,问样本中女性比例超过50%的可能性有多大? 【解】总体比例π=
3.6万π(1-π)
=36%∴p N(π,)即p N(0.36,0.0482) 10万n
P(p>50%)=P(
p-0.360.5-0.36
>)
0.0480.0480.140.14
)=1-P(Z≤) 0.0480.048
=P(Z>
=1-Φ(
35
)=1-Φ(2.92)=1-0.9982=0.0018 12
第八章 相关分析和回归分析*
【8.1】某店主分析其店面的经营情况时,收集了连续10天的访问量数据(单位:天)和当天营业额数据(单位:元)如下。
对以上访问量和营业额数据作相关分析。 【解】相关分析
(1)画访问量和营业额数据的散点图,如下所示
从图上可以看出,访问量和营业额数据是简单线性正的不完全相关。 (2)计算相关系数
计算访问量和营业额的简单线性相关系数为0.871508,大于0.8,说明访问量和营业额之间存在较高的线性关系。
【8.2】某饮料广告费投入为x,产品销售数量为y,根据收集2年的月度数据 资料,计算得到以下结果:
∑(x-)
i
2
=6546,∑(yi-)2=5641
=375,=498,∑(xi-)(yi-)=6054
(1)计算相关系数,并初步判断x与y之间的关系; (2)用最小二乘法估计模型回归系数,并写出模型结果; (3)说明所计算的回归系数的经济意义;
(4)计算模型可决系数,并用其说明模型的拟合效果。 【解】最小二乘法的计算(一元)
(1)计算相关系数,并初步判断x与y之间的关系;
计算x与y相关系数为r=0.996268,说明两者的简单线性相关程度非常高,因此可以初步判断x与y呈现线性关系。
(2)用最小二乘法估计模型回归系数,并写出模型结果;
ˆ+βˆx,ˆ=0.92484,ˆi=β记模型为:y得到β01i将以上结果代入最小二乘法的计算公式,1ˆ=151.1852。 β0
ˆi=151.1852+0.92484xi 因此,产品销售数量为y对广告费投入为x的模型为y
(3)说明所计算的回归系数的经济意义;
ˆ=0.92484表示当广告费投入每增加1个单位,β产品销售数量会增加0.92484个单位。 1
(4)计算模型可决系数,并用其说明模型的拟合效果。
由于模型为一元线性回归模型,根据一元线性回归模型中可决系数为模型因变量和自变
2
2
2
量简单线性相关系数的平方的关系,可得模型的可决系数R=(r)=(0.996268)=0.99255。可决系数接近1,说明模型拟合的非常好。
第九章 统计指数
【9.2】某市场上四种蔬菜的销售资料如下:
(1) 根据综合指数编制规则,将上表所缺空格填齐; (2) 用拉氏公式编制四种蔬菜的销量总指数和价格总指数; (3) 用帕氏公式编制四种蔬菜的销量总指数和价格总指数; (4) 建立适当的指数体系,对蔬菜销售额的变动进行因素分析。 【解】 (2)拉氏: Lq=
(3)帕氏: Pq(4)
qp=2390=107.27% L=qp=2431=109.11%
qp2228qp2228
qp=2565=105.51% P=qp=2565=107.32% =
qp2431qp2390
1
1
p
110
11
p
1
1
建立指数体系:
⎧[1**********]5=⨯⎪ [1**********]0⎨
⎪2565-2228=(2390-2228)+(2565-2390)⎩
⎧115.12%=107.27%⨯107.32
即 ⎨
+175(元)⎩337=162
计算表明: 四种蔬菜的销量增长了 7.27%,使销售额增加了 162元;
四种蔬菜的价格上长了 7.32%,使销售额增加了175元;
两因素共同影响,使销售额增长了15.12%, 销售额增加了337元。 结论:
试分析出厂价格和产量的变动对总产值的影响。 【解】第一步:计算三个总产值:
∑q∑q
p0=13500⨯8+11000⨯10+4000⨯6=242000(万元);
1
p0=15000⨯8+10200⨯10+4800⨯6=250800(万元);
∑q
1
p1=15000⨯8.5+10200⨯11+4800⨯5=263700(万元);
第二步:建立指标体系
⎧q1p1∑q1p0∑q1p1∑=⨯⎪
⎨q0p0q0p0q1p0
⎪qp-qp=(qp-qp)+(qp-qp)
∑11∑10⎩∑11∑00∑10∑00
[***********]⎧
⎪=⨯即⎨ [***********]⎪⎩263700-242000=(250800-242000)+(263700-250800)
⎧108.97%=103.64%⨯105.14%
⇒⎨
21700=8800+12900⎩
第三步:分析结论。计算结果表明:由于出厂价上涨了3.64%,使总产值增加了8800元;由于产量提高了5.14%,使总产值增加了12900元;两因素共同作用,使总产值上升了8.97%,增加了21700元。
【9.4】若给出【9.2】题中四种蔬菜的资料如下:
(1) 编制四种蔬菜的算术平均指数; (2) 编制四种蔬菜的调和平均指数;
(3) 把它们与上题计算的拉氏指数和帕氏指数进行比较,看看有何种关系?什么条
件下才会有这种关系的呢?
【解】(1)
Aq=
∑k(qp)=∑qp
qpqp
q
1
P
00
00
=
2390
=107.27%2228=
2431
=109.11% 2228
AP=
(2)
Hq=
k(qp)=qpqpqp
10
qp=qp1
∑k(qp)qp
1
1
1
1
1
q1
1
1
10
1
1
1
11
=
2565
=105.51% 2390
Hq=
∑qp=∑qp∑k(qp)qp
p
=
2565
=107.32% 2431
(3) 算术平均指数的结果与拉氏指数相等——以基期的总值指标为权数。 调和平均指数的结果与帕氏指数相等——以报告期的总值指标为权数。
【9.5】某地区2005年农副产品收购总额为1 360亿元,2006年比上年的收购总额增长了
12%,农副产品价格指数为105%;试考虑:2006年与2005年相比较 (1) 农副产品收购总额增长了百分之几?农民共增加多少收入? (2) 农副产品收购量增加了百分之几?农民增加了多少收入? (3) 由于农副产品收购价格提高了5%,农民又增加了多少收入? (4) 验证以上三者之间有何等关系? 【解】已知:
∑q0p0=1360 (亿元) q1p1
q0p0
1
00
=12%+100%=112%
qpqp
11
10
=105%
∴ ∑q1p1=1360⨯112%=1523.2 (亿元) ∑q1p0=
有:
110
1523.2
=1450.7 (亿元) 105%
qpqp
=
1450.7
=106.67% 1360
∑qp-∑qp∑qp-∑qp∑qp-∑qp
00
111
1
000
=1523.2-1360=163.2 (亿元)=1450.7-1360=90.7 (亿元) =1523.2-1450.7=72.5 (亿元)
农民交售农副产品增加收入163.2亿元, 与去年相比增长幅度为12%;
农副产品收购数量增长 6.67%, 农民增加收入 农副产品收购价格上涨 5.00%, 农民增加收入
90.7亿元; 72.5亿元。
⎧112.00%=106.67%⨯105.00%
显然,有:⎨
⎩163.2=90.7+72.5(亿元)
可见,分析结论是协调一致的。
【9.7】某企业生产的三种产品的有关资料如下:
(1) 根据上表资料计算相关指标填入上表(见绿色区域数字); (2) 计算产品产量总指数及由于产量增长而增加的总成本; (3) 计算单位成本总指数及由于单位成本变动而增减的总成本。 【解】 建立指数体系:
⎧120.5137120.5
⎧120.50%=137.00%⨯87.96%=⋅⎪ ⎨100137⎨100
37+(-16.5)(万元)⎩20.5=⎪()()120.5-100=137-100+120.5-137⎩
结论:
计算结果表明:由于产量总指数增加了37%(=137%-1),而使总成本增加了37元,由于单位成本总指数下降了12.04%(=87.96%-1),使总成本减少了16.5元。两个因素共同影响使总成本上升了20.5%,增加了20.5元。 【9.8】某商场的销售资料如下:
(1) 根据上表资料计算相关指标填入上表(见绿色区域数字); (2) 计算商品销售量总指数及由于销量变化而增减的销售额; (3) 计算商品价格总指数及由于价格变动而增减的销售额。
【解】建立指数体系:
⎧400447.3400
⎧88.11%=98.52%⨯89.43%=⋅⎪
454447.3⎨⎨454
()()-54=-6.7+-47.3万元⎩⎪⎩400-454=(447.3-454)+(400-447.3)
计算结果表明:由于商品销量总指数下降了1.48%(=1-98.52%),而使销售额减少了6.7万元,由于商品价格总指数下降了10.57%(=1-89.43%),使销售额减少了47.3万元。两个因素共同影响使销售总额下降了11.89%(=1-88.11%),减少了54万元。 【9.10】某乡力图通过推广良种和改善田间耕作管理来提高粮食生产水平,有关生产情况如下表所示:
(1) 该乡粮食平均亩产提高了百分之几?由此增产粮食多少吨? (2) 改善田间耕作管理使平均亩产提高多少?增产粮食多少吨? (3) 推广良种使平均亩产提高多少?增产粮食多少吨?
【解】计算的相关数据(f0x0域数字;
从而有:
f1x0f1x1
∑fx∑fx∑fx
00
10
11
)见上表中绿色区
x0=
fxf
00
=
46 748 000
=387.32 (公斤亩)x1=
120 000
x假=
fxf
1
11
=
49 737 000
=417.48 (公斤亩)
120 000
fx
f
1
10
=
48 657 000
=405.48 (公斤)120 000
⎧1假1
=⨯⎪
建立指数体系: ⎨ 00假
⎪1-0=(-0)+(1-)
假假⎩
即
417.48405.48417.48⎧
⎪=⨯
⎨387.32387.32405.48
⎪⎩49 737 000-46 478 000=(48 657 000-46 478 000)+(49 737 000-48 657 000)
107.01%=104.69% ⨯ 102.22%⎧
即 ⎨
⎩ 3 259 000=2 179 000+1 080 000 (公斤)
分析结论: 计算结果表明
(1)该乡粮食平均亩产提高了7.01%(=107.01%-1),由此增产粮食3 259吨; (2)由于改善田间管理,使平均亩产提高了4.69%,粮食增产2 179吨; (3)由于推广优良品种,使平均亩产提高了2.22%,粮食增产1 080吨。
第十章 时间序列分析
【10.1】某公司2009年末有职工250人,10月上旬的人数变动情况是:10月4日新招聘12名大学生上岗,6日有4名老职工退休离岗,8日有3名青年职工应征入伍,同日又有3名职工辞职离岗,9日招聘7名销售人员上岗。试计算该公司10月上旬的平均在岗人数。 【解】
fx=
f
i
ii
250⨯3+(250+12)⨯2+(262-4)⨯2+(262-4-3-3)⨯1+(262-4-3-3+7)⨯2
3+2+2+1+2
750+524+516+252+5182560===256(人)
1010=
答:该公司10月上旬的平均在岗人数为256人。
【10.2】某银行2009年部分月份的现金库存额资料如下:
要求:(1)该时间序列属于哪一种时间序列?.
(2)分别计算该银行该年第一、二季度和上半年的平均现金库存额。 【解】(1) 该时间序列属于动态时点时间序列; (2) 第一季度平均现金库存额:
x1x500520+x2+x3+4+480+450+
==1440=480(万元); =4-133
第二季度平均现金库存额:
x4x520580+x2+x3+7+550+600+
==1700=567(万元); =4-133
上半年平均现金库存额:
x1x500580+x2+...+7+480+450+520+550+600+
==3140=523(万元)=7-166
【10.3】某企业08年上半年的产量和单位成本资料如下:
【解】
试计算该企业08年上半年的产品平均单位成本。
==
∑f
xf
i
ii
2000⨯73+3000⨯72+4000⨯71+3000⨯73+4000⨯69+5000⨯68
2000+3000+4000+3000+4000+5000
146000+216000+284000+219000+276000+[1**********]00===70.5(元)
2100021000
答:该企业08年上半年的产品平均单位成本为70.5元。
【10.4】某企业有关资料如下,计算该企业一季度人均月销售额。
【解】 该企业一季度月平均销售额:
=
a1+a2+a3100+150+120
==123.33(万元);
33
该企业一季度月平均职工人数:
b1b100116+b2+b3+4+120+110+
==113(人); b=33
123.33
该企业一季度人均月销售额:===1.091(万元/人)。
113b
【10.6】某市2001~2005年的地区生产总值如下表:
(1) 按平均发展速度估计2002~2004年的地区生产总值。 (2) 按此5年的平均发展速度预测2008年和2010年的GDP。
【解】(1)2002~2006年泉州市地区生产总值的平均发展速度为:
=
993⨯113.12%=1123
=113.12%; 993
2
按平均发展速度估计2002~2004年的地区生产总值分别为:
993⨯(113.12%)=1270
993⨯(113.12%)=11437
3
(将计算结果填入上表绿色区域内);
(2)按此5年的平均发展速度预测2008年和2010年的GDP分别为:
2008年地区GDP预测值=1626⨯1.1312=2354(亿元); 2010年地区GDP预测值=1626⨯1.1312=3011.7(亿元)。 【10.7】我国某地区2001年~ 2006年税收总额如下:
试计算:
(1)环比发展速度和定基发展速度; (2)环比增长速度和定基增长速度; (3)增长1%绝对值;
(4)用水平法计算平均增长速度;
(5)分析表中所列资料反映的趋势特征,拟配合适的趋势模型,并预测2007年该地区的税收收入。
【解】(1)~(3)相关计算结果填入下表(见绿色区域数字):
53
(4) 用水平法计算平均发展速度和平均增长速度:
平均发展速度=
5
60385
=2.1404=1.1644=116.44%; 2821
则平均增长速度=-1=116.44%-1=16.44%;