13三角形的基础知识
第十三讲 三角形的基础知识
内容解读
三角形是生活中最常见的图形之一,它贴近生活,联系实际,是近年中考的必考点之一。 三角形的内容包括:三角形三边的不等关系,三角形的分类,三角形内角和定理,三角形中位线的性质,等腰和直角三角形的性质,勾股定理及勾股定理逆定理等相关知识。
考点剖析
1、三角形的三边关系 例1:(2009温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.1cm, 2cm, 3.5cm B.4cm, 5cm, 9cm C.5cm, 8cm, 15cm D.6cm, 8cm, 9cm 2、三角形的内角与外角 例2:(2010年山东省济宁市)若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4,那么这个三角形是( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 例3:(2008南京)若等腰三角形的一个外角为70,则它的底角为 度. 3、等腰三角形
例4:(2010年宁波市)如图,在△ABC中,ABAC,A36,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( ) A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 4、勾股定理和逆定理
例5:(2010·浙江温州)已知△ABC是边长为1的等腰直角三角
形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是 .
例6:(2009遂宁)如图,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为cm.
5、三角形的中位线
例7:如图,DE
是△ABC的中位线,DE2cm,ABAC12cm, 则BC cm,梯形DBCE
的周长为 cm. 6、三角形的中线、高线、角平分线 例8:(2008丽水)如图,在三角形ABC中,AB>AC,D、E分别是AB、AC上的点,△ADE沿线段DE翻折,使点A落在边BC上,记为A.若四边形ADAE是菱形,则下列说法正确的是( )
A. DE是△ABC的中位线 B. AA是BC边上的中线 C. AA是BC边上的高 D. AA是△ABC的角平分线
C (例4图)
F
EDC
BG
第5题图
A E C
真题训练
1.(2009崇左)一个等腰三角形的两边长分别为2和5
A.7
B.9
C.12 D.9或12
2.(2010 湖南株洲)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为
格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C的个数是( ) .....A.6
B.7 C.8
D.9
3.(2010年浙江省东阳县)已知等腰三角形的一个内角为40,则这个等腰三角形的顶角为 ( )
000000A.40 B.100 C.40或100 D.70或50
4.(2009十堰)下列命题中,错误的是( )
A.三角形两边之和大于第三边 B.三角形的外角和等于360° C.三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 D.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
5. (2010浙江义乌)如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处,且DE∥BC,下列结论中,一定正确的个数有( )个 ①△BDF是等腰三角形 ②DE=
1
BC 2
③四边形ADFE是菱形 ④BDFFEC2A
6.(2010年安徽) 如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条
件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是_________。(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠BAD=∠ACD ②∠BAD=∠CAD, ③AB+BD=AC+CD ④AB-BD=AC-CD 7.(2011长春)如图,直线l1//l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连结AC、BC.若∠ABC=54°,则∠1的大小为 (A)36°. (B)54°. (C)72°. (D)73°. 8.(2010四川凉山)已知三角形两边长是方程x5x60的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是 。
9.(2010山西)如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D是AB
的中点,过点D作DE⊥AC于点E,则DE的长是______________. 10.(2010河南)点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上,将△BDE沿直线DE翻折,使点B落在B1处,DB1、EB1分别交边AC于点F、G.若∠ADF=80º,则∠CGE= . 11.(2010 山东省德州)电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC,AB=AC=BC=6.如果跳蚤开始时在BC边的P0处,BP0=2.跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处,且CP1= CP0;第二步从
B
(第9题)
B1
C
E
(第10题图)
P1跳到AB边的P2(第2次落点)处,且AP2= AP1;第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处,且BP3= BP2;…;跳蚤按照上述规则一直跳下去,第n次落点为Pn(n为正整数),则点P2009与点P2010之间的距离为_________.
12.(2007连云港)如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若
的面积分别为5和11,则b的面积为( )
A.4 B.6 C.16 D
.55
13. (2009年重庆)观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数是( )
……
第1个 A.2n2
第2个
第3个
A
3 0
第11题图
D.4n
B
B.4n4 C.4n4
14.(09湖南怀化)如右上图,在Rt△ABC中,B90 ,ED是AC的垂直平分线,
交AC于点D,交BC于点E.已知BAE10,则C的度数为( )
A.30 B.40 C.50 D.60 15.(2009年牡丹江)如图, △ABC中,CDAB于D,一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是( )
A
C
1D B D C
CDDB
,, ③B290°
ADCD∶∶45,·BDAC·CD ④BC∶AC∶AB3 ⑤AC
①1A, ②
A.1 B.2 C.3 D.4
B第16题图 16.(2009年咸宁市)如图,在△ABC中,ABC和
ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作ODAC于D.下列四个结论:
1
①BOC90°+A;②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆
2
外切;③设ODm,AEAFn,则S△AEFmn;④EF不能成为△ABC的中位线. 其中正确的结论是_____________.(把你认为正确结论的序号都填上) 17.(2011长春)在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形.每个等腰三角形的一个顶点为格点A,其余顶点从格点B、C、D、E、F、G、H中选取,并且所画的两个三角形不全等.
(1)特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论: AEDB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答題目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下: 如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
19.(2008恩施自治州)如图8,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;
(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式
x24(12x)29的最小值.
20. (2011•济南)如图,点C为线段AB上任意一点(不与A、B重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接PC.
(1)求证:△ACE≌△DCB;
(2)请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由; (3)求证:∠APC=∠BPC.