[信息论与编码]答案2345完整版
2.1一个马尔可夫信源有3个符号
u1,u2,u3,转移概率为:pu1|u11/2,pu2|u11/2,
,
pu3|u10,pu1|u21/3,pu2|u20pu3|u22/3,pu1|u31/3
,
pu2|u32/3,pu3|u30,画出状态图并求出各符号稳态概率。
解:状态图如下
状态转移矩阵为:
设状态u1,u2,u3稳定后的概率分别为W1,W2、W3
01/21/2
p1/302/3
1/32/30
111
W1W2W3W1102W1332512WPW9W1W3W2
由得2计算可得W2 3
25W1W2W312
6W2W3W3325W1W2W31
2.2 由符号集{0,1}组成的二阶马尔可夫链,其转移概率为:
p(0|00)=0.8,p(0|11)=0.2,p(1|00)=0.2,
p(1|11)=0.8,p(0|01)=0.5,p(0|10)=0.5,p(1|01)=0.5,p(1|10)=0.5。画出状态图,并计算各状态
的稳态概率。 解:
p(0|00)p(00|00)0.8 p(0|01)p(10|01)0.5 p(0|11)p(10|11)0.2 p(0|10)p(00|10)0.5 p(1|00)p(01|00)0.2 p(1|01)p(11|01)0.5 p(1|11)p(11|11)0.8 p(1|10)p(01|10)0.5
00.80.20
000.50.5 于是可以列出转移概率矩阵:p
0.50.500000.20.8
状态图为:
设各状态00,01,10,11的稳态分布概率为W1,W2,W3,W4 有
WPW
4
得 Wi1i1
5
W1140.8W10.5W3W1
0.2W10.5W3W2
W21
7
计算得到 0.5W20.2W4W3
1W30.5W20.8W4W4
7W1W2W3W415W4
14
2.3 同时掷出两个正常的骰子,也就是各面呈现的概率都为1/6,求: (1) “3和5同时出现”这事件的自信息; (2) “两个1同时出现”这事件的自信息;
(3) 两个点数的各种组合(无序)对的熵和平均信息量; (4) 两个点数之和(即2, 3, „ , 12构成的子集)的熵; (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。 解:
(1)
11111
p(xi)
666618I(xi)logp(xi)log
(2)
1
4.170 bit18
111
p(xi)
6636
1
I(xi)logp(xi)log5.170 bit
36
(3)
两个点数的排列如下: 11 21 31 41 51 61
共有21种组合:
12 22 32 42 52 62
13 23 33 43 53 63
14 24 34 44 54 64
15 25 35 45 55 65
16 26 36 46 56 66
111 6636
111
其他15个组合的概率是2
6618
其中11,22,33,44,55,66的概率是
1111
H(X)p(xi)logp(xi)6log15log4.337 bit/symbol
36181836i
(4)
参考上面的两个点数的排列,可以得出两个点数求和的概率分布如下:
[1**********]112X11111151511P(X)
[***********]6H(X)p(xi)logp(xi)
i
[1**********]1
2log2log2log2log2loglog
[***********]36
3.274 bit/symbol
(5)
1111
p(xi)11
6636I(xi)logp(xi)log
2-4
11
1.710 bit36
2.5 居住某地区的女孩子有25%是大学生,在女大学生中有75%是身高160厘米以上的,而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息,问获得多少信息量?
解:
设随机变量X代表女孩子学历
X P(X)
设随机变量Y代表女孩子身高
Y P(Y)
已知:在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即:
y1(身高>160cm)
0.5
y2(身高
0.5
x1(是大学生)
0.25
x2(不是大学生)
0.75
p(y1/x1)0.75 bit
求:身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即:I(x1/y1)
logp(x1/y1)log
p(x1)p(y1/x1)0.250.75
log1.415 bit
p(y1)0.5
2.6 掷两颗骰子,当其向上的面的小圆点之和是3时,该消息包含的信息量是多少?当小圆点之和是7时,该消息所包含的信息量又是多少? 解:
1)因圆点之和为3的概率该消息自信息量I(x)
p(x)p(1,2)p(2,1)
1
18
logp(x)log184.170bit
2)因圆点之和为7的概率
p(x)p(1,6)p(6,1)p(2,5)p(5,2)p(3,4)p(4,3)
该消息自信息量I(x)
1 6
logp(x)log62.585bit
2.7 设有一离散无记忆信源,其概率空间为 (1)求每个符号的自信息量
Xx10x21x32x43
1/41/41/8P3/8
(2)信源发出一消息符号序列为{202 120 130 213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210},求该序列的自信息量和平均每个符号携带的信息量 解:I(x1)
log2
18
log21.415bit
p(x1)32bit,I(x3)2bit,I(x3)3bit
同理可以求得I(x2)
因为信源无记忆,所以此消息序列的信息量就等于该序列中各个符号的信息量之和 就有:I
14I(x1)13I(x2)12I(x3)6I(x4)87.81bit
平均每个符号携带的信息量为
87.81
1.95bit/符号 45
2.8 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍?
解:
四进制脉冲可以表示4个不同的消息,例如:{0, 1, 2, 3} 八进制脉冲可以表示8个不同的消息,例如:{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2个不同的消息,例如:{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的,则: 四进制脉冲的平均信息量H(X1)八进制脉冲的平均信息量H(X2)二进制脉冲的平均信息量H(X0)所以:
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。 2-9 “-” 用三个脉冲 “●”用一个脉冲
(1) I(●)=Log(4)
lognlog42 bit/symbol lognlog83 bit/symbol lognlog21 bit/symbol
2
34
I(-)=Log
40.415
3
(2) H=
14
Log(4)
Log
43
0.811
2-10
(2) P(黑/黑
)= P(白/黑
)=
H(Y/黑
)=
(3) P(黑/白
)= P(白/白
)=
H(Y/白
)=
(4) P(黑
)= P(白
)=
H(Y)=
2.11 有一个可以旋转的圆盘,盘面上被均匀的分成38份,用1,…,38的数字标示,其中有两份涂绿色,18份涂红色,18份涂黑色,圆盘停转后,盘面上的指针指向某一数字和颜色。 (1)如果仅对颜色感兴趣,则计算平均不确定度 (2)如果仅对颜色和数字感兴趣,则计算平均不确定度
(3)如果颜色已知时,则计算条件熵
解:令X表示指针指向某一数字,则X={1,2,……….,38} Y表示指针指向某一种颜色,则Y={l绿色,红色,黑色} Y是X的函数,由题意可知
3
p(xiyj)p(xi)
(1)H(Y)
p(yj)log
j1
12381838
log2log1.24bit/符号
p(yj)3823818
(2)H(X,Y)(3)H(X
H(X)log2385.25bit/符号
|Y)H(X,Y)H(Y)H(X)H(Y)5.251.244.01bit/符号
2.12 两个实验X和Y,X={x1 x2 x3},Y={y1 y2 y3},l联合概率r
xi,yjrij为
r11r12
r21r22r
31r32
(1) (2) (3)
r137/241/240r231/241/41/24
r331/247/240
如果有人告诉你X和Y的实验结果,你得到的平均信息量是多少? 如果有人告诉你Y的实验结果,你得到的平均信息量是多少?
在已知Y实验结果的情况下,告诉你X的实验结果,你得到的平均信息量是多少?
解:联合概率
p(xi,yj)为
H(X,Y)p(xi,yj)log2
ij
1
p(xi,yj)
2
72411
log24log224log24247244
=2.3bit/符号
X概率分布 1
H(Y)3log231.58bit/符号
3H(X|Y)H(X,Y)H(Y)2.31.58
Y概率分布是 =0.72bit/符号
2.13 有两个二元随机变量X和Y,它们的联合概率为
并定义另一随机变量Z = XY(一般乘积),试计算: (1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ);
(2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY); (3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。
解: (1)
131p(x1)p(x1y1)p(x1y2)
882311
p(x2)p(x2y1)p(x2y2)
882
H(X)p(xi)logp(xi)1 bit/symbol
i
131
p(y1)p(x1y1)p(x2y1)
882311
p(y2)p(x1y2)p(x2y2)
882
H(Y)p(yj)logp(yj)1 bit/symbol
j
Z = XY的概率分布如下:
z0z21
Z1
71P(Z)
88
2
7117
H(Z)p(zk)loglog0.544 bit/symbol
8888k
p(x1)p(x1z1)p(x1z2)p(x1z2)0p(x1z1)p(x1)0.5p(z1)p(x1z1)p(x2z1)p(x2z1)p(z1)p(x1z1)p(z2)p(x1z2)p(x2z2)p(x2z2)p(z2)
1
8
730.588
133111
H(XZ)p(xizk)logp(xizk)logloglog1.406 bit/symbol
288882ik
p(y1)p(y1z1)p(y1z2)p(y1z2)0p(y1z1)p(y1)0.5p(z1)p(y1z1)p(y2z1)p(y2z1)p(z1)p(y1z1)p(z2)p(y1z2)p(y2z2)p(y2z2)p(z2)
18
730.588
133111
H(YZ)p(yjzk)logp(yjzk)logloglog1.406 bit/symbol
288882jk
p(x1y1z2)0p(x1y2z2)0p(x2y1z2)0
p(x1y1z1)p(x1y1z2)p(x1y1)p(x1y1z1)p(x1y1)1/8p(x1y2z1)p(x1y1z1)p(x1z1)p(x1y2z1)p(x1z1)p(x1y1z1)p(x2y1z1)p(x2y1z2)p(x2y1)p(x2y1z1)p(x2y1)p(x2y2z1)0
p(x2y2z1)p(x2y2z2)p(x2y2)
1
8
H(XYZ)p(xiyjzk)log2p(xiyjzk)p(x2y2z2)p(x2y2)
i
j
k
113288
38
13333111
loglogloglog1.811 bit/symbol
88888888
(2)
13333111
H(XY)p(xiyj)log2p(xiyj)loglogloglog1.811 bit/symbol
88888888ij
H(X/Y)H(XY)H(Y)1.81110.811 bit/symbolH(Y/X)H(XY)H(X)1.81110.811 bit/symbolH(X/Z)H(XZ)H(Z)1.4060.5440.862 bit/symbolH(Z/X)H(XZ)H(X)1.40610.406 bit/symbolH(Y/Z)H(YZ)H(Z)1.4060.5440.862 bit/symbolH(Z/Y)H(YZ)H(Y)1.40610.406 bit/symbolH(X/YZ)H(XYZ)H(YZ)1.8111.4060.405 bit/symbolH(Y/XZ)H(XYZ)H(XZ)1.8111.4060.405 bit/symbolH(Z/XY)H(XYZ)H(XY)1.8111.8110 bit/symbol
(3)
I(X;Y)H(X)H(X/Y)10.8110.189 bit/symbolI(X;Z)H(X)H(X/Z)10.8620.138 bit/symbolI(Y;Z)H(Y)H(Y/Z)10.8620.138 bit/symbol
I(X;Y/Z)H(X/Z)H(X/YZ)0.8620.4050.457 bit/symbolI(Y;Z/X)H(Y/X)H(Y/XZ)0.8620.4050.457 bit/symbolI(X;Z/Y)H(X/Y)H(X/YZ)0.8110.4050.406 bit/symbol
2-14 (1)
P(ij)= P(i/j)=
(2) 方法1:
=
方法2:
2-15
P(j/i)=
2.16 黑白传真机的消息元只有黑色和白色两种,即X={黑,白},一般气象图上,黑色的出现概率p(黑)=0.3,白色出现的概率p(白)=0.7。
(1)假设黑白消息视为前后无关,求信源熵H(X),并画出该信源的香农线图
(2)实际上各个元素之间是有关联的,其转移概率为:P(白|白)=0.9143,P(黑|白)=0.0857,P(白|黑)=0.2,P(黑|黑)=0.8,求这个一阶马尔可夫信源的信源熵,并画出该信源的香农线图。 (3)比较两种信源熵的大小,并说明原因。 解:(1)H(X)P(黑|白)=P(黑)
0.3log2
1010
0.7log20.8813bit/符号 37
P(白|白)=P(白)
P(黑|黑)=P(黑) P(白|黑)=P(白)
(2)根据题意,此一阶马尔可夫链是平稳的(P(白)=0.7不随时间变化,P(黑)=0.3不随时 间变化)
H(X)H(X2|X1)p(xi,yj)log2
ij
1
p(xi,yj)
0.91430.7log20.80.3log2
=0.512bit/符号
111
0.08570.7log20.20.3log2
0.91430.08570.2
10.8
2.17 每帧电视图像可以认为是由3105个像素组成的,所有像素均是独立变化,且每像素又取128个不同的亮度电平,并设亮度电平是等概出现,问每帧图像含有多少信息量?若有一个广播员,在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像,试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少(假设汉字字汇是等概率分布,并彼此无依赖)?若要恰当的描述此图像,广播员在口述中至少需要多少汉字? 解: 1)
H(X)log2nlog21287 bit/symbol
H(X)NH(X)31072.110 bit/symbol
2)
N
5
6
H(X)log2nlog21000013.288 bit/symbolH(XN)NH(X)100013.28813288 bit/symbol
3)
H(XN)2.1106
N158037
H(X)13.288
2.20 给定语音信号样值X的概率密度为态变量的连续熵。 解:
1x
p(x)e,x,求Hc(X),并证明它小于同样方差的正
2
1x
Hc(X)px(x)logpx(x)dxpx(x)logedx
21
px(x)logdxpx(x)(x)logedx
211x
loglogee(x)dx
22
11
loglogeex(x)dxlog
2211
log2loge2xexdx
2201x
logloge(1x)e0
212eloglogelog
2
0
1x
e(x)dx 2
E(X)0,D(X)
H(X,)
2
2
1214elog2e2log2H(X) 22
1
2.24 连续随机变量X和Y的联合概率密度为:p(x,y)r2
0
H(XYZ)和I(X;Y)。
x2y2r2其他
,求H(X), H(Y),
(提示:
解:
2
log2sinxdx
2
log22)
p(x)
r2x2
r2x2
r
p(xy)dy
r2x2
12r2x2
dy (rxr)2r2x2r2r
Hc(X)p(x)logp(x)dx
rr
2r2x2
p(x)logdx
rr2rr2
p(x)log2dxp(x)logr2x2dx
rrr
rr2
logp(x)logr2x2dx
r2r21
loglogr1log2e
22
1
log2rlog2e bit/symbol
2
其中:
r
r
p(x)logr2x2dx
r
2r2x222
logrxdx2rr4r
2r2x2logr2x2dxr0
40
令xrcos2rsinlogrsind(rcos)
r2
402
2rsin2logrsindr2
4
4
20
sin2logrsindsinlogrd
2
4
20
4
20
sin2logsind
1cos241cos2
logr2d2logsind
0022
20
2
logr2d
2
logr2cos2d
2
logsind
2
20
cos2logsind
logr
1
logr2dsin2
2
(
2
log22)
2
20
cos2logsind
logr1
2
20
cos2logsind
1
logr1log2e
2
其中:
2
20
cos2logsind
20
1
logsindsin2
20
1sin2logsin
1
2sin2dlogsin0
2
20
2sincos
coslog2e
d
sin
2
log2e2cos2d
1cos2
d
02
112log2edlog2e2cos2d
log2e2
11log2elog2esin2
221
log2e
2
20
p(y)
r2y2
ryp(xy)dx
r2y2
2r2y21
dx(ryr)
ryr2r2
p(y)p(x)
1
HC(Y)HC(X)log2rlog2e bit/symbol
2Hc(XY)p(xy)logp(xy)dxdy
R
p(xy)log
R
1
dxdyr2
logr2p(xy)dxdy
R
log2r2 bit/symbolIc(X;Y)Hc(X)Hc(Y)Hc(XY) 2log2rlog2elogr2 log2log2e bit/symbol
2.25 某一无记忆信源的符号集为{0, 1},已知P(0) = 1/4,P(1) = 3/4。 (1) 求符号的平均熵;
(2) 有100个符号构成的序列,求某一特定序列(例如有m个“0”和(100 - m)个“1”)的自信息量的表达式; (3) 计算(2)中序列的熵。
解: (1)
1331
H(X)p(xi)logp(xi)loglog0.811 bit/symbol
4444i
(2)
m
100m
13
p(xi)
44
3100m100
4
3
41.51.585m bit4100
100m
I(xi)logp(xi)log
(3)
H(X100)100H(X)1000.81181.1 bit/symbol
2-26
P(i)=
P(ij)=
H(IJ)=
2.29 有一个一阶平稳马尔可夫链
X1,X2,,Xr,,各
Xr取值于集合
Aa1,a2,a3,已知起始概率
P(Xr)为
p11/2,p2p31/4,转移概率如下图所示
(1) 求(X1,X2,X3)的联合熵和平均符号熵 (2) 求这个链的极限平均符号熵
(3) 求H0,H1,H2和它们说对应的冗余度 解:(1)
H(X1,X2,X3)H(X1)H(X2|X1)H(X3|X2,X1)H(X1)H(X2|X1)H(X3|X2)
111111
H(X1)logloglog1.5bit/符号
224444
X1,X2的联合概率分布为
p(x2j)p(x1ix2j)
i
X2的概率分布为
那么
111131131
H(X2|X1)log4log4log4loglog3loglog3
[1**********]
=1.209bit/符号
X2X3的联合概率分布为
那么
H(X3|X2)
=1.26bit/符号
771535535
log2log4log4loglog3loglog3 [**************]
H(X1,X2,X3)1.51.2091.263.969bit/符号
所以平均符号熵H3(X1,X2,X3)
3.969
1.323bit/符号 3
14013
141 30
122(2)设a1,a2,a3稳定后的概率分布分别为W1,W2,W3,转移概率距阵为P323
WPW由 得到
Wi1
2241
W1W2W31W12337
131W1W3W2W2计算得到 4314
3W1W2W31W314
又满足不可约性和非周期性
34111321
H(X)WiH(X|Wi)H(,,)2H(,,0)1.25bit/符号
72441433i1
(3)H0
1.51.209
1.35b5i/t符号
2
1.251.251.25
01010.2111110.617 21210.078
1.581.51.355
/符号 H2log31.58bit/符号 H11.5bit
2-30
(1) 求平稳概率
P(j/i)=
解方程组
得到
(2)
信源熵为:
2-31
P(j/i)= 解方程组 得到W1= , W2= , W3=
2.32 一阶马尔可夫信源的状态图如图2-13所示,信源X的符号集为(0,1,2)。 (1)求信源平稳后的概率分布P(0),P(1),P(2) (2)求此信源的熵
(3)近似认为此信源为无记忆时,符号的概率分布为平稳分布。求近似信源的熵H(X)并与H进行比较
图2-13
1pp/2p/2
p/2解:根据香农线图,列出转移概率距阵Pp/21p
p/2p/21p
令状态0,1,2平稳后的概率分布分别为W1,W2,W3
WPW
3
得到
Wi1i1
p
(1p)W1W22p
W1(1p)W22
W1W2W311pWW3W1
32
p1
W3W2 计算得到W 23
1W3
由齐次遍历可得
1pp12
H(X)WiH(X|Wi)3H(1p,,)(1p)logplog
3221ppi
H(X)log31.58bit/符号 由最大熵定理可知H(X)存在极大值
,
或者也可以通过下面的方法得出存在极大值:
H(X)1pp21plog(1p)(1)logplogp1p2p22(1p)
p11pp
又0p1所以0,当p=2/3时1
2(1p)22(1p)2(1p)2(1p)
H(X)p
0
p2(1p)
2/3
H(X)p
log0
p2(1p)
所以当p=2/3时H(X)存在极大值,且H(X)max1.58bit/符号 ,
所以H(X)H(X)
2-33
(1)
解方程组
:
得p(0)=p(1)=p(2)= (2)
(3)
当p=0或p=1时 信源熵为0
练习题:有一离散无记忆信源,其输出为
X0,1,2,相应的概率为p01/4,p11/4,p21/2,设计
两个独立的实验去观察它,其结果分别为
Y10,1,Y20,1,已知条件概率:
(1) 求I(X;Y1)和I(X;Y2),并判断哪一个实验好些
(2) 求I(X;Y1Y2),并计算做Y1和Y2两个实验比做Y1和Y2中的一个实验可多得多少关于X的信息 (3) 求I(X;Y1|Y2)和I(X;Y2|Y1),并解释它们的含义 解:(1)由题意可知
P(y1=0)=p(y1=1)=1/2 p(y2=1)=p(y2=1)=1/2
11111
I(X;Y1)H(Y1)H(Y1|X)log2loglog2log2=0.5bit/符号
42424111
I(X;Y2)H(Y2)H(Y2|X)log2log1log1log11bit/符号>I(X;Y1)
442
所以第二个实验比第一个实验好 (2)因为Y1和Y2 相互独立,所以p(y1y2|x)p(y1|x)p(y2|x)
11
1212124log1log1
44
bit/符号
=1.5bit/符号
由此可见,做两个实验比单独做Y1可多得1bit的关于X的信息量,比单独做Y2多得0.5bit的关于X的信息量。 (3)
I(X;Y1|Y2)H(X|Y1)H(X|Y1,Y2)H(X,Y2)H(X)[H(X)I(X;Y1,Y2)][H(X)I(X;Y2)][H(X)I(X;Y1,Y2)]I(X;Y1,Y2)I(X;Y2)
=1.5-1=0.5bit/符号
表示在已做Y2的情况下,再做Y1而多得到的关于X的信息量 同理可得
I(X;Y2|Y1)I(X;Y1,Y2)I(X;Y1)=1.5-0.5=1bit/符号
表示在已做Y1的情况下,再做Y2而多得到的关于X的信息量
231
3.1 设二元对称信道的传递矩阵为3
解: 1)
1323
(1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4,求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y); (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布;
3311
H(X)p(xi)(log2log2)0.811 bit/symbol
4444iH(Y/X)p(xi)p(yj/xi)logp(yj/xi)
i
j
[1**********]2
(lglglglg)log210
[1**********]3
0.918 bit/symbol
3211
0.[1**********]2
p(y2)p(x1y2)p(x2y2)p(x1)p(y2/x1)p(x2)p(y2/x2)0.4167
4343
H(Y)p(yj)(0.5833log20.58330.4167log20.4167)0.980 bit/symbolp(y1)p(x1y1)p(x2y1)p(x1)p(y1/x1)p(x2)p(y1/x2)
j
I(X;Y)H(X)H(X/Y)H(Y)H(Y/X)
H(X/Y)H(X)H(Y)H(Y/X)0.8110.9800.9180.749 bit/symbolI(X;Y)H(X)H(X/Y)0.8110.7490.062 bit/symbol
2)
1122
CmaxI(X;Y)log2mHmilog22(lglg)log2100.082 bit/symbol
3333
1
其最佳输入分布为p(xi)
2
3-2某信源发送端有2个符号,xi,i=1,2;p(xi)a,每秒发出一个符号。接受端有3种符号yi,j=1,2,3,
转移概率矩阵为P(1) (2) (3)
1/21/20。 1/21/41/4
计算接受端的平均不确定度; 计算由于噪声产生的不确定度H(Y计算信道容量。
|X);
1/21/20
解:P
1/21/41/4
联合概率p(xi,yj)
(1)H(Y)log2 loglog
241a41a
1116a1a
log2loglog
241a241a1111a1a
log2log16loglog2
2441a41a311a1a
log2loglog2
241a41a
取2为底
311a1aH(Y)(log2log)bit 22
241a41a
1a11a11a11a1a
(2)H(Y|X) logloglogloglog2222224444
3(1a)
alog2log2
2
3alog2
2
取2为底
H(Y|X)
3a
bit 2
11a1aa
cmaxI(X;Y)maxH(Y)H(Y|X)maxlog2loglogp(xi)p(xi)p(xi)41a241a2
a11a1a(ln2lnln)2
取e为底
a
112a11aa11ln2ln() 2241a41a41a1a1a11aa2ln2ln 22(1a2)41a41a2
111a
ln2ln
241a
= 0
1a1
1a4
3a
51311131
clog2loglog2541454312531log2loglog [1**********]3
log2loglog2 10241015log 24
3.3 在有扰离散信道上传输符号0和1,在传输过程中每100个符号发生一个错误,已知P(0)=P(1)=1/2,信源每秒内发出1000个符号,求此信道的信道容量。
解:
由题意可知该二元信道的转移概率矩阵为:
0.990.01P
0.010.99
为一个BSC信道
所以由BSC信道的信道容量计算公式得到:
ClogsH(P)log2pilog
i1
2
1
0.92bit/signpi
1
CtC1000C920bit/sec
t
3.4 求图中信道的信道容量及其最佳的输入概率分布.并求当e=0和1/2时的信道容量C的大小。
X
1-e
Y 0
1 1
2
1-e
2
001,此信道为非奇异矩阵,又r=s,可利用方程组求解
e解: 信道矩阵P=01e
e1-e0
å
3
j=1
P(bj|ai)bj=åP(bj|ai)logP(bj|ai) (i=1,2,3)
j=1
3
ìb1=0ïïï
í(1-e)b2+eb3=(1-e)log(1-e)+eloge ïïïïîeb2+(1-e)b3=eloge+(1-e)log(1-e)
解得b1
=0
b2=b3=(1-e)log(1-e)+eloge
所以 C=log
å
2
bj
=log[20+2×2(1-e)log(1-e)+eloge]
j
=log[1+21-H(e)]=log[1+2(1-
e)(1-e)ee]
ì11ï1-C-CïP(b)=2b=2==1ï(1-e)e1-H(e)ï1+2(1-e)e1+2ïïï(1-e)eeeïb2-CïP(b2)=2=í(1-e)eï1+2(1-e)eïïïP(b3)=2b3-C=P(b2)ïïïïïî3
而 P(bj)=åP(ai)P(bj|ai) (j=1,2,3)
i=1
ìP(b1)=P(a1)ïïï得íP(b2)=P(a2)(1-e)+P(a3)e ïïïïîP(b3)=P(a2)e+P(a3)(1-e)
1
所以 P(a1)=P(b1)=
1+2(1-e)(1-e)ee
(1-e)eee
P(a2)=P(a3)=P(b2)=P(b3)=
1+2(1-e)(1-e)ee
当e=0时,此信道为一一对应信道,得
1
C=log3, P(a1)=P(a2)=P(a3)=
311
当e=1/2时,得 C=log2, P(a1)=,P(a2)=P(a3)=
24
3.5 求下列二个信道的信道容量,并加以比较
p
(1)p
pp
p2
(2)
p2
pp
20
0
2
其中p+p=1
解:
(1)此信道是准对称信道,信道矩阵中Y可划分成三个互不相交的子集 由于集列所组成的矩阵
p
p
算。
p2
,而这两个子矩阵满足对称性,因此可直接利用准对称信道的信道容量公式进行计2p
2
C1=logr-H(p1’ p2’ p3’)-
NklogMk
k1
其中r=2,N1=M1=1-2C1=log2-H(=log2+(
N2=2 M2=4 所以
p,p-ε,2ε)-(1-2)log(1-2)-2log4
p)log(p)+(p-ε)log(p-ε)
p)log(p)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog4ε
p)log(p)+(p-)log(p-)
=log2-2εlog2-(1-2ε)log(1-2ε)+(=(1-2ε)log2/(1-2ε)+(
输入等概率分布时达到信道容量。
(2)此信道也是准对称信道,也可采用上述两种方法之一来进行计算。先采用准对称信道的信道容量公式进行计算,
此信道矩阵中Y可划分成两个互不相交的子集,由子集列所组成的矩阵为
p
pp2,p0
0
2
这两矩阵为对称矩阵 其中r=2,N1=M1=1-2
2
N2=M2=2,所以
C=logr-H(
p-,p-ε,2ε,0)-NklogMk
k1
=log2+(
p-)log(p-)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog2ε
p-)log(p-)+(p-ε)log(p-ε) p-)log(p-)+(p-ε)log(p-ε)
=log2-(1-2ε)log(1-2ε)+(
=(1-2ε)log2/(1-2ε)+2εlog2+(=C1+2εlog2
输入等概率分布(P(a1)=P(a2)=1/2)时达到此信道容量。比较此两信道容量,可得C2=C1+2εlog2
3-6 设有扰离散信道的传输情况分别如图3-17所示。求出该信道的信道容量。
X
Y
图3-17
1
0010110
22 解:00220022
对称信道
ClogmH(Y|ai)
1
log42log2
2
取2为底 C1bit/符号
3-7 (1)
条件概率
,联合概率,后验概率
111
p(y0) , y1) ,y2
)
326
(
2) H(Y/X)=
(3)
当接收为y2,发为x1时正确,如果发的是x1和x3为错误,各自的概率为: P(x1/y2)=
15
,P(x2/y2)=
15
,P(x3/y2)=
35
其中错误概率为: Pe=P(x1/y2)+P(x3/y2)=(4)平均错误概率为
(5)仍为0.733 (6)此信道不好
原因是信源等概率分布,从转移信道来看 正确发送的概率x1-y1的概率0.5有一半失真 x2-y2的概率0.3有失真严重
15
35
0.8
x3-y3的概率0 完全失真 (7)
H(X/Y)=
16
Log(2)
110
Log(5)
115
Log
21351515
LogLog(5)LogLog(10)Log1.301
10102152103303
5
3. 8 设加性高斯白噪声信道中,信道带宽3kHz,又设{(信号功率+噪声功率)/噪声功率}=10dB。
试计算该信道的最大信息传输速率Ct。
解:
6
3. 9 在图片传输中,每帧约有2.2510个像素,为了能很好地重现图像,能分16个亮度电平,并假设亮度电平等概分布。试计算每分钟传送一帧图片所需信道的带宽(信噪功率比为30dB)。
解:
Hlog2nlog2164 bit/symbolINH2.2510649106 bit10
I9106
Ct1.5105 bit/s
t60
PX
CtWlog1P
N
3-10 一个平均功率受限制的连续信道,其通频带为1MHZ,信道上存在白色高斯噪声。 (1)已知信道上的信号与噪声的平均功率比值为10,求该信道的信道容量;
(2)信道上的信号与噪声的平均功率比值降至5,要达到相同的信道容量,信道通频带应为多大?
(3)若信道通频带减小为0.5MHZ时,要保持相同的信道容量,信道上的信号与噪声的平均功率比值应等于多大? 解:(1)C
1.5105
W15049 Hz
PXlog2(11000)log1P
N
Ct
Wlog2(1SNR)
1106log2(110)
3.159Mbps
(2)C2W2log2(15)3.459Mbps
3.159M
W21.338MHZ
log26W3log2(1SNR')3.459Mbps
3.459
log2(1SNR')
0.5
SNR120
(3)C3
4.1
解:
依题意可知:失真矩阵:d平均失真:
2
2
011
p(b|a),转移概率 ji110
p(ai)p(bj|ai)d(ai,bj)
i1j1
1/2(1)01/211/211/2(1)0
4.2
解:
01
依题意可知:失真矩阵:d,
20
Dminp(xi)mind(xi,yj)1/201/200
i
j
DmaxminDjminp(xi)d(xi,yj)1/201/211/2(1/221/201舍去)
j
i
当Dmin
0,R(Dmin)R(0)H(X)log21bit
10
因为没有失真,此时的转移概率为P
01
当Dmax
1/2,R(Dmax)0
因为取的是第二列的Dmax值,所以输出符号概率:p(b1)0,p(b2)1,a1b2,a2b2,因此编码器的转
01
移概率为P
01
4.3
解:
11113
DmaxminDjminp(xi)d(xi,yj)1110
j44444i
1111
Dminp(xi)mind(xi,yj)00000
j4444i
当Dmin0,R(Dmin)R(0)H(X)log42bit
10000100
因为没有失真,此时的转移概率为P
00100001
当Dmax3/4,R(Dmax)0
因为任何一列的Dmax值均为3/4,所以取输出符号概率:
p(b1)1,p(b2)0,p(b3)0,p(b4)0,即
000000 000
000
11
a1b1,a2b1,a3b1,a4b1因此编码器的转移概率为P
11
4.4
解:
依题意可知:失真矩阵:d
j
011/4
,
101/4
Dminp(xi)mind(xi,yj)1/201/200
i
DmaxminDjminp(xi)d(xi,yj)min(1/21/41/21/4)1/4(其它2个均为1/2)
j
i
当Dmin
0,R(Dmin)R(0)H(X)log21bit
100
因为没有失真,此时的转移概率为P
010
当Dmax1/4,R(Dmax)0
因为取的是第三列的Dmax值为1/4,所以取输出符号概率:
p(b1)0,p(b2)0,p(b3)3,即
001
a1b3,a2b3因此编码器的转移概率为P
001
4.5
解:
0011
(1)依题意可知:失真矩阵:d,转移概率为:Pq1q
10
p(xi)p(yj|xi)d(xi,yj)p10p01(1p)q1(1p)(1q)0
i1j1
nm
q(1p)
(2)Dmin
p(xi)mind(xi,yj)p0(1p)00
i
j
因为R(D)是D的递减函数,所以
max(R(D))R(Dmin)H(p)H(Dmin)plogp(1p)log(1p)
当q
0时可达到max(R(D)),此时0
minDjminp(xi)d(xi,yj)p0p1p(另一个1p更大,舍去)
j
i
(3) Dmax
因为R(D)是D的递减函数,所以
min(R(D))R(Dmax)H(p)H(Dmax)0
当q
1时可达到min(R(D)),此时1p
(图略,见课堂展示)
4.6
解:
101u0
依题意可知:失真矩阵:d,信源p(u)1/21/2
01
Dminp(xi)mind(xi,yj)1/201/200,
i
j
DmaxminDjminp(xi)d(xi,yj)min(1/201/2,1/21/20,1/211/21)
j
i
min[,,1]1(另二个,舍去)
0D1
因为二元等概信源率失真函数:
D
R(D)lnnH
a
其中n2,a1,所以率失真函数为: R(D)1D
4.7
解:失真矩阵为
011
,按照P81页方法求解(例4-5是二元输入和输入,本题是三元输入和输入,超麻烦!明天再算好
d101
110
发送过来噢)
4.8
信息率失真函数R(D)物理意义:
①R(D)是信源给定的情况下,在可容忍的失真度内再现信源消息所必须获得的最小平均信息量; ②R(D)是反映给定信源可压缩的程度;
③R(D)求出后,就与选择的试验信道无关,而只是信源特性的参量,不同的信源,其R(D)是不同的。 R(D)函数的性质:
性质1 : R(D)在定义域内是下凸的 性质2 : R(D)在定义域内是连续的 性质3 : R(D)在定义域内是单调递减的 因此:
1. R(D)是非负函数,定义域0~Dmax,值域0~H(X); 2. R(D)是单调不增、下凸的连续函数。
H(XR(D* max
(2) 哪些码是非延长码?
(3) 对所有唯一可译码求出其平均码长和编译效率。 解:首先,根据克劳夫特不等式,找出非唯一可译码
C1:6231
C2:21222324252663164
C4:21224241C3:
C5:215231C6:225231C5不是唯一可译码,而C4:
又根据码树构造码字的方法
63164
C1,C3,C6的码字均处于终端节点
他们是即时码
5-2
(1) 因为A,B,C,D四个字母,每个字母用两个码,每个码为0.5ms, 所以每个字母用10ms 当信源等概率分布时,信源熵为H(X)=log(4)=2
平均信息传递速率为 (2) 信源熵为
H(X)=
bit/ms=200bit/s
5-5
(1) H(U)=
=0.198bit/ms=198bit/s
11111111
[**************]14
18
12
Log(2)Log(4)Log(8)
116
Log(16)
132
Log(32)
164
Log(64)
1128
Log(128)
1128
Log(128)1.984
(2) 每个信源使用3个二进制符号,出现0的次数为
出现1的次数为
P(0)=
P(1)= (3)
(4) 相应的香农编码
相应的费诺码
(5)香农码和费诺码相同 平均码长为
编码效率为:
5-11
(1)信源熵
(2)香农编码:
平均码长:
编码效率为
(3) 费诺编码为
平均码长为:
编码效率:
(4)哈夫曼编码
平均码长为:
编码效率:
5.16 已知二元信源{0,1},其p0=1/4,p1=3/4,试用式(4.129)对序列11111100编算术码,并计
算此序列的平均码长。
解:根据算术编码的编码规则,可得:P(s=11111100) = P2(0)P6(1) = (3/4)6 (1/4)2
1llog7
P(S)
根据(4.129)可得:
F(S) = P(0) + P(10) + P(110) + P(1110) + P(11110) + P(111110) = 1–
P(y)= 1 – P(11111111) – P(11111110) – P(11111101) – P(11111100)
ys
= 1– P(111111) = 1– (3/4)6 = 0.82202 = 0.[1**********]1
又P(S) = A(S)= 0.[**************]1,所以F(S) + P(S) = 0.1101010 即得C = 0.1101010 得S的码字为1101010 平均码长L为 0.875。