解析几何归纳总结
解析几何归纳总结
1、直线与圆的方程
对于直线方程，要理解直线的倾斜率和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是直线方程的几种形式
对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法，如求解圆的方程的待定系数法、圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的几何法、求圆的切线的基本方法等
x y +=1通过点M （cos α,sin α）, 则 a b
11112222A a +b ≤1 B a +b ≥1 C 2+2≤1 D 2+2≥1 a b a b 例1：若直线
2、圆锥曲线的定义、标准方程
圆锥曲线的定义一般涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理解三角形等。 例2：（1）已知F 1, F 2为双曲线C ：x -y =2的左、右焦点，点P 在C 上，22
PF 1=2PF 2,cos ∠F 1PF 2=___________________
（2）已知F 1, F 2为双曲线C: x -y =1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60︒，则P 到x 轴的距离为___________ 22
x 2y 2
-=1的左、（3）已知F 1, F 2为双曲线C: 右焦点，点A 在C 上，M （2，0），AM 为∠F 1AF 2927
的平分线，则AF 2=____________________
（4）已知抛物线C ：y =4x 的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A,B 两点，则cos 2
∠AFB =___________
3、圆锥曲线的离心率
求离心率的值（或其取值范围）的问题是解析几何中常见的问题，常规求值问题需要找等式，求范围问题需要找不等式：其归纳结底是利用定义寻求关于a,b,c 的相应关系式，并把式中的a,b,c 转化为只含有a,c 的齐次式或不等式，再转化为含e 的关系式，最后求解。小题中常涉及焦半径等，可利用第二定义来解决，避免了复杂的运算。
例3（1）已知F 为椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交在C 于点
D ，且BF =2DF , 则C 的离心率为_____________
（2）已知抛物线C ：y =2px （p>0）的准线为l ，过M （1，0
l 交2
于点A ，与C 的一个交点为B, 若AM =MB ，则p=_______________
4、直线与圆锥曲线问题的常规解题方法
1设直线方程：1设直线时分斜率存在与不存在；2设为y=kx+b与x=my+n的区别）○（提醒：○○ 2设交点坐标：○（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）
3联立方程组：○（提醒：验证二次项系数和∆）
4消元韦达定理：○（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
5、根据条件转化有以下类型
1以弦AB 为直线的圆过点P （提醒：需要讨论K 是否存在） ○
⇔K 1∙K 2=-1⇔PA ⊥PB ⇔PA ∙PB =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0
2点在圆内、圆上、圆外问题⇔直角、锐角、钝角问题⇔向量的数量积大于、等于、小○
于0问题⇔设点坐标得x 1x 2+y 1y 2>0
3等角、角平分、角互补问题⇔斜率关系（K +K =0或K =K ） ○1212
4共线问题（如：如：A,Q,B 三点共线）⇔直线QA 与QB 斜率相等⇔AQ =λQB ⇔数○
的角度：坐标表示法：形的角度：距离转化法
5点、线对称问题⇔坐标与斜率关系 ○
6弦长、面积问题⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择） ○
6、细节问题不忽略：（1）判别式是否已经考虑（2）抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0
常见问题解题策略：
1、椭圆中的定值、定点问题
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。常见：直线恒过定点问题、点在定直线上、表达式定值问题、斜率定值问题
7x 2y 2
+=1相交于A,B 两点，已知点M （-，0）例1：已知动直线y=k(x+1)与椭圆，求证535
3
MA ⋅MB 为定值
x 2y 2
=1的焦点在x 轴上． 例2、设椭圆E ：2+2a 1-a
(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q . 证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．
例3、如图，点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左右焦点，经过F 1做x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2垂线交直线于点Q ．
（Ⅰ）如果点Q 的坐标是（4，4），求此时椭圆C 的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．
x 2
+y 2=1，如图所示，斜率为k （k>0）且例4、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C: 3
不过原点的直线l 交椭圆C 于A,B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x=-3于点D （-3，m ）
22（1）求m +k 的最小值（2）若OG =OD ⋅OE , 求证：直线l 过定点 2
例5、如图，曲线G 的方程为y =2x (y≥0) ，以圆点为圆心，以t （t>0）为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于 A与点B ，直线AB 与x 轴相交于点C ，
（1）求点A 的横坐标a 与，点C 的横坐标c 的关系式；
（2）设曲线G 上点D 的横坐标为a+2，求证：直线CD 的斜率为定值。
2
2、椭圆中的取值范围问题
曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决
（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决
（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数，通常利用二次函数判别式的符号，三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方式等求最值。
例1：已知抛物线y =4x ，过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1, y 1），B （x 2, y 2）2
两点，则y 12+y 22的最小值是__________________
例2
、已知PA =(xy) ，PB =(xy) ，且PA +PB =6，求2x -3y -12的最大
值______________
例3、设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x
轴上，离心率为，过点C （-1，0）的直3
线交椭圆E 于A ，B 两点，且CA =2BC ，求当∆AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆E
的方程
例4、已知抛物线E ：y 2=x 与圆M ：(x-4) 2+y 2=r 2（r>0）相交于A,B,C,D 四个点
（1）求r 的取值范围（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角戏AC ，BD 的交点P 坐标
3、椭圆中的存在性问题
方法：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解
例1、已知抛物线y =x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B, 则AB 等于
A 3 B 4
C
D 例2、已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的
中心O ，且AC ⋅BC =0, BC =2AC
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如果椭圆上两点P ，Q 使角PCQ 的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ使，使得 PQ =λAB ？请说明理由
例3、已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1, F 2在x 轴上，离心率为e=
（1）求椭圆E 的方程
（2）求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程
（3）若椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由
（角平分线定理，双曲线焦点三角形内切圆特殊性）
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